2022年高中数学函数值域求法教案新人教A版 .pdf
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1、学习必备欢迎下载函 数 值 域 求 法1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 1 求函数 y = x1的值域解: x 0 ,x10 显然函数的值域是: ( - , 0 )( 0 ,+) 。例 2 求函数 y = 3 -x的值域。解:x0 - x 0 3- x3 故函数的值域是: -, 3 2 、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 1、求函数y=2x-2x+5 , x-1 ,2 的值域。解: 将函数配方得:y=( x-1 )2+4, x -1 ,2 , 由二次函数的性质可知:当 x = 1时, ym in = 4 当 x = - 1,时maxy = 8 故函
2、数的值域是: 4 ,8 例 2、求函数13432xxy的值域。解:713421342113426421xxxxy =31134212x,所以27y,故所求函数值域为72,+。例 3、求22log26log62log222222xxxy。解:所以当41x时,y有最小值 -2 。故所求函数值域为-2 ,+) 。 3 、判别式法2例 1 求函数 y = 2211xxx的值域。解:原函数化为关x 的一元二次方程(y-1 )2x+(y - 1 )x= 0 (1)当 y1 时, xR , = (-1)2-4(y-1)(y-1) 0 解得:21 y23(2)当 y=1,时,x = 0,而 1 21, 23
3、故函数的值域为21,23 例 2 求函数 y=x+)2(xx的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页学习必备欢迎下载解: 两边平方整理得:22x-2 (y+1) x+y2=0 (1)xR,=4(y+1)2-8y 0 解得: 1-2y1+2但此时的函数的定义域由x(2-x ) 0,得: 0 x 2。由 0,仅保证关于x 的方程: 22x-2 ( y+1)x+y2=0 在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间0 ,2上,即不能确保方程(1)有实根,由0 求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,
4、23 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0 x 2,y=x+)2(xx0,ymin=0, y=1+2 代入方程( 1) ,解得:1x=2222240 ,2 ,即当1x=222224时,原函数的值域为: 0 , 1+2 。注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 1 求函数 y=6543xx值域。解:由原函数式可得:x = 3564yy则其反函数为:y =3564xy其定义域为:x 53故所求函数的值域为: (- ,53) 5 、函数有界性法
5、直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。例 1 求函数 y = 11xxee的值域。解: 由原函数式可得:xe=11yyxe0,11yy0 解得: - 1 y1。故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例 2 求函数 y = 3sincosxx的值域。解: 由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页学习必备欢迎下载可化为:12y sinx(x+) =3y 即 sinx(x+)=132yyxR, sinx (x+) -1 ,1 。即 -1
6、 132yy1 解得: -42y42故函数的值域为-42,42 。 6 、函数单调性法例 1 求函数 y = 25xlog31x(2x10)的值域解: 令 y1=25x,2y= log31x,则 y1,2y在 2 , 10 上都是增函数。所以 y= y1 +2y在 2 ,10 上是增函数。当 x = 2 时, ymin = 32+log312=81当 x = 10 时,m axy = 52+log39=33。故所求函数的值域为:81,33 。例 2 求函数 y= 1x-1x的值域。解: 原函数可化为: y= 112xx令 y1 = 1x,2y= 1x,显然 y1,2y在1 ,+)上为无上界的增
7、函数,所以y= y1 +2y在 1 ,+)上也为无上界的增函数。所以当 x = 1时, y=y1 +2y有最小值2,原函数有最大值22= 2。显然 y0,故原函数的值域为( 0 , 2 。 7 、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例 1、求函数xxy21的值域。解:由021x,得21x。令021ttx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页学习必备欢迎下载得212tx,于是11212122ttt
8、y,因为0t,所以21y。故所求函数值域为- ,12 。例 2、求函数221xxxy的值域。解:设2sinx,则42sin22212cos1212sin21sincossin2y。所以221221y,故所求函数值域为221221,。例 3 求函数 y = x + 1x的值域。解: 令 x-1=t , ( t 0)则 x=2t+1 y=2t+t+1=2)21(t+43,又 t 0,由二次函数的性质可知当 t=0 时, ymin= 1 , 当 t 0 时, y +。故函数的值域为 1 ,+) 。例 4 求函数 y =x+2+2) 1(1x的值域解: 因 1-2)1(x0 ,即2)1(x 1 故可令
9、 x+1=cos, 0 , 。y=cos+1+B2cos1=sin +cos+1 =2sin (+/ 4 )+1 0, 0 +/4 5/4 - 22sin (+/4 ) 1 0 2sin (+/4 )+11+2。故所求函数的值域为0 ,1+2 。例 5 求函数 y=12243xxxx的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页学习必备欢迎下载解: 原函数可变形为:y=-21212xx2211xx可令 x=tg ,则有212xx=sin2 ,2211xx=cos2y=-21sin2 cos2 = -41sin4 当 =
10、k /2- /8 时,maxy=41。当 = k /2+ /8 时, ymin= -41而此时 tg 有意义。故所求函数的值域为-41,41 。例 6 求函数 y=( sinx+1 ) (cosx+1) ,x- /12 /2 的值域。解: y=( sinx+1 ) (cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1 令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx=21(2t-1 ) y = 21(2t-1 )+t+1= 212)1(t由 t=sinx+cosx=2sin ( x+/4 )且 x- /12 , /2 可得:22t 2当 t=2时,m axy=23+2,当 t=22时,
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