2022年高中绝对值不等式--适合高三复习用--可直接打印 .pdf

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1、绝对值不等式绝对值不等式| |abab，| |abab基本的绝对值不等式：|a|-|b|a b| |a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值|y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| 5 得-5y5 即函数的最小值是-5 ，最大值是5 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示 x 到 3，-2 这两点的距离之和，显然当 -2 x3 时，距离之和最小， 最小值是 5；而 |x-3|-|x+2|表示 x 到 3，-2 这两点的距离之差，当 x

2、-2 时，取最小值 -5 ，当 x3 时，取最大值5 变题 1解以下不等式： (1)|x+1|2 x；(2)|2x2x6|3x思路利用f(x)g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或 f(x)2x或x+112或无解，所以原不等式的解集是x|x12 (2) 原不等式等价于3x2x2x63x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560 xxxxxxxxxxxxxxxxx或2x6 所以原不等式的解集是x|2xx2-3x-4 ； 2234xx1 解： 1分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x2-2x2-3x-4 或 x-x2-2-(x2-3x-4

3、) 解得： 1-2x-3 故原不等式解集为xx-3 分析二 x-x2-2 x2-x+2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页而 x2-x+2 (x-14)2+740 所以 x-x2-2 中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4 解得： x-3 原不等式解集为x-3 2分析不等式可转化为-1234xx1 求解，但过程较繁，由于不等式234xx1 两边均为正，所以可平方后求解 . 原不等式等价于2234xx1 9x2(x2-4)2 (x 2) x4-17x2+160 x21 或 x216 -

4、1 x1 或 x4 或 x-4 注意：在解绝对值不等式时，假设f(x)中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正) ，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第 2 变含两个绝对值的不等式变题 2解不等式1|x1|5. 思路1题由于两边均为非负数，因此可以利用f(x) g(x) f2(x) g2(x) 两边平方去掉绝对值符号。2题可采用零点分段法去绝对值求解。解题1由于 |x1| 0，|x+a| 0，所以两边平方后有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页|x1|2|x+a|2即有2x2x+112

5、a当 2a+20 即a1 时， 不等式的解为x12(1 a) ；当 2a+2=0 即a=1 时，不等式无解；当 2a+20 即a1 时，不等式的解为x5. 解：当x-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)5-2x6x-3. 当-3x555 无解 . 当 x2 时，原不等式为(x-2)+(x+3)52x4x2. 综合得：原不等式解集为xx2 或 x0且a1) 解 析 ： 易 知 1x1 ， 换 成 常 用 对 数 得 ：lg(1)lg(1)| |lglgxxaa22|lg(1) |lg(1) |xx于是22lg (1)lg (1)0 xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

6、纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)0 xxxx21lg(1)lg01xxx 1x1 012x1 lg(12x)0 1lg1xx0 1011xx解得 0 x1 2不等式 |x+3|-|2x-1|2 当-3x21时 4x+22 故填),2()72,(。3求不等式1331loglog13xx的解集 . 解：因为对数必须有意义，即解不等式组0103xx，解得03x又原不等式可化为33loglog31xx(1)当01x时，不等式化为33loglog31xx即33log3log 3xx33xx34x综 合 前 提 得 ：304x。(2) 当

7、10时 ， 进 一 步 化 为46xkk， 依 题 意 有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页4433632kkkk，此时无解。当k=0 时，显然不满足题意。当k0 时，64xkk，依题意有42263kkk综上，k=2。第 4 变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题4假设不等式 |x4|+|3 x|0 时，先求不等式|x4|+|3 x|a有解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页时a的取值范围。令x4=0 得x=4，令 3x=0 得

8、x=3 当x4 时，原不等式化为x4+x3a，即 2x71 当 3 x4 时，原不等式化为4x+x31 当x3 时，原不等式化为4x+3xa即 72x1 综合可知，当a1 时，原不等式有解，从而当01 时， |x4|+|3 x|x4|+|3 x| |x4+3x|=1 当a1 时， |x4|+|3 x|k恒成立，求k的取值范围。思维点拨： 要使 |x+1| |x2|k对任意实数x恒成立，只要 |x+1| |x2| 的最小值大于k。因|x+1| 的几何意义为数轴上点x到 1 的距离， |x2| 的几何意义为数轴上点x到 2 的距离， |x+1| |x2| 的几何意义为数轴上点x到 1 与 2 的距

9、离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k的取值范围。解法一根据绝对值的几何意义，设数x，1,2 在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA| |PB|k成立|AB|=3 ，即 |x+1| |x2| 3 故当kk恒成立，从图象中可以看出，只要k3 即可。xyO-33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页故ka恒成立， 求实数a 的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值， a 应比最小值小。解： 由绝对值不等式：|x+1

10、|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当 (x+1)(x-2)0, 即21x时取等号。故a0, 不等式 |x-4|+|x-3|a在实数集R 上的解集不是空集，求a 的取值范围分析一|x-4|+|x-3|x-4 (x-3)|=1 当|x-4|+|x-3|1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页二如图，实数x、3、4 在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| | PA|+|PB|1 恒有 y 1 数按题意只须a1 A B P 0 3 4 x 四考虑 |z-4|+|

11、z-3|1. 变题：1、假设不等式 |x-4|+|x-3|a对于一切实数x 恒成立，求 a 的取值范围2、假设不等式 |x-4|-|x-3|a在 R上恒成立， 求 a 的取值范围第 5 变绝对值三角不等式问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页变题5已知函数2( )( , ,)f xaxbxc a b cR，当 1,1x时|( ) | 1f x，求证：(1)| 1b；(2)若2( )( , ,)g xbxaxc a b cR，则当 1,1x时，求证：|( ) |2g x。思路此题中所给条件并不足以确定参数ba,，c

12、的值，但应该注意到：所要求的结论不是( )bg x或确实定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用1f、(0)f、1f来 表 示ba,c。 因 为 由 已 知 条 件 得|( 1)| 1f，|(0) | 1f，|(1)| 1f。解题证明：(1)由11,111 2fabc fabcbff，从而有11|(1)( 1)(|(1)|( 1)|), |(1)| 1,|( 1)| 1,221|(|(1)|( 1)|)1.2bffffffbff(2)由11,111 ,2fabc fabcbffa从而111 (0)2afff将以上三式代入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

13、结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页2( )( , ,)g xbxaxc a b cR，并整理得2222211|( ) | |(0)(1)(1)(1)( 1)(1) |2211|(0)(1)|(1)(1)|( 1)(1) |2211|(0) |1|(1)|1|( 1)|1|221111|1|1|1| 1(1)(1)222222g xfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxx请你试试451已知函数f(x)=21x，a,bR，且ba，求证|f(a)-f(b)|” “=”合成的，故不等式0)()(xgxf可 转 化 为0)()(xgxf或0)()(xgxf。解得：原不等式

14、的解集为13|xxx或2、0322322xxxx. 解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页0322322xxxx0320)32)(23(222xxxxxx0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(xxxxxx，用根轴法零点分段法画图如下：原不等式的解集为3211|xxx或。3、)0( , 112aaxx解：原式等价于axx11211, 112axx，即0ax注：此为关键0,0 xa原 不 等 式 等 价 于 不 等 式 组0)1(122xaxx解得：+ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

15、 - - - - - - -第 20 页，共 29 页0|1120|102xxaaaxxa时，原不等式解集为当时，原不等式解集为当4、0)2)(2(axx解：当0a时，原不等式化为02x，得2x；当0a时 ， 原 不 等 式 化 为0)2)(2(axx， 得22xa；当10a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得axx22或；当1a时 ， 原 不 等 式 化 为0)2(2x， 得2x；当1a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得22xax或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页综合上面各式，得原不等式的解集为：5

16、、 关 于x的 不 等 式0bax的 解 集 为, 1， 求02xbax的解集。解：由题意得：0a，且ba则不等式02xbax与不等式组020)2)(xxbax同解得所求解集为21|xxx或6、已知0a且1a，关于x的不等式1xa的解集是0 x x， 解关于x的不等式1log ()0axx的解集。解 ：关 于x的 不 等 式1xa的 解 集 是0 x x，1a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页1011115log ()012xxaxxxxx或1512x原不等式的解集是1515(1,)(1,)22。三、证明题2、

17、设0ab,n为偶数 , 证明11nnnnbaab11ab证：11nnnnbaab1111()()()nnnnnabababab . 当0,0ab时, ()0nab,(nnab11)()nnab0 , 11()()()nnnnnababab0 ,故11nnnnbaab11ab ; 当,a b有 一 个 负 值 时 , 不 妨 设0,0ab, 且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页0ab, 即|ab . n为 偶 数 时 , (nnab11)()nnab0 , 且()0nab11()()()nnnnnababab0 ,

18、故11nnnnbaab11ab . 综合可知 , 原不等式成立注：必须要考虑到已知条件0ab，分类讨论，否则不能直接得出(nnab11)()nnab0 3、求证：2216(4)36aa2 29证：设向量( ,4),(4,6)paqa ,由| |pqpq, 得2216(4)36aa|pq|pq|( ,4)(4,6) | |(4,10) |161002 29aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页注 意 ： 当pq时 ， 即8a，)48(，p，)6,12(q，p、q方向相同，取等号。当 利 用 公 式|qpqp证 明

19、时 ， 会 得 ：2216(4)36aa|pq| |( ,4)(4,6) | |(4, 2) |1642 5pqaa的错误结论，因为这里取等号的条件是pq，且 p 、q方向相反，根据题设条件，pq时，方向相同，故取不到等号，计算的结果也使不等式范围缩小了。4、求证：nn121312112222n证一：nnnnn111) 1(1122nnnnn12111)3121()2111(1131211222原不等式成立，证毕。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页证二：当2n时，原不等式为：2122112，显然成立；假 设 当n

20、取k-1时 ， 原 不 等 式 成 立 ， 即112) 1(131211222kk成立，则2222222)1(1211121)1(131211kkkkkkkkkkkkkkkkkk12)1(112)1(1)1()1(2222，即n取k时原不等式也成立。综上，对于任意n2n原不等式成立，证毕。注意：此类证明方法称为数学归纳法5、设213fxxx，实数a满足1xa，求证：21fxf aa证：|)(|1313|)()(|2222axaxaaxxafxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 29 页=|12)( |1|) 1)( |a

21、axaxaxax当0ax，) 1|(|2|2|12)( | )()(|aaaaxafxf当0ax，) 1|(|2|12|12)( |)()(|aaaaxafxf当0ax，) 1|(|2|)|1(2|12)( |)()(|aaxaaaxafxf综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对0,0, 0aaa的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用ba,同号|;|bababababa,异号|babababa6、 已知：xyyxyxyxyx22,0, 0且，求证：341yx证：由已知得：xyyxyx2)(，即)()(2yxyxxyyx，及基本不等式22yxxy，代入式得：精选学习资料 - -

22、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 29 页)()(222yxyxyx解得34yx；0,0, 0 xyyx，由式得0)()(2yxyx，1yx综上得：341yx。 证毕。7、已知1,0,abccba,证明：)111(21)(1)(1)(1333cbabacacbcba证：cbacbabccbaabccba1111)()()(12233，,1114111111141)(123acbcbacbcba， 0,cba同理得：bcaacb1)11(41)(13，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页cbabac1)11(41)(13式两边相加，得cbacbabacacbcba111)111(21)(1)(1)(1333)111(21)(1)(1)(1333cbabacacbcba所以原不等式成立，证毕。注： “41”的来由： 不等式akcbkcba21111112当且仅当cba时取等号，得14k。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页