2022年挑战中考数学压轴题 4.pdf

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1、学习好资料欢迎下载第 1 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 2013 挑战中考数学压轴题( 精选中考题训练 ) 第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例 1 2012 年苏州市中考第29 题如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（b 是实数且b2）与 x 轴的正半轴分别交于点A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点C（1）点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（2） 请你探索在第一象限内是否存在点P， 使得四边形PCOB 的面积等于2b， 且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形

2、？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 答案解： B（b，0） ，C（0， ） ；假设存在这样的点P， 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b， 且PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形. 设点 P 坐标（ x，y） ，连接 OP，则，. 过 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，PEO=EOD=ODP=90. 四边形 PEOD 是矩形 . EPD=90. PBC是等腰

3、直角三角形， PC=PB，BPC=90. EPC=BPD. PECPDB. PE=PD，即 x=y.由，解得： . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 2 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 由PECPDB 得 EC=DB，即，解得符合题意 . 点 P 坐标为（，）.假设存在这样的点Q，使得QCO、QOA 和QAB中的任意两个三角形均相似 . QAB=AOQ+AQO， QAB AOQ， QABAQO. 要使得 QOA 和QAB 相似，只能 OAQ=QAB=90，即QAx 轴. b2，

4、ABOA. QOAQBA， QOA=AQB，此时 OQB =90. 由 QAx轴知 QAy 轴， COQ=OQA. 要 使 得 QOA 和 OQC 相 似 ， 只 能 OCQ=90 或OQC=90. （）当 OCQ=90时， QOAOQC. AQ=CO= . 由得：，解得：. ，. 点 Q 坐标为（ 1，）. 1.2 因动点产生的等腰三角形问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 3 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 例 1 2012年扬州市中考第27 题如图 1，抛物线yax2 b

5、xc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点M，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 (1) 直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可(2) 由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点(3) 由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来

6、讨论：MAAC、MAMC、ACMC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解解： (1) 将A( 1，0)、B(3 ，0) 、C(0 ，3) 代入抛物线yax2bxc 中，得：，解得：抛物线的解析式：yx2 2x3(2) 连接BC，直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为ykxb，将B(3 ， 0) ，C(0 ，3) 代入上式，得：，解得：直线BC的函数关系式yx3；当x1 时，y2，即P的坐标 (1 ，2)(3) 抛物线的解析式为：x1，设M(1 ，m)，已知A( 1，0) 、C(0，3) ，则：MA2m24，MC2m26m 10，AC210

7、；若MAMC，则MA2MC2，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 4 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) m24m26m 10，得： m 1；若MAAC，则MA2AC2，得：m2410，得： m ；若MCAC，则MC2AC2，得：m26m 1010，得： m 0，m 6；当 m 6 时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1 ，)(1 ，)(1 ，1)(1 ，0)该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判

8、定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 5 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 例 2 2012年临沂市中考第26 题如图 1，点 A 在 x 轴上， OA4，将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由图

9、1 考点： 二次函数综合题；分类讨论。解答： 解： （ 1）如图，过B 点作 BCx 轴，垂足为C，则 BCO=90 ， AOB=120 ， BOC=60 ，又 OA=OB=4 ，OC=OB= 4=2，BC=OB ?sin60 =4=2，点 B 的坐标为（ 2， 2） ；（2）抛物线过原点O 和点 AB，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（ 2 2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x （3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为D，设点 P 的坐标为（ 2，y） ， 若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y= 2，精选

10、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 6 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 当 y=2时，在 RtPOD 中， PDO=90 ，sinPOD=， POD=60 ， POB=POD+AOB=60 +120 =180 ，即 P、 O、B 三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（ 2， 2） 若 OB=PB ，则 42+|y+2|2=42，解得 y=2，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ， 若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=2，故点 P 的坐

11、标为（ 2， 2） ，综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2， 2） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 7 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 1.3 因动点产生的直角三角形问题1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2012年广州市中考第24 题如图 1，抛物线233384yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于 ACB 的面积时，

12、求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 8 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 1.4 因动点产生的平行四边形问题如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( 4,0)、 B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m， MAB 的面积为S，求 S关于

13、m 的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点 P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 y x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 9 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 1.5 因动点产生的梯形问题例 2 2012年衢州市中考第24 题如图 1，把两个全等的RtAOB 和 RtCOD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上已知点A(1，2)，过

14、A、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点 E、F抛物线yax2bxc 经过 O、A、C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点P 作 y 轴的平行线交抛物线于点M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若 AOB 沿 AC 方向平移（点A 始终在线段AC上，且不与点C 重合） ， AOB 在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S 试探究 S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题。分析： （1）抛物线y=ax2+

15、bx+c 经过点 O、 A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t 的值，从而可解结论：存在点P（，） ，使得四边形ABPM 为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 10 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 最大值解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味解答： 解： （1）抛物线y=ax2+bx+

16、c 经过点 O、A、C，可得 c=0，解得 a=，b=，抛物线解析式为y=x2+x（2）设点 P 的横坐标为t， PNCD， OPN OCD，可得 PN=P（t，） ，点 M 在抛物线上，M（ t，t2+t） 如解答图 1，过 M 点作 MGAB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=yAyM=2（t2+t）=t2t+2，BH=PN=当 AG=BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，t2t+2=，化简得 3t28t+4=0，解得 t1=2（不合题意，舍去） ， t2=，点 P 的坐标为（，）存在点 P（，） ，使得四边形ABPM 为等腰梯形（3）如解答图2，AOB 沿 AC 方向平移至

17、A OB，AB交 x 轴于 T，交 OC 于 Q，AO 交 x 轴于 K，交 OC 于 R求得过 A、C 的直线为yAC=x+3，可设点A的横坐标为a，则点 A（a， a+3） ，易知 OQT OCD，可得 QT=，点 Q 的坐标为（ a，） 解法一：设 AB 与 OC 相交于点J， ARQ AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，=HT=2a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 11 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) KT=AT=（3a） ，A Q=yA yQ=（ a+3）=3

18、aS四边形RKTQ=SAKTSA RQ=KT?A TAQ?HT=?（3 a）?（3a）?（ a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段 AC 上存在点A （，） ，能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法二：过点 R 作 RHx 轴于 H，则由 ORH OCD，得由RKH AOB，得由 ， 得 KH =OH，OK=OH，KT=OTOK=aOH由AKT AO B ，得，则 KT=由 ， 得=aOH，即 OH=2a2，RH=a1，所以点 R 的坐标为R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SQOTSROK=?OT?QT?OK? RH=a? a（ 1+a）?（a 1）=a2+a=（a）2+由于0，在

19、线段 AC 上存在点A （，） ，能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法三：AB=2，OB=1， tanOAB= tanOAB=，KT=A T?tanOAB= （ a+3）? =a+，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 12 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) OK=OT KT=a（a+）=a，过点 R 作 RHx 轴于 H， tanOAB=tanRKH=2， RH=2KH又 tanOAB=tanROH=，2RH=OK+KH=a+RH， RH=a1，OH=2（a1） ，点 R

20、坐标 R（ 2a2， a1）S四边形RKTQ=SAKTSA RQ=? KT?A TAQ? （ xQxR）=?（3 a）?（3a）?（ a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段 AC 上存在点A （，） ，能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 13 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 1.6 因动点产生的面积问题例 2 2012年河南省中考第23 题如图 1，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线yax2 bx3 交于 A、B 两点，点A

21、在 x 轴上，点B 的纵坐标为3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、 b 及 sinACP 的值；（2）设点 P 的横坐标为m用含 m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；连结 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页学习好资料欢迎

22、下载第 14 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 1.7 因动点产生的相切问题例 1 2012 年河北省中考第25 题如图 1，A(5,0)，B(3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45， CD/AB， CDA 90点 P 从点 Q(4,0)出发，沿x 轴向左以每秒1 个单位长的速度运动，运动时间为t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当 BCP15时，求t 的值；（3）以点 P 为圆心， PC 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当 P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

23、 - - - - - -第 14 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 15 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 16 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 解答： 解： （ 1）当 y=0 时， x2+2x+3=0 ，解得 x1=1，x2=3点 A 在点 B 的左侧，AB 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 当 x=0 时， y=3C 点的坐标为（ 0，3）设直线 AC 的解析式为y=k1x+b1（k1 0） ，则，解得，直线 A

24、C 的解析式为y=3x+3 y=x2+2x+3=（ x1）2+4，顶点 D 的坐标为（ 1， 4） （2）抛物线上有三个这样的点Q， 当点 Q 在 Q1 位置时， Q1 的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1 的坐标为（ 2，3） ； 当点 Q 在点 Q2 位置时，点Q2 的纵坐标为 3，代入抛物线可得点Q2 坐标为（ 1+，3） ； 当点 Q 在 Q3 位置时，点Q3 的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3 的坐标为（1， 3） ；综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q1（2，3） ，Q2（1+， 3） ，Q3（1，3） （3）点 B 作 BB AC 于点 F，使 B F=BF，则 B为

25、点 B 关于直线 AC 的对称点连接BD交直线 AC 与点 M ，则点 M 为所求，过点 B作 B Ex 轴于点 E 1 和 2 都是 3 的余角， 1=2RtAOCRt AFB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 17 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 由 A（ 1， 0） ，B（3，0） ，C（0，3）得 OA=1， OB=3， OC=3，AC=，AB=4 ，BF=，BB =2BF=，由 1=2 可得 RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BE OB=3=B点的坐标为

26、（，） 设直线 B D 的解析式为y=k2x+b2（k2 0） ，解得，直线 BD 的解析式为：y=x+，联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：，解得，M 点的坐标为（，） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 18 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 1.8 因动点产生的线段和差问题例 2 2012 年山西省中考第26 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y x2 2x3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点（1）求直线AC 的解析式及B、

27、D 两点的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 19 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) （2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l/AC 交抛物线于点Q试探究： 随着点 P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC 上找一点M，使 BDM 的周长最小，求出点M 的坐标图 1 第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题

28、例 3 2011 年上海市中考第25 题在 RtABC 中， ACB90， BC30，AB50点 P 是 AB 边上任意一点，直线PE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 20 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) AB， 与边 AC或 BC相交于 E 点 M 在线段 AP 上， 点 N 在线段 BP上， EMEN，12sin13EMP（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求CM 的长；（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点E 不与点 A、C 重合，设APx，BNy，求

29、y关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若 AME ENB（ AME 的顶点 A、M、E 分别与 ENB 的顶点 E、N、B 对应） ，求 AP 的长图 1 图 2 备用图2.2 由面积公式产生的函数关系问题例 1 2012 年广东省中考第22 题如图 1，抛物线213922yxx与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C，联结 BC、AC（1）求 AB 和 OC 的长；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 21 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) （2）点 E 从点

30、 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作 BC 的平行线交AC 于点 D设 AE 的长为 m， ADE 的面积为s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下， 联结 CE，求 CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留） 图 1 例 4 2011 年山西省中考第26 题如图 1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形直线l 经过 O、C 两点，点 A的坐标为 (8，0)，点 B 的坐标为 (11，4)，动点 P 在线段 OA 上从 O 出发以每秒1 个单位的速度

31、向点 A 运动， 同时动点Q 从点 A 出发以每秒2 个单位的速度沿ABC 的方向向点C运动，过点P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线OCB 相交于点M当 P、 Q 两点中有一点到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页学习好资料欢迎下载第 22 页 共 22 页(参考答案可在做完后在网上找) 达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q 运动的时间为t 秒（ t0） ， MPQ 的面积为 S（1）点 C 的坐标为 _，直线 l 的解析式为 _；（2）试求点Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围（3）试求题（ 2）中当 t 为何值时， S的值最大？最大值是多少？图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页