2022年高中文科数学立体几何知识点总结 .pdf

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1、名师总结精品知识点mll立体几何知识点整理（文科）一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交Al符号表示：3. 线在面内l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll/方法二：用面面平行实现。mlml/方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml /。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、 m 不重合，则ml /。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmml方法二：用面面平行实现。/ll方法三：用平面法向量实现。若n为 平 面的 一 个 法 向 量 ，ln且l,则/l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/, ,/且相交且相交m

2、lmlmmll方法二：用线面平行实现。/,/且相交mlmlmlnlmllmmllm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师总结精品知识点三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三夹角问题。(一 )异面直线所成的角：

3、(1) 范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二 )线面角(1)定义：直线l 上任取一点P（交点除外） ，作PO于 O,连结 AO ， 则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。AOP(2)范围：90,0ABCllmlmlcbaABCnAOPlAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

4、- -第 2 页，共 11 页名师总结精品知识点当0时，l或/l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nmlP(2)范围：180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1： 作出二面角的平面角(三垂线定理 )， 并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1： 如图，若平面 POA 同时垂直于平面和，则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三

5、角形，求出二面角。AOP方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一：计算121212cosn nnnnn步骤二：判断与12n n的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP步骤 1： 过点 P 作 PO于 O， 线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段PO 的长度。 (直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图， m 和 n 为两条异面直线，n且/m， 则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法

6、。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师总结精品知识点dcbamDCBAmn如图， AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段，/ mm，则异面直线m 和 n 之间的距离为：cos2222abbacd五空间向量(一)空间向量基本定理若向量cba,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对zyx、，使得czbyaxp。(二) 三点共线，四点共面问题1. A，B，C 三点共线OAxOByOC，且1xy当21yx时， A 是线段 BC 的A， B，C 三点共线ACAB2. A，B，C， D 四

7、点共面OAxOByOCzOD，且1xyz当13xyz时， A是 BCD的A， B，C，D 四点共面ADyACxAB(三)空间向量的坐标运算1. 已知空间中A、B 两点的坐标分别为：111(,)A xy z，222(,)B xyz则：AB ;BAd,AB2. 若空间中的向量111(,)ax y z，),(222zyxb则ababA B C D 1A1C1B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师总结精品知识点a bcosa b六常见几何体的特征及运算(一)长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对

8、角线与相邻的三条棱所成的角分别为、 、，则222coscoscos+若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、，则222coscoscos+3. 若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体) (五)棱锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：棱柱V棱锥V(

9、七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心 O 到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4. 球的表面积公式：体积公式：高考题典例考点 1 点到平面的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师总结精品知识点例 1 如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2， D 为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD； （）求二面角1AA DB的大小；（）求点C到平面1A BD的距离

10、解答过程 （）取 BC 中点 O，连结AOABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCA BC中，平面ABC 平面11BCC B，AO平面11BCC B连结1B O，在正方形11BB C C中，OD，分别 为1B CC C，的中点，1B OBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABA B，1AB 平面1ABD（）设1AB与1AB交于点 G ，在平面1ABD中，作1GFAD于 F ， 连 结AF，由（）得1AB 平面1A BD1AFAD，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AGAB，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1A

11、A DB的大小为10arcsin4（）1ABD中，11152 26A BDBDA DA BS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点 C 到平面1ABD的距离为d由11ABCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSd，1322BCDA BDSdS点 C 到平面1A BD的距离为22考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求A B C D 1A1C1BO F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共

12、 11 页名师总结精品知识点CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 ： 如图所示，取BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF ，EF为BCD的中位线，EFCDCD ,面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离 .又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F 分别是 AB、BC 、BD 的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在 RtSCE中，3222CESCSE在 RtSCF中，30224422CFSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即

13、332331h，解得332h故 CD 与 SE 间的距离为332. 考点 3 直线到平面的距离例 3 如图，在棱长为2 的正方体1AC中， G 是1AA的中点，求BD 到平面11DGB的距离 . 思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程 ：解析一BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点 O 平面11DGB的距离 , 1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA, 又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1, 作GOOH1于 H，则有OH平面11DGB，即 OH 是 O 点到平面1

14、1DGB的距离 . 在OGO1中，222212111AOOOSOGO. B A C D O G H 1A1C1D1B1O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师总结精品知识点又362,23212111OHOHGOOHSOGO. 即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 解析二BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B 平面11DGB的距离 . 设点 B 到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV342

15、22213111GBBDV, ,36264h即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 小结 ：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点， 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角例 4 如图，在 RtAOB中，6OAB，斜边4ABRtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小解答过程 ： （I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角B

16、AOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD平面COD平面AOB（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，CDE 是异面直线AO与CD所成的角在 RtCOE中，2COBO，112OEBO，225CECOOEOCADBEOCADBxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师总结精品知识点又132DEAO在 RtCDE中，515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：

17、在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三 .一般来说， 平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0. 考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥SABCD中，底面 ABCD为平行四边形， 侧面 SBC底面 ABCD 已知45ABC，2AB，2 2BC，3SASB（）证明SABC ； （）求直线SD与平面SAB所成角的大小解答过程：（） 作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面AB，得SO底

18、面ABCD因为SASB，所以AOBO，又45ABC， 故A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD， 由2 2ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SDSAB的面积22111222SABSAAB连结DB，得DAB的面积21sin13522SAB AD设D到平面SAB的距离为h，由于DSABS ABDVV，得121133h SSO S，解得2h设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断

19、直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，DBCASODBCAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师总结精品知识点计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角例 6如图， 已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30 （I）证明BCPQ（II）求二面角BACP的大小过程指引 ： （I）在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB因为，PQ，所以CO，又因为CACB，所以

20、OAOB而45BAO，所以45ABO，90AOB，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ 平面OBC因为BC平面OBC，故PQBC（II）由（ I）知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO 过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由（ I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin 302OHAO在RtOAB中 ，45ABOBAO， 所 以3B OA O， 于 是 在RtBOH中 ，3t a n232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan2小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二

21、面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. A B C Q P A B C Q P O H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师总结精品知识点考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图，已知1111ABCDA B C D是棱长为3的正方体，点E

22、在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）求证：1EBFD， ， ，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂 足 为H，求证：EM 平面11BCC B；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tan过程指引 ： （1）如图，在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND因为AEDN，1NDCF，所以四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形从而ENAD，1FDCN又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而1FDBE因此，1EBFD， ，四点共面（2）如图，GMBF，

23、又BMBC，所以BGMCFB，tantanBMBGBGMBGCFB23132BCBGCF因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM又AB 平面11BCC B，所以EM 平面11BCC B（3） 如图，连结EH 因为MHBF，EMBF， 所以BF 平面EMH， 得E HB F 于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM因为MBHCFB，所以sinsinMHBMMBHBMCFB22223311332BCBMBCCF，tan13EMMHCBAGHMDEF1B1A1D1CCBAGHMDEF1B1A1D1CN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页