2022年指数函数和对数函数复习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念：annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2整数指数幂的运算性质： （1）,mnm naaam nZ（2）,nmmnaam nZ（3）nnnababnZ其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于aNnn, 1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根，Nnn, 1例如： 27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若

2、0a则0na， 若oa则0na；若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8 的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；Nnnn, 10000n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。nnaa4a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann5例题分析：例 1求下列各式的值：（ 1）338（ 2）210（ 3）443（ 4）baba

3、2解：略。例 2已知,0baNnn, 1，化简：nnnnbaba解：当n是奇数时，原式ababa2)()(当n是偶数时，原式abaabbaba2)()(|所以，nnnnbaba22anan为奇数为偶数例 3计算：407407解：40740752)25()25(22例 4求值：54925解：54925425254549252）（4526225252154152）（二）分数指数幂1分数指数幂：10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）nkknaa对分数指数幂也适用，例如： 若0a，则3223233aaa，

4、4554544aaa， 2323aa4545aa即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定： （1）正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载即10, ,rsrsa aaar sQ20 ,srr saaar sQ30 ,0 ,rrraba babrQ说明： （1）有理数指数幂的运算

5、性质对无理数指数幂同样适用；（2） 0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a. 解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 例 2计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；解（ 1）211511336622263a ba ba b=21111 532623 6263ab=044aba；（2）83184m n=883184mn=2233mm nn例 3计算下列各式：

6、（ 1）3451255（2）2320aaaa解： （1）3451255=231324555=213134245555=5512455=512455 5；（2）232aaa=526562132aaaa a（三）综合应用例 1化简：11555xxx.解：11555xxx=15(1525)x=131 5x=3155x.例 2化简：)()(41412121yxyx.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载解：11112244()()xyxy111111444444()()()xyxyxy1144xy评述：此题注重

7、了分子、 分母指数间的联系，即21241)(xx，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。例 3已知13xx，求下列各式的值： （1）1122xx； （2）3322xx.解： （1）11222()xx1111222222()2()xx xx112xx325，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2） （法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5，（法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)

8、xxxx112()()3xxxx23(33)1833222()20 xx，又由130 xx得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx. 二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R2指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即0 x时1y（4）在R上是增函数（ 4）在R上是减函数例 1求下列函数的定义域、

9、值域：（1）1218xy（2）11( )2xy（3）3xy（ 4）1(0,1)1xxayaaa解： （1）210 x12x原函数的定义域是1,2x xR x，令121tx则0,ttR8 (,0)tytR t得0,1yy，所以，原函数的值域是0,1y yy（2）11( )02x0 x原函数的定义域是0,，令11( )2xt(0)x则01t，yt在0,1是增函数01y，所以，原函数的值域是0,1（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3ty在,0是增函数，01y，所以，原函数的值域是0,1（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa101yy，11y，所以，原函

10、数的值域是1,1说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例 2当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。证明：由10 xa得，0 x，故函数定义域0 x x关于原点对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxfx所以，函数11xxaya是奇函数。例 3设a是实数，2( )()21xf xaxR，（1）试证明：对于任意,( )a f x在R为增函数；（2）试确定a的值，使( )f x为奇函数。分析： 此题

11、虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设1212,x xR xx，则12()()f xf x1222()()2121xxaa21222121xx12122(22 )(21)(21)xxxx，由于指数函数2xy在R上是增函数，且12xx，所以1222xx即12220 xx，又由20 x，得1120 x，2120 x，所以，12()()0f xf x即12()()f xf x因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，( )f x在R为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若(

12、 )f x为奇函数，则()( )fxf x，即22()2121xxaa变形得：2 222(21)2(21) 22121xxxxxxa，解得：1a，所以，当1a时,( )f x为奇函数。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N, 就是Nab，那么数b叫做 a 为底N 的对数，记作bNalog，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即baN，logaNbaNb指数式Nab底数幂指数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载对数式bNalog对数的底数真数对数说明： 1在指数式中幂N 0，

13、在对数式中，真数N 0 （负数与零没有对数）2对任意0a且1a, 都有01alog 10a，同样：log1aa3如果把baN中的b写成logaN， 则有logaNaN（对数恒等式） 2对数式与指数式的互换例如：24164l o g 1 6221010010log1002124241l og2221 00. 0110log0.012例 1将下列指数式写成对数式：（1）4525；（2）61264；（ 3）327a；（ 4）15.373m解： （1）5log 6254；（2）21log664；（3）3log 27a；（4）13log 5.37m3介绍两种特殊的对数：常用对数：以10 作底10logN

14、写成lg N自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828，logeN写成ln e例 2 （1）计算：9log 27，345log625解：设x9log 27则27xa，2333x, 32x；令x3 45log625，345625x, 44355x, 5x（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必须：2222102113210 xxxx，0 x舍去，从而2x（3）求底数：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；77888722x, 2x4对数的运算性质：如果a 0 ， a 1，

15、 M 0 ， N 0，那么（1）log ()loglogaaaMNMN；（2）loglog- logaaaMMNN；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载（3）loglog()naaMnM nR例 3计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2. 1lg10lg38lg27lg解： （1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg21

16、4lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg105换底公式：logloglogmamNNa( a 0 , a 1 ；0,1mm) 证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，aNNmmalogloglog说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abba；（

17、2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1） 证明： （1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam例 4计算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32解： （1）原式= 0.251log3log3555151553；（2） 原式= 2345412log452log213log21232例 5已知18log9a，185b，求36log45（用a, b 表示） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必

18、备欢迎下载解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836例 6设1643tzyx，求证：yxz2111证明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11例 7若8log 3p，3log 5q，求lg 5解：8log 3p，)5lg1(32lg33lg33log2ppp，又q3lg5lg5log3，)5lg1(33lg5lgpqq，pqpq35lg)31(pqpq3135lg

19、四、对数函数1对数函数的定义：函数xyalog) 10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质：（ 1）定义域、值域：对数函数xyalog) 10(aa且的定义域为),0(，值域为),(（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10a两种情况归纳，以xy2log（图 1）与xy21log（图 2）为例。1 1 2xy2logyxyx（图 1）1 1 1( )2xy12logyxyx（图 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学

20、习必备欢迎下载（3）对数函数性质列表：图象1a01a性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（ 0，+）上是增函数（ 4）在(0,)上是减函数例 1求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解： （1）由2x0 得0 x，函数2logxya的定义域是0 x x；（2）由04x得4x，函数)4(logxya的定义域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函数)9(log2xya的定义域是33xx例 2比较下列各组数中两个值的大小：（1）

21、2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log 5.1a，log 5.9a. 解： （1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log 3.42log 8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；（3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log 5.1alog 5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log 5.1alog 5.9a例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6；（2）3log，2log

22、 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3解： （1）66log 7log 61，77log 6log 71，6log 77log 6；（2）33loglog 10，22log 0.8log 10，3log2log 0.8(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载（3）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71

23、，0.91.10.7log0.81.1log0.9（4）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3例 4已知log4log 4mn，比较m，n的大小。解：log4log 4mn，4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，44loglognm， 1mn当01m，01n时，得44110loglogmn，44loglognm， 01nm当01m，1n时，得4log0m，40log n，01m，1n， 01mn综上所述，m，n的大小关系为1mn或 01nm或01mn例 5求下列函数的值域：（1）2log (3)yx； （2）22log (

24、3)yx； （3）2log (47)ayxx（0a且1a） 解： （1）令3tx，则2logyt，0t， yR，即函数值域为R（2）令23tx，则03t，2log 3y， 即函数值域为2(,log3（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log 3ay， 即值域为log3,)a，当01a时，log 3ay， 即值域为(,log3a例 6判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定义域为(,)，22()log (1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )f x为奇函数。例 7求函数2

25、132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(,2上递减，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载又2320 xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上递增， 在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 8若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2( )ug xxaxa，函数2logyu为减函数，2( )ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，132(13)0ag，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3, 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页