2022年高等代数课程试卷及参考答案 .pdf

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1、高等代数课程试卷及参考答案代数与解析几何试题（一）一、计算（ 20 分）1）36431412272515312）axaaaaxaaaax二、证明： （20 分）1）若向量组n1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组n1中部分向量线性相关，则向量组n1必线性相关三、 （15 分）已知 A 为 n 阶方阵A为 A 的伴随阵，则 |A|=0，A的秩为 1 或 0。四、 （10 分）设 A 为 n 阶阵，求证， rank（A+I）+rank（A-I）n五、 （15 分）求基础解系032030432143214321xxxxxxxxxxxx六、 （10 分）不含零向量的正交向量组是线性无关

2、的七、 （10 分）求证 ABC 的正弦正定理CcBbAasinsinsin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页答案 ( 一) 一、1）-126 2）1)2()2(naxanx二、证明：1）n1线性无关，r1是其部分向量组，若存在不全为0 的数rkk1使011rrkk则取021nrrkkk，则000111nrrrkk，则可知n1线性相关矛盾，所以r1必线性无关。2）已知r1是向量组中n1中的部分向量，且线性相关即rkk1不全为 0，使011rrkk， 取01nrkk， 于 是 有 不 全 为0的001rkk， 使00

3、0111nrrrkk即n1线性相关。三、证明：IAAAAAA|由于|A|=0 ，A 的秩 n-1 1）若 A 的秩为 n-1，则A中的各元素为A 的所有n-1 阶子式，必有一个子式不为0，又由于A的各列都是AX=0 齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）= 1，由此A的秩为 1。2）若 A 的秩 n-1，则A中的所有A 的n-1 阶子式全为 0，即A=0，A的秩为 0。四、证明：对任意n 级方阵 A 与 B，有rank（A+B）rank（A）+ rank （B）又 rank（AI）=rank（ AI）=rank（IA）rank（A+I）+（IA）=rank（ 2I） = rank（I）

4、=n rank（A+I ）+rank（IA）=rank（A+I ）+rank（ AI）五、000021001011321131111111A取10,0142xx基础解系0011112012精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页六、证明：设neee21是正交向量组，且不含空向量。若有nnekekek2211则0),(),(21iinneeekek且),(21inneekek0)(iiieekni10)(iieeniki1, 0即nee1线性无关七、证明：如图：caacaba)(cacaccb)( A Cabbasin|c

5、bBbccasin|Abccbsin|B aC BacCabAbcsinsinsinCcBbAasinsinsin代数与解析几何试题（二）一、计算： （20 分）1）43213145400320012）nnnbbbbbbb110001000001100011000112211二、 （20 分）若一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余n-1 个向量的线性组合。三、 （10 分）若 S1与 S2是线性空间 V（F）的不同真子空间，求证至少存在一个向量，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页使2, 1iSi四

6、、 （10 分）求基础解系0686503532202463543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx五、 （15 分）证明：含有 n 个未知数的 n+1 方程的方程组1121211122112222212111212111nnnnnnnnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa有解的必要条件是行列式0111122211111nnnnnnnnnnnbaabaabaabaa但这一条件不充分，试举一反例。六、（15 分） 设 V 是 n 维欧氏空间0,V， 求,0)(|V 的维数为 n-1。七、 （10 分）设 ABC 的三条中线的交点为O，求证：0

7、OCOBOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页答案 ( 二) 一、1）-60 2）1 二、证明：若相关， Nwh 不全为 0 的数nkk1使011nnkk设 ki不等 0，于是111111iiiiiikkkkiiiiiiikkkkk11111若有一个向量表示其余之向量n-1 个向量的组合nniiiikkkk111111有nniiiiikkkk11111三、证明：设12222111,SSSS，则21，则21,SS否则1S有112S 矛盾，若2S有221SS矛盾。四、解：000004547431041434901686

8、513532224613A100,010,001543xxx1004541,0104743,0014349321五、解：若有解：则把系数阵各列看作列向量有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页1111)(nnnbbxx， 即n1线性相关，于是有D=0，反之不成立222212yxyxyx有0212212112但无解。六、证明：非空间且221,有（2211kk）000)()(221kk是子空间。把扩充为V的一组基n21，把这组基正交化，neee211,有ie，niei2，即的维数为n-1 七、证明：如图A 已知 O 是

9、ABC 三条中线的交点，由向量加法有E )(21ACABADF O C )(21BCBABFB D )(21CBCACF又CFOCBEOBADOA32,32,32AC)(32CFBEADOCOBOA又0021)(21CBCABCBAACABCFBEAP0OCOBOA代数与解析几何试题（三）一、计算： （20 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页1）32142143143243212）0101011110 xxxxxx二、 （10 分）若一个不含零向量的向量组成线性相关，则至少有两个向量是其余向量的线性组合。三、

10、（20 分）若mSSS21是线性空间V（F）的真子空间，求证到存在一个向量，使)1(miSii四、 （15 分）求证： 1）A2=A，求证： P=2AI 为对合阵2）A 为 2n+1 阶方阵，且 A=A，求证 |A|=0 五、 （10 分）求基础解系0222200432143214321xxxxxxxxxxxx六、 （10 分）若 A 为 n 阶方阵，若对任意的一列矩阵X，均有 AX=0，求证 A 为零阵七、（15 分） 设nee1是 n 维欧氏空间 V 的标准正交基，k1是 V 中 k 个向量，若k1两两正交，则必有0)(1sjsnsieejikji,1,答案 ( 三) 一、 1）160 2

11、）21) 1() 1(nnxn二、证明：n1线性相关， 且不含 0 向量，则有一组不全为0 的数nkk1使nnkk11，因为至少有一个0ik有nniikkk11nibikkkk121若其余的n一 个 系 数ijkk全 为0 ， 则i矛 盾 ， 故 必 有 至 少 有 一 个jikj, 0于 是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页njnjjkkkk11即至少有两个向量是其余向量的线性结合。三、证明：用归纳法，当2n命题成立（由习题4）解设为：kn的命题，当1kn时，由归纳假定存在)1(kiSi若1kS则命题成立。若1k

12、S， 则由1kS为真子空间， 有1kS， 此时有 k， 使Srk， 否则1kSrk，则1kSk同时，对不同的21,kk不含有1k与2k同属于一个)1(kiSi反之，若iiSkSk21,有iSkk)(21中 的 所 有)1(kiki， 于 是 这 样 的k ， 有) 11(kiSkiAA2四、证明： 1）IIAAIAIAP44)2)(2(22P 为对合阵2）A 为 2n+1 阶方阵，且AA有AAAAn 12)1(又AA即0, AAA五、解：00001010101222211111111A令10,0143xx有010111010,2六、证明：A 对任意一列矩阵X 均有AX=0，取00010,001

13、21nXXX于是，0,21AIXXXAn，则 A=0 七、设nee1是n维欧氏空间V 的标准正交基k1是 V 中 k 个向量，若k1两两正交，则必有0)(1sjsnsieejkji1 ,12,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页证明：niniiekek11njnjjekek11又issike )(jssjke )(又ji两两正交，ji，有0)(11ssnnjnnsijijiikkkkkk于是)(11sjsnsee0)(1ijsnsiskk代数与解析几何试题（四）一、计算（ 20 分）1）364314122725153

14、12）n333333333233331二、 （15 分）证明：向量组n21线性相关充分且必要条件是至少有一个向量是其它n 个向量的线性组合。三、 （10 分）若 S1与 S2是线性空间V （F） 的不同真子空间， 求证至少存在一个向量， 使)2 , 1(iSi四、 （20 分）已知A 为 n 阶阵，A为A的伴随时，求证A的秩01n11nAnAnA的 秩 为若的 秩 为若的 秩 为若五、 （10 分）求基础解系0686503532202463543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9

15、 页，共 18 页六、设nee1是 n 维欧氏空间V 的标准正交基，k1是 V 中 k 个向量，若有0)(1sjsnsiee，则k1两两正交七、 （10 分）用向量的数积运算法则证明：三角形的余弦定理：Abccbacos2222答案 ( 四) 一、1）-126 2）6（n-3） ！二、证明：若n1线性相关， 则存在n个不全为0 的数nkk1使011nnkk，不妨设0ik，于是有nnniiiiiiikkkkkkkk1111111若n1有一个向量可表成其它n-1 个向量的线性组合nniiikkkk11111111) 1(三、 证明：S1， S2是 V 的真 r 空间一定有122221,SSSS，

16、于是121,S且2S反之若1S有112S矛盾若2S有221S矛盾四、证明：IAAA若 A 的开头当n，则A01）有nAAA，即01nAA，A的秩为 0。2）若 A 的秩为 n-1，则 A至少有一个n-1 阶子式不为0，0A且由于0IAAA，可知A的各列都0AX的解向量。3）若 A 的秩小于n-1，则 A 的 n-1 阶子式全为0，0A即A的秩等于 0。五、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页000004547431041434901686513532224613A100,010,001543xxx1004541,0

17、104743,0014349321七、证明：如图ABACCB由向量的平行四边形法则可知C b a ),(|22A B )()(2)(Acos|2|22即Abccbacos2222代数与解析几何试题（五）一、计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页1）33322243214321432111112）naaaa1111111111111111321二、证明：若向量组是线性无关的，则部分向量一定是线性无关的。反之却未必成立，试举一例说明。三、 1）证明：秩为r 的矩阵可以表为r 个秩为 1 的矩阵之和。2）证明： A 为

18、可逆阵，则可以左乘若干个初等阵把A 变为单位阵。四、设 A 为 n 阶方阵，证明存在一个非0矩阵 B，使 AB=0 的充分必要条件是|A|=0。五、求基础解系0686503532202463543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx六、设21是欧氏空间中的一线线性无关向量，nee1与nff1是两个没有零向量的正交组，即jiffeejiji,， 若ie与if恒可用i21线性表出， 求证必有nifaeii,2 , 1,1七、用向量的数量积运算法则证明：内接于半圆且以直径为一边的三角是直角三角形。答案 ( 五) 一、1） 12 2）niinaaaa12111 (二、证明：设向量组n

19、1线性无关，r1是其中的部分向量，若r1线性相关，则一定存在不全为0 的数rkk1，使011rrkk，取021mrrrkkk于是不全为0 的数nrrkkkk11,，使nnrrkkk11，则n1线性相关，矛盾，故r1一定线性无关。三、 1）证明：已知A 为秩为 r 的邻阵，则可以运用初等阵使A 为对角线只有r 个 1的其余全为0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页的矩阵，即0010011111TrQAQPP001110010且PA001+00111，则111001PPA100111由初等矩阵的乘积，不改变矩阵的积，所

20、以A 可以表成r 个秩为 1的矩阵之和。2）证明： A 可逆，则IQAQPPr111于是有IQQQQIQAPPtttr111111111得到IAPPQQQrtt111即 A 左乘初等可把A 化为单位阵四、四、证明：=A 为 n 阶阵，A=（11n） ，Xi为 A 的系列作成的向量若存在一个非0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页阵nkkk21，使 AB=0，即（n1）01nkk即n1线性相关， |A|=0 =|A|=0，则n1线性相关， 一定存在一组不全为0 的数nkk1使0)(101nkk，即0021nkkkAB

21、五、000004547431041434901686513532224613A100,010,001543xxx1004541,0104743,0014349321六、证明：归纳法：当n=1 时，111111,umfuke，有111fae假设当kn时成立，iiifaeki1，当kn时，由11111122212121111kkkkkfdfdufdfdufdu又有11111kkkudude1122111kkkkkfdfdfdfde又)1(0)(),(),(111Kiffadfafdeeiiiiiiikiiik精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

22、第 14 页，共 18 页其中0,0),(iiiaff，只有)1(0kidi即111kkkfde七、解：如图AB是直径， O是圆心，且C是半圆上的任意点。OA=OB OCBOBC且OABOOCOACArOCODOA做内积),()(BCBCBCBCCABC),(),(),(),(OCOCOAOCOCBOOABO),(),(),(),(BOOCOCBOOCOCBOOB02222rrOCBO即CABCABC是直角三角形代数与解析几何试题（六）一、计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页1）3643141227251531

23、2）xaaaaaxaaaax二、若 e1en是线性空间 V（F）的一组向量，对 V（F）中任意向量均可表为e1 en的线性组合，且对 V （F）中某个固定向量 ，nnekekek2211表达式唯一， 求证：e1 en是 V（F）的一组基。三、 若 S1与 S2是线性空间 V （F） 的不同真子空间，求证至少存在一个向量， 使2, 1iSi四、已知 A 为 n 阶方阵，A为 A 的伴随阵，若 |A|=0，则A的秩为 1 或 0。五、当 a、b、c 求任何值时，方程组有唯一解，无数多解，无解？323232czccyxbzbbyxazaayx六、设neen是1维欧氏空间 V 的标准正交基，k1是 V

24、 中 K 个向量，求证 K 个向量k1是两两正交的必有0),)(sjsnisiededjikji,1,七、设 ABC的三条中线的交点为O，求证：0OCOBOA答案 ( 六) 一、1） -126 2）x（n1）a(xa) n1二、证明：若有 l1 ln使02211nnelelel，则有nnnelkelk)()(111，若)1(mili不完全当 0，则有两种表达式， 这与已知矛盾，故nieenil1)1(0即线性之点，)(1FVeen是的一组基。三、 证明： S1与 S2是 V （F） 的真了空间，一不相同，于是有12222111,SSSS，故21，则21,SS反若若1S 有112S 矛盾，若2S

25、有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页221SS矛盾。四、证明：IAAAAAA|又已知|A|=0 ，AA0，1）若 A 的秩为 n-1，则A中的各元素为A 的所有n-1 阶子式，必有一个子式不为0，又由于A的各列都是AX=0 齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）= 1，由此A的秩为 1。2）若 A 的秩 n-1，则A中的所有A 的n-1 阶子式全为 0，即A=0，A的秩为 0。五、解：222111ccbbaaA323232111cccbbbaaaA3333332232001acacacabababaaaA

26、1）当cbba,时，秩3A有唯一解。2）当cba秩2)(A，秩1)(A有无数多解3）当2)()(AAcbcaba的秩秩或或有无数多解六、证明：nee1是nV的标准正交基，于是有njnjjjniniiiekekekekekek22112211又由于k1是两两正交，有),()(11nsljlnsliljiekeknsjsiskk10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页又isslnlilsikeeke)()(1jsslnljisjkeeke)()(10)(,(11jsnsissjlsnsikkee七、证明：如图A 已知 O 是 ABC 三条中线的交点，由向量加法有E )(21ACABADF O C )(21BCBABFB D )(21CBCACF又CFOCBEOBADOA32,32,32AC)(32CFBEADOCOBOA又0021)(21CBCABCBAACABCFBEAP0OCOBOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页