2022年高等数学和线性代数公式、定理和性质归纳 .pdf

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1、高等数学和线性代数公式、定理、性质归纳高等数学常见公式归纳导数常见公式：积分常见公式：三角函数的有理式积分公式：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaax

2、adxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页222212211cos12sinududxxtguuuxuux，一些初等函

3、数：两个重要极限公式：常见三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2s

4、in2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11 (lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sins

5、incos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Cabbaccos2222反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1() 1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率

6、：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页.1; 0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynab

7、xf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(222

8、2222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000

9、czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzd

10、xxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(00000000000000000000000

11、0000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页上的投影。在

12、是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( ,0),( ,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：DzDyDxz

13、yxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0 ,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

14、-第 7 页，共 22 页dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLy

15、xfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0 ,0(

16、),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdx

17、dyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,di

18、v)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112) 1(32111112级数审敛

19、法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛

20、；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1) 1()1 ()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也

21、不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12() 1(! 5! 3sin)11(!) 1() 1(! 2) 1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2sin2cossincosixixixixix

22、eexeexxixe或三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnn

23、ncos2)(2, 1 ,0cos)(20sin)(3 ,2, 1nsin)(201241312116413121124614121851311)3, 2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期微

24、分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：) 1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP

25、，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中精选学习资

26、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

27、 - - - - -第 15 页，共 22 页线性代数公式、定理和性质基本知识行列式克莱姆法则注意分母都为原方程组的系数行列式. 注意 ：在利用克莱姆法则解方程组时，系数行列式不能等于零。另外，方程组中方程的个数与未知数的个数必须相等。二阶与三阶行列式的计算- 对角线法则在一个排列i1 is it in中, 如果仅将它的两个数码is 与 it 对调 , 其它数码不变, 得到另一个排列 , 这样的变换 , 称为一个 对换 . 定理任一排列经过一次对换后改变奇偶性. 定理n 个数码 (n1)共有 n!个 n 级排列 , 其中奇偶排列各占一半. 上三角行列式同理可得下三角行列式对角行列式同上,222

28、1121122212111aaaaababDDx.2221121122111122aaaababaDDx333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa.)1(321321321321)(ppppppppptaaannnnaaaaaa00022211211.2211nnaaannnnaaaaaa21222111000.2211nnaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页另外行列式的性质性质 1行列式

29、与它的转置行列式相等，即DT=D 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式的值变号. 推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 性质 3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 , 推论如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零. 性质 4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和. 注意 : 只能拆一行或一列. 性质 5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数k 后加到另一列(行 )对应的元素上去，行列式不变余子式与代数余子式余子式 M 代数余子式A 行列式展开定理n 阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数

30、余子式乘积的和 , 即推论 : 若行列式某行 (列)的元素全为零 ,则行列式的值为零. 定理行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零范德蒙(Vandermonde)行列式矩阵注意 : 不同阶数的零矩阵是不相等的当对角矩阵的主对角上的元都相同时，称为数量矩阵说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 矩阵加法的运算规律：n21.)1(212)1(nnn，记ijjiijMA)1(),2 ,1(2211niAaAaAaDininiiii).,2, 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxx

31、D;)1(ABBA.)()()2(CBACBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页数乘矩阵的运算规律加法和数乘合称为矩阵的线性运算. 矩阵乘法的运算规律：注意 ：交换律不成立矩阵乘法不满足消去律A 的方幂规律一般由于没有交换律转置矩阵的运算性质：推广AAT，则 A 称为对称阵. AAT，则 A 称为反对称阵.反对称阵的对角元全为零方阵的行列式;)1(AAT;)2(AkkAn;)3(BAAB.2121ssAAAAAA特别的.mmAA逆矩阵（1) 只有方阵才可能可逆;(2) 逆阵若存在 , 则必唯一 . 伴随矩阵性质.

32、EAAAAA.11AAA逆矩阵的运算性质;)()()1(AA;)()2(AAA.)()3(BABA;)()()1(BCACAB,)()2(ACABCBA)()()()3(kBABkAABk.)4(AEAAE若,BAAB称 A、 B 可交换，前提A、B 为同阶方阵,lklkAAA.)(kllkAA.)(kkkBAAB;)()1(AATT;)()2(TTTBABA;)()3(TTkAkA.)()4(TTTABAB.)(1221TTTsTsAAAAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页.)(,) 1(111AAAA且亦

33、可逆则可逆若且可逆则数可逆若,0,)2(AA.1)(11AA且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,)3(ABBA.)(1212AA推广.,)5(11AAA则有可逆若注意 A，B 可逆， A+B 不一定可逆，即使可逆，一般.)(111BABA可逆阵 A 若对称 (反对称 )，则也对称 (反对称 ).TA )(11)(TA,1A对称TA )(11)(TA1)( A,1A反对称设CBA,为同阶方阵，ACAB。若A可逆，则CB。对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。伴随矩阵的有关性质: （1）EAAAAA若111)(,1)(,AAAAAAAAA（2）)2()(2nAAAn（3）1nAA（4）TTAAAA)

34、()(,)()(11（5）ABAB)(（6）AkkAn 1)(其中 A,B 均为 n 阶方阵 ,k 为数分块矩阵的运算规则略.11111BOCBAABOCA.11111BCABOABCOA.111BOOABOOA,11111BCAABOOBAC.111OABOOBAO矩阵的初等变换略 见书1)(B11ABA.)()(,)4(AAAAT且亦可逆则可逆若TT11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页矩阵的秩零矩阵的秩规定为0。矩阵秩的性质：(1) 若A为nm矩阵，则),min()(0nmAr；(2) )()(ArArT；

35、)()(ArkAr(0k) ；(3) 若A有一个r阶子式不为零，则rAr)(；若A的所有1r阶子式全为零，则rAr)(；4) 对于n阶方阵A而言，有0)(AnAr;0)(AnAr当 r(A)=min(m, n)时，称矩阵A 为满秩矩阵，可逆矩阵也称为满秩矩阵。(5) 设QP,为可逆阵 , 则)()(ArPAr,)()(ArAQr.注意：初等变换不改变矩阵的秩。阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。矩阵秩的计算方法：用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。方程组有解的充分必要条件是.01rd实际上r即为系数矩阵A的秩 , )(Arr,若01rd,则rArAr)()

36、(若01rd, 则1)()(ArAr,线性方程组解的判定定理线性方程组bAx有解的充分必要条件是.)()(ArAr在有解的情况下，当nAr)(时有唯一解；当nAr)(时有无穷多解；这时自由未知量个数为)(Arn.若nAr)(, 则只有零解，若nAr)(, 则有非零解 . 若nm, 则必有非零解 ,因为此时必有nmAr)(向量的线性运算满足以下八条运算律：(1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g (3) a+=a (4) a+(-a)= (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb (7) (kl)a=k(la) (8) 1a=a 其中 a, b, g

37、 都是 n 维向量 , k, l 为实数 . 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：;),0(,0) 1(为任意数为数零其中kk;,0,) 2(或者则或者若kk.) 3(xx有唯一解向量方程定理 1 在2s情况下 , 向量组s,1线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量能被其余 向量线性表示。推论在2s情况下 , 向量组s,1线性无关的充分必要条件是其中没有哪一个向量能被其余 向量线性表示。注两个向量线性相关( 无关 ) 当且仅当它们成比例( 不成比例 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页定理 (线性无关

38、) 的充分必要条件是齐次线性方程组Ax有( 无) 非零解 , 其中),(1sA. 这又取决于sAr)(或sAr)(定理3 若向量组s,1线性无关 , 而s,1线性相关 , 则能由s,1线性表出 , 且表法唯一。线性相关性的性质(1)如果向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。srrrkk00111.(2) 如果一个向量组线性无关, 则其任一部分组，线性无关. 部分相关整体相关整体无关部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关; 线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关. (2)若向量组s,1线性无关 , 则每个向量各添一个分量后的向量组s,1仍线性无关 . (3)向量组的个数如果多于

39、维数, 则必线性相关。(4) 若向量组s,1可由向量组t,1线性表出，且ts， 则向量组s,1必线性相关 .推论若向量组s,1线性无关 , 且可由向量组t,1线性表出，则ts. (5) 两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量. 向量组的秩一个向量组的一个部分组称为一个极大( 线性 ) 无关组 , 如果它满足 :(1) 是线性无关的,(2)再任意添一个向量(如果还有的话) 所得向量组线性相关. 一个线性无关的向量组, 它的极大无关组就是它本身. 任何一个向量组, 只要它含有非零向量, 就一定有极大无关组. 定理一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价. 若向量组s,1线性无关

40、, 且可由向量组t,1线性表出，则ts.推论若 P,Q 为可逆矩阵 , 则有.)()()(ArAQrPAr线性方程组解的结构见课件特征值与特征向量的性质性质 1(1) 设是矩阵A的属于特征值0的特征向量，则对任意常数0k，k也是A的属于0的特征向量；(2) 若,都是A的属于特征值0的特征向量，则lk),(不全为零lk也是A的属于0的特征向量性质 2属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况. 推广属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。性质 3 矩阵A与它的转置TA有相同的特征值。注意尽管A和TA的特征值相同，但一般它们的特征向量是不同的。性质 4 设0是矩阵A的特征值

41、，是相应的特征向量，则(1) 0k是kA的特征值（k是任意常数） ；(2) m0是mA的特征值（m是正整数）；(3) 当A可逆时 ,00, 且10是1A的特征值 .且仍然是矩阵kA、mA、1A的相应于特征值0k、m0、10的特征向量。（4）) 当 A 可逆时 ,0A是A的特征值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页性质 5;) 1(11niiiniia.)2(1niiAniiia1称为A的迹，记为)(tr A.推论方阵 A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零. 矩阵的迹的性质;)(tr)(tr)( tr)1(BAB

42、A;)(tr)( tr)2(AkkA;)(tr)( tr)3(AAT)(tr)( tr)4(BAAB相似矩阵的性质定理相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同. 推论 1 相似矩阵的行列式相等；推论 2 相似矩阵的迹相等；推论 3 若矩阵 A 与一个对角阵n21相似 ,则n,21即为A的全部特征值。注意特征值相同的矩阵不一定相似. 相似矩阵的其它性质：相似矩阵的秩相等；,1BAPP若 P,Q为可逆矩阵 ,则有.)()()(ArAQrPAr若BA , 则（1）TTBA；（2）kBkA , 其中k为任意常数（3）mmBA, 其中m为任意正整数（4）)()(BpAp, 其中)(xp为任一多项式；（5）它们的特征矩阵AE和BE也相似（6）A ,B 同为可逆或不可逆, 可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。对角化见课件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页