2022年高考数学常用公式及结论知识点 2.pdf

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1、高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论1.UUABAABBABC BC AUAC BUC ABR. 2. 若naaaaA,321, 则的子集有2n个, 真子集有2n1 个, 非空真子集有2n2 个. 3. 从集合naaaaA,321到集合mbbbbB,321的映射有nm个. 4. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假5. 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有 （1n）个小于不小于至多有n个至少有 （1n）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或

2、q6. 四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非7. 充要条件（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件 . （2）必要条件：若qp，则p是q必要条件 . （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 8. 二次函数的解析式的三种形式：一般式2( )(0)f xaxbxc a；顶点式abacabxaxf44222；零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 9. 函数的的单调性：(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxf

3、xxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 10. 函数( )yf x的图象的对称性: ( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x；( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f axf bx()( )f a b

4、xf x；( )yf x的图象关于点( ,0)a对称02xafxafxafxf，( )yf x的图象关于点( , )a b对称bxafxafxafbxf222. 11. 两个函数的图象的对称性: 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称；函数()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线xa对称；函数( )yf x的图象关于直线xa对称的解析式为(2)yfax；函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称的解析式为(2)yfax；函数)(xfy和函数)(1xfy的图象关于直线xy对称 . 12奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴

5、对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数13多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零 . 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零 . 14. 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象 . 15. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数( )fxcx,()(

6、 )( ),(1)fxyf xfyfc. (2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( ) ( ),(1)f xyf x f yf. (5) 余 弦 函 数()c o sfxx, 正 弦 函 数()si ng xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 16. 几个函数方程的周期( 约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的

7、周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxfxaf x, 则)(xf的周期 T=2a；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1( ()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3

8、)(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 17. 分数指数幂：mnmnaa；1mnmnaa（以上0,am nN，且1n）. 18. bNNaablog；NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；loglogmnaanbbm. 19. 对数的换底公式:logloglogmamNNa. 对数恒等式 :logaNaN. 20. 数列na的前 n 项和为12nnsaaa, 则11,1

9、,2nnnsnassn. 21. 等差数列na的通项公式 :dnaan11, 或dmnaamn)(mnaadmn. 前 n 项和公式 : 1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 22. 对于等差数列na，若qpmn(m、n、p、q 为正整数 )，则qpmnaaaa.23. 若数列na是等差数列，nS是其前 n 项和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列 ,其公差dkD2，如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321. 24数列na是等差数列naknb；数列na是等差数列nS=2AnBn.25. 设数列n

10、a是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项的和，nS是前 n 项的和，则前 n 项的和偶奇SSSn；当 n 为偶数时，d2nS奇偶S，其中 d 为公差；当 n 为奇数时，则中偶奇aSS，中奇a21nS，中偶a21nS，11SSnn偶奇，n偶奇偶奇偶奇SSSSSSSn（其中中a是等差数列的中间一项）26. 若等差数列na和nb的前12n项的和分别为12nS和12nT，则1212nnnnTSba. 27. 等比数列na的通项公式 :nnnqqaqaa111；或mnmnmnmnaaqqaa.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 2

11、6 页前 n 项和公式 :11(1),11,1nnaqqsqna q, 或11,11,1nnaa qqqsna q. 28. 对于等比数列na，若vumn(n、m、u、v 为正整数 )，则vumnaaaa. 29. 数列na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列，其公比为kqQ. 30. 分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为b). 31. 裂项法：11111nnnn；1211212112121nnnn；11bababa；!11!1!1nnnn.32常见三角不等式（1）若(0,)2x，

12、则sintanxxx. (2) 若(0,)2x，则1sincos2xx. (3) |sin| cos| 1xx. 33. 同角三角函数的基本关系式: 22sincos1，22sectan1，22csccot1； tan=cossin； tan1cot. 34. 正弦、余弦的诱导公式：212( 1) sin,sin()2( 1)s,nnnncon为偶数为奇数；212( 1)s,s()2( 1)sin,nnconncon为偶数为奇数. 即: “奇变偶不变 , 符号看象限”. 如sin2cos,coscos. 35. 和角与差角公式sin()sincoscossin；cos()coscossinsi

13、n；tantantan()1tantan. 22sin()sin()sinsin；22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab( 其中 , 辅助角所在象限由点( , )a b所在的象限决定,tanba ).36. 二倍角公式：cossin22sin. 2222cos2cossin2cos112sin（升幂公式） . 221cos21cos2cos,sin22（降幂公式） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页37. 万能公式 :22 tansin21tan；221tancos21ta

14、n；22tantan21tan（正切倍角公式） . 38. 半角公式 :sin1costan21cossin. 39. 三函数的周期公式: 函数sin()yAx及cos()yAx的周期2T (A 、 、为常数， 且 A0). 函数xAytan的周期T (A 、 、为常数，且A0). 40.sinyx的单调递增区间为2,222kkkZ, 单调递减区间为32,222kkkZ，对称轴为()2xkkZ, 对称中心为,0k()kZ. 41.cosyx的单调递增区间为2,2kkkZ, 单调递减区间为2,2kkkZ，对称轴为()xkkZ, 对称中心为,02k()kZ. 42.tanyx的单调递增区间为,22

15、kkkZ，对称中心为0 ,2kZk. 43. 三角函数变换: 相位变换 :xysin的图象个单位平移或向右向左00 xysin的图象；周期变换 :xysin的图象倍到原来的或缩短横坐标伸长1110 xysin的图象；振幅变换 :xysin的图象倍到原来的或缩短纵坐标伸长AAA101xAysin的图象 . 44. 正弦定理2sinsinsinabcRABC（R为ABC的外接圆的半径） ；余弦定理2222cosabcbcA；2222cosbcacaB；2222coscababC. 45. 三角形面积公式：111222abcSahbhch（abchhh、分别表示a、b、c 边上的高）；111sins

16、insin222SabCbcAcaB. 46. 在 ABC中，有()222CABABCCAB222()CAB；BAbasinsin（注意是在ABC中） . 47. 平面上两点间的距离公式:,A Bd222121()()xxyy，其中 A11(,)x y，B22(,)xy. 48. 向量的平行与垂直：设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0，则abb=a12210 x yx y；ab (a0)ab=012120 x xy y. 49. 线段的定比分点公式：设111(,)P xy，222(,)P xy，( , )P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则精选学习资料 -

17、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（其中11t） . 50. 若OAxOByOB，则A、B、C共线的充要条件是1yx. 51. 三角形的重心坐标公式: ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ), 则其重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 52. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP ( 图形F 上的任意一点P(x ，y) 在平移后的图形F上的对应点为( ,)P x y，且PP的坐标为(

18、, )h k)；函数xfy按向量kha,平移后的解析式为hxfky. 53. “按向量平移”的几个结论（1）点( ,)P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点(,)P xh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量a=( , )h k平移后得到图象C, 则C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象C按向量 a=( , )h k平移后得到图象C, 若C的解析式( )yfx, 则C的函数解析式为()yf xhk. (4) 曲 线C:( ,)0f x y按 向 量a=( , )h k平 移 后 得 到 图 象C, 则C的 方 程 为(,)0fxhyk. (5) 向量 m =(

19、 ,)x y按向量 a=( , )h k平移后得到的向量仍然为m =( ,)x y. 54.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 55. 常用不等式：(1),a bR222abab222baab( 当且仅当ab 时取“ =”号) (2), a bR2abab22baab( 当且仅当 ab 时取“

20、 =”号) (3) abccba333333 abccba( 当且仅当cba时取“ =”号) (4)bababa,( 注意等号成立的条件). (5)221(0,0)1122ababababab. （6）柯西不等式：22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页56. 极值定理：已知yx,都是正数，则有(1) 如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；(2) 如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s. 57. 解一元二次不等式20(0

21、)axbxc或: 若0a, 则对于解集不是全集或空集时, 对应的解集为“大两边，小中间”. 如: 当21xx,21210 xxxxxxx；12210 xxxxxxxx或. 58. 含有绝对值的不等式：当0a时，有axaaxax22；22xaxaxa或xa. 59. 分式不等式：（1）00 xgxfxgxf；（2）00 xgxfxgxf；（3）000 xgxgxfxgxf；（4）000 xgxgxfxgxf. 60. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时,( )( )( )( )fxg xaaf xg x；( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf x

22、g x. (2) 当01a时,( )()( )( )fxg xaaf xg x；( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. 61. 斜率公式：2121yykxx，其中111(,)P x y、222(,)P xy. 直线的方向向量bav,，则直线的斜率为k=(0)baa. 62. 直线方程的五种形式(1)点斜式：11()yyk xx( 直线l过点111(,)P xy，且斜率为k)(2) 斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距 ). (3) 两点式：112121yyxxyyxx(111(,)P xy、222(,)P xy12xx，12yy).

23、 (4) 截距式：1byax( 其中a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且0,0 ba). (5) 一般式：0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).63. 两条直线的平行和垂直（1）若111:lyk xb，222:lyk xb,则1l2l21kk,21bb；12121llk k. （2）若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,则0/122121BABAll且01221CACA；1212120llA AB B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页64. 夹角公式：2121tan|1kkk

24、k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)；( 注意以下两种特殊情形下的夹角: 12ll，1l或2l的斜率不存在).到角公式 : 直线 l1到 l2的角是2121tan1kkk k(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k).65. 点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 66. 两条平行线间的距离：若直线0:11CByAxl；0:22CByAxl，则2122|CCdAB. 67.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表

25、示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下 .若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域 . 简言之 ,同号在右 ,异号在左 .68.111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CA xB yCA xB yC（12120A A B B） ，则111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域是：111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxB yCA

26、 xB yC所表示的平面区域上下两部分. 69. 圆的方程的四种形式（1）圆的标准方程:222()()xaybr. （2）圆的一般方程:220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程:cossinxarybr.（4）圆的直径式方程:1212()()()()0 xxxxyyyy( 圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy). 70. 圆中有关重要结论: (1) 若 P(0 x,0y) 是圆222xyr上的点 , 则过点 P(0 x,0y) 的切线方程为200 xxyyr. (2) 若 P(0 x,0y) 是圆222()()xaybr上的点, 则过点P(0 x,0y

27、) 的切线方程为200()()()()xaxaybybr. (3) 若 P(0 x,0y) 是圆222xyr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为A 、B 则直线 AB的方程为200 xxyyr. (4) 若 P(0 x,0y) 是圆222()()xaybr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为 A、B，则直线AB的方程为200()()()()xa xaybybr. 71. 圆的切线方程(1) 已知圆220 xyDxEyF若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

28、 - - - - - -第 8 页，共 26 页0000()()022D xxE yyx xy yF. 当00(,)x y圆外时 , 0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线斜率为k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线(2) 已知圆222xyr过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk. 72. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxa

29、yb. 73.(1) 椭圆22221(0)xyabab的准线方程为2axc, 焦半径公式pexaPF；(2) 椭圆22221(0)xyabba的准线方程为2ayc, 焦半径公式peyaPF. 74.(1) 椭圆22221(0)xyabab的通径 ( 过焦点且垂直于对称轴的弦) 长为22ba；(2) 双曲线22221(0,0)xyabab的通径 ( 过焦点且垂直于对称轴的弦) 长为22ba. 75. 椭圆的切线方程(1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线

30、的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.76.(1) 双曲线22221(0,0)xyabab的准线方程为2axc, 焦半径公式pexaPF；(2) 双曲线22221(0,0)xyabba的准线方程为2ayc，焦半径公式peyaPF. 77.(1) 双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为byxa；(2) 双曲线22221(0,0)xyabba的渐近线方程为ayxb. 78. 双曲线的切线方程 (1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221

31、x xy yab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （ 3 ） 双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线0A xB yC相 切 的 条 件 是2222AaBbc.79.(1)P是椭圆22221(0)xyabab上一点 ,F1、F2是它的两个焦点, F1P F2=，则P F1 F2的面积 =2tan2b. (2)P 是双曲线22221(0,0)xyabab上一点 ,F1、F2是它

32、的两个焦点, F1P F2=，则P F1 F2的面积 =2cot2b. 80. 抛物线pxy22上的动点00, yxP可设为 P),2(020ypy或)2,2(2ptptP. 81.(1)P(0 x,0y) 是抛物线pxy22上的一点 ,F是它的焦点 , 则20pxPF；(2) 抛物线pxy22的焦点弦长22sinpl, 其中是焦点弦与x 轴的夹角；(3) 抛物线pxy22的通径长为p2. 82. 抛物线的切线方程(1) 抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp x

33、 x. （3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. 83. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 若弦端点为A),(),(2211yxByx, 则221212()()ABxxyy, 或2211kxxAB, 或22111kyyAB. 84. 圆锥曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. 85. 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是：22222()

34、2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB. 86. “四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF，曲线的 切线，切点弦，中点弦，弦中点方程 均是此方程得到. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页87. 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，有ab存在实数 使a=b88. 对空间任一点O和不共线的三点A、B

35、、C，满足OPxOAyOBzOC，则四点 P 、 A、B、C共面1xyz89. 空 间 两 个 向 量 的 夹 角 公 式 :232221232221332211,cosbbbaaababababa， 其 中 度321,aaaa，321,bbbb. 90.直线AB与平面所成的角:mABmABmAB,cossin，故mABmABarcsin, 其中m为平面的法向量 . 91.锐 二 面 角l的 平 面 角 :nm,coscos,故nmnmarccos或nmnmarccos, 其中m、n为平面、的法向量 . 92. 空间两点间的距离公式: 若222111,xB,zyzyxA,则212212212,

36、zzyyxxdBA. *93. 点 Q 到直线l的距离 :221babaah, 点P 在直线l上 , 直线l的方向向量PAa, 向量PQb. 94. 点 B到平面的距离 :nnABd,n为平面的法向量 ,AB是面的一条斜线 ,A. 95. (1)设直线OA为平面的斜线 , 其在平面内的射影为OB,OA与OB所成的角为1,OC在平面内, 且与OB所成的角为2, 与OA所成的角为, 则12coscoscos. (2)若经过BOC的顶点的直线OA与BOC的两边OB、OC所在的角相等，则OA在BOC所在平面上的射影为BOC的角平分线；反之也成立. 96. 面积射影定理:cosSS( 平面多边形及其射影

37、的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 97. 体积公式 :ShV31锥；ShV柱. 98棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页99. 球的半径是R，则其体积是343VR, 其表面积是24SR100. 球的组合体(1

38、) 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a, 外接球的半径为64a. 101. 分类计数原理:12nNmmm. 分步计数原理:12nNmmm. 102. 排列数公式 :mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn(n，mN*，且mn) 103. 排列恒等式 :1(1)mmnnAnmA； 1mmnnnAAnm； 11mmnnAnA；11nnnnn

39、nnAAA； 11mmmnnnAAmA. 104. 组合数公式 :mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(n，m N*，且mn). 105. 组合数的性质：mnC=mnnC；mnC+1mnC=mnC1；11kknnkCnC. 106. 组合恒等式 : （ 1）11mmnnnmCCm; （2）1mmnnnCCnm; （3）11mmnnnCCm; （ 4）nrrnC0=n2; （ 5）1121rnrnrrrrrrCCCCC. (6)nnnrnnnnCCCCC2210. (7)14205312nnnnnnnCCCCCC. (8)1321232nnnnnnnnCCCC. (9

40、)rnmrnrmnrmnrmCCCCCCC0110. (10)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(. 107排列数与组合数的关系是：mmnnAm C！. 108单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1） “在位”与“不在位”某 （特）元必在某位有11mnA种； 某 （特）元不在某位有11mnmnAA（补集思想）1111mnnAA（着眼位置）11111mnmmnAAA（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有kmknkkAA种 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

41、 - - - - -第 12 页，共 26 页浮动紧贴：n个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kkknknAA11种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、 h 个（1hk） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有khhhAA1种. （3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1mn时，无解；当1mn时，有nmnnnmCAA11种排法 . （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为nnmC. 109分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其

42、分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN) !()!(22.（2） (平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN) !( !)!(!.22.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n +n +n个物体分给m个人， 物件必须被分完，分别得到1n，2n， , ，mn件，且1n，2n， , ，mn这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有!.!.21211mnnnnpnpnnnmpmCCCNmm.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n +n个物体分

43、给m个人， 物件必须被分完，分别得到1n，2n， , ，mn件，且1n，2n， , ，mn这m个数中分别有a、b、c、,个相等，则其分配方法数有!.!.211cbamCCCNmmnnnnpnp12!.!( ! ! !.)mp mn nna b c.（5） (非平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n +n +n个物体分为任意的1n，2n， , ，mn件 无 记 号 的m堆 ， 且1n，2n， ,，mn这m个 数 彼 此 不 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 有!.!21mnnnpN.（ 6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n +n +n个物体分为任意的1n，2n

44、， , ，mn件无记号的m堆，且1n，2n， , ，mn这m个数中分别有a、 b、c、 , 个相等，则其分配方法数有!.)!( !.!21cbannnpNm.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（2mpn nn1+）个物体分给甲、 乙、丙，,等m个人，物体必须被分完， 如果指定甲得1n件， 乙得2n件， 丙得3n件， , 时， 则无论1n，2n， , ，mn等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!.!.21211mnnnnpnpnnnpCCCNmm. 110 “错位问题”及其推广贝努利装错笺问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名

45、师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页1111( )!( 1)2!3!4!nf nnn. 推广 : n个元素与n个位置 ,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为1234( ,)!(1)!(2)!(3)!(4)!( 1)()!( 1)()!mmmmppmmmmf n mnCnCnCnCnCnpCnm12341224!1( 1)( 1)pmpmmmmmmmpmnnnnnnCCCCCCnAAAAAA. 111二项式定理:nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(；二项展开式的通项公式：rrnrnrbaCT1)210(nr，. 112等可能性

46、事件的概率：()mP An. （一次试验共有n 个结果等可能的出现，事件A 包含其中 m个结果）113互斥事件A、B有一个发生的概率：BPAPBAP；n个互斥事件中有一个发生的概率：nnAPAPAPAAAP2121；A、B是两个任意事件，则BAPBAPBAP11. 114相互独立事件A、B同时发生的概率：BPAPBAP；n个相互独立事件同时发生的概率：nnAPAPAPAAAP2121115独立重复试验中: 二项分布 :pnkbppCkPknkknn,;1；几何分布 :pppkgk 11,，其中,3 ,2 ,1k*116 若离散型随机变量的概率分布为1x2x,nx,p1p2p,np,其中121n

47、ppp，则nnpxpxpxE2211为的数学期望 . nnpExpExpExD2222121为随机变量的方差 . 数学期望与方差的性质:baEbaE；DabaD2；22EED. 若pnB,，则pnpDnpE1,；若pkg, 则21,1ppDpE；若10分布，则ppDpE1,. *117正态分布密度函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页x标准正态分布曲线f x = 12e-x22xy22261,2 6xfxex，式中的实数 ，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. *118标准正态分布密度函数221,2 6x

48、fxex. 对于标准正态总体N （0，1） ，)(0 x是总体取值小于0 x的概率，即)()(00 xxPx，其中00 x， 图中阴影部分的面积表示为概率0()P xx只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现: 当00 x时，)(1)(00 xx；而当00 x时， （ 0）=0.5*119对于2( ,)N，取值小于x 的概率：xFx. 12201xxPxxPxxxP21F xF x21xx.120简单随机抽样: 设一个总体中有有限个个体, 如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等, 就称这样的抽样为简单随机抽样. 系统抽样 : 当总体中的个体数较多时

49、, 可将总体分成均衡的几个部分, 然后按照预先定出的规则从每一部分抽取1 个个体 , 得到所需要的样本, 这种抽样叫做系统抽样. 分层抽样 : 当已知总体由差异明显的几部分组成时, 常将总体分成几部分, 然后按照各部分所占的比进行抽样, 这种抽样叫做分层抽样. 注: 这三种抽样的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等；*121. CCnlim（C为常数）；如果1a，那么0limnna；无穷递缩等比数列所有项的和qaS11，其中1q，0q. *122. axfxfaxfxxxxxx000limlimlim*123. 特殊数列的极限（1）0| 1lim11| 11nnqqqqq不存在或.精

50、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页（2）1101100()lim()()kkkktttnttkkta nanaaktb nbnbbkt不存在. （3）111lim11nnaqaSqq（S无穷等比数列11na q (| 1q) 的和）. *124. 函数的极限定理0lim( )xxf xa00lim( )lim( )xxxxf xf xa. *125. 函数的夹逼性定理如果函数f(x)， g(x)， h(x)在点 x0的附近满足：（1）( )( )( )g xf xh x; （2）00lim( ), lim( )xx