2022年高考数学专题解解析几何题的方法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载解解析几何题的方法大全高考解析几何试题一般共有4 题，共计 30 分左右 , 考查的知识点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 例 1已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点， AB=2、OT=t (0t1) ，以 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于AT，使BB垂

2、直且等于BT，BA交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线BA的方程；（2）计算出点P、 Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出,BA点的坐标 . (1 ) 显然tA1 , 1, ，tB11于是直线BA的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；（3）ttkPT1001, tttttttttkQT1111201122222)(. 由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q. 需要注意

3、的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 2已知直线l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与x 轴、 y轴分别交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程讲解： 从直线l所处的位置 , 设出直线l的方程 ,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程

4、.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得 =0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0，x=0，求得)., 0(),0,(mSkmR令顶点 P的坐标为（ x，y） ，由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点P 的轨迹方程方程12222ybxa形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e， 过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；

5、（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值 . 讲 解 ： （ 1 ）,332ac原 点 到 直 线AB ：1byax的 距 离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去 y，整理得07830)31(22kxxk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykk

6、kxykkxxxBE,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k= 7. 为了求出k的值 , 需要通过消元, 想法设法建构k的方程 . 例 4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F1、 F2在 x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线l 过左焦点F1与椭圆交于A、B 两点， ABF2的面积最大值为 12（ 1）求椭圆C 的离心率；（ 2）求椭圆C 的方程讲解：（1）设cFFrPFrPF2| ,| ,|212211, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121

7、rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当 k 存在时，设l 的方程为)(cxky椭圆方程为),(),(,122112222yxByxAbyax由.22e得2222,2cbca. 于是椭圆方程可转化为022222cyx将代入，消去y得02)(22222ccxkx, 整理为x的一元二次方程，得0) 1(24)21(22222kcxckxk. 则 x1、x2是上述方程的两根且221221122|kkcxx，2212221)1(22|1|kkcxxkAB，也可这样求解：|212121yyFFS|21xxkc精选学习资料

8、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载AB 边上的高,1|2sin|22121kkcFBFFFhckkkkcS21|)211(2221222.2141224412221|122224242422222ckkckkkkckkkcii) 当 k 不存在时，把直线cx代入椭圆方程得22221,2| ,22ccScABcy由知 S 的最大值为22c由题意得22c=12 所以2226bc2122a故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：c

9、myx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得：,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym于是21, yy是上述方程的两根. |1)()(|122221221yymyyxxAB2)2(441222222mmccmm2)1(2222mmc, AB 边上的高212mch, 从而222222)2(122122)1 (2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当m=0 取等号，即.22maxcS由题意知1222c

10、, 于是212,26222acb. 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于A、B 两点，且线段精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载AB 的中点在直线02:yxl上. （）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程. 讲解 :（1）设 A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(2222222baaxaxba, 根据韦达

11、定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为（222222,babbaa）. 由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa故椭圆的离心率为22e. （ 2） 由 （ 1） 知, cb从 而椭 圆 的 右 焦点 坐 标为),0,(bF设)0 ,(bF关 于 直线02:yxl的对称点为,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且由已知得4,4)54()53(, 42222020bbbyx故所求的椭圆方程为14822yx. 例 6已知 M：xQyx是, 1)2(22轴上的动点， QA

12、，QB 分别切 M 于 A，B两点，（1）如果324| AB，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点 P 的轨迹方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载A O B C 讲解 :（1）由324| AB，可得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由射影定理，得, 3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线 AB 方程是;0525205252yxyx或（ 2）连接 MB ，MQ，设),0,(),(aQyxP由点 M，P，Q 在一直

13、线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把（ *）及（ * ）消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例 7如图，在RtABC 中， CBA=90 ， AB=2 ，AC=22。DOAB 于 O 点，OA=OB ，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点P 在 E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变 . （ 1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（ 2） 过 D 点的直线L 与曲线 E 相交于不同的两点M、 N 且 M 在 D、 N 之间

14、，设DNDM，试确定实数的取值范围讲解 : （1）建立平面直角坐标系, 如图所示. | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y =22)22(22222动点 P的轨迹是椭圆. x.1, 1,2cba曲线 E 的方程是1222yx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载（2）设直线L 的方程为2kxy, 代入曲线E 的方程2222yx，得068) 12(22kxxk设 M1（),(),221,1yxNyx, 则.126,128,06)12(4)8(2212212kxxkkxxkki) L

15、与 y 轴重合时，31|DNDMii) L 与 y 轴不重合时，由得.232k又21xxxxxxDNDMNDMD, ,012xx或,012xx01 , 212)(122121221xxxxxxxx. )12(332) 12(664)(2222122kkkxxxx而,232k.8)12( 362k,316)12(33242k316214, 31012, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载.131,3101,21, 10的取值范围是1 ,31. 值得读者注意的是，直线L与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引

16、起警惕. 例8直 线l过 抛 物 线)0(22ppxy的 焦 点 ， 且 与 抛 物 线 相 交 于A),(),(2211yxByx和两点 . （1）求证：2214pxx; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线. 讲解 : （1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF. 若 lx 轴，则 l 的方程为4,2221PxxPx显然. 若l不垂直 于x轴 ，可设)2(Pxky, 代入抛物 线方程 整理得4,04)21(221222PxxPxkPPx则. 综上可知2214pxx. （ 2 ） 设dcdpdDcpcC且),2(),2(22， 则CD的 垂 直 平 分

17、 线l的 方 程 为)4(2222pdcxpdcdcy假设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc. 这时l的方程为y=0， 从而l与抛物线pxy22只相交于原点 . 而 l 与抛物线有两个不同的交点，因此l与 l 不重合， l 不是 CD 的垂直平分线 . 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线

18、公路l 一侧的土石， 通过公路上的两个道口A 和 B， 沿着道路AP、BP 运往公路另一侧的P 处， PA=100m，PB=150m， APB=60 ，试说明怎样运土石最省工？讲解 : 以直线 l 为 x 轴，线段AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即|MA| |MB|=|BP| |AP|=50, 750| AB, M 在双曲线1625252222yx的右支上 . 故曲线右侧的土石层经道口B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿 AP 运往P处，按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合 , 分类讨论 , 函数与方程等数学思想 , 以及定义法 , 配方法 , 待定系数法 , 参数法 , 判别式法等数学通法.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页