2022年高考数学回归课本教案三角函数 .pdf
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1、学习必备欢迎下载高考数学回归课本教案整理:卢立臻第六章三角函数一、基础知识定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制,把一周角360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2 弧度。 若圆心角的弧长为L, 则其弧度数的绝对值|=rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y) ,到原点的距离
2、为r,则正弦函数sin=ry,余弦函数cos=rx,正切函数 tan=xy,余切函数cot=yx,正割函数 sec=xr,余割函数csc=.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan=cot1,sin=csc1, cos=sec1;商数关系: tan=sincoscot,cossin;乘积关系: tan cos=sin,cotsin=cos;平方关系: sin2+cos2=1, tan2+1=sec2 , cot2+1=csc2. 定理 2 诱导公式() sin(+ )=-sin, cos( +)=-cos, tan( +)=tan, cot( + )=cot; ( )sin(-
3、)=-sin, cos(-)=cos, tan(- )=-tan , cot(-)=cot; ()sin( -)=sin, cos( -)=-cos, tan=( -)=- tan, cot( -)=-cot; () sin2=cos, cos2=sin, tan2=cot(奇变偶不变,符号看象限)。定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(xR)的性质如下。单调区间:在区间22,22kk上为增函数,在区间232,22kk上为减函数,最小正周期为 2. 奇偶数 . 有界性:当且仅当x=2kx+2时,y 取最大值1,当且仅当x=3k-2时, y 取最小值 -1。对称性:直线x=k+2均
4、为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为 -1,1。这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质, 根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间:在区间 2k , 2k + 上单调递减, 在区间 2k - , 2k 上单调递增。 最小正周期为2 。奇偶性: 偶函数。 对称性:直线 x=k 均为其对称轴,点0,2k均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2k时,y 取最大值 1;当且仅当x=2k -时, y 取最小值 -1。值域为 -1,1。这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xk +2)在开区间 (k -2, k +2)上为精选学习资料 - - - - - -
5、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页学习必备欢迎下载增函数 , 最小正周期为 ,值域为( -, +) ,点( k ,0) , (k +2,0)均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式:cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin ; tan()=.)tantan1()tan(tan定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+sin=2sin2cos2,sin -sin=2sin2cos2, cos+cos=2cos2cos2, cos -cos=-2sin2sin2, sincos=21sin(+)+sin(-),
6、cossin=21sin(+)-sin(-), coscos =21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-). 定理 8 倍角公式 :sin2 =2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1(tan22定理 9 半角公式 :sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1 (, tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin定理 10 万能公式 : 2tan12tan2sin2, 2tan12tan1cos22, .2tan12tan2tan2定理 11 辅助角公式:如果a
7、, b 是实数且 a2+b20,则取始边在x 轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为 ,则 sin=22bab,cos=22baa,对任意的角. asin+bcos=)(22basin(+). 定理 12 正弦定理:在任意ABC 中有RCcBbAa2sinsinsin,其中 a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边, R 为 ABC 外接圆半径。定理 13 余弦定理:在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角A,B,C 的对边。定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得y=sinx+k 的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(
8、相位变换); 纵坐标不变, 横坐标变为原来的1, 得到 y=sinx(0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页学习必备欢迎下载的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换) ;y=Asin(x+)(0)的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换) ;y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅 )的图象向右平移个单位得到y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数,记作y=a
9、rcsinx(x-1, 1) ,函数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, + ). y=cosx(x0, )的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x -, +). 定理 15 三角方程的解集, 如果 a(-1,1), 方程 sinx=a的解集是 x|x=n +(-1)narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR,方程 tanx=a 的解集是x|x=k +arctana, kZ。恒等式: ar
10、csina+arccosa=2;arctana+arccota=2. 定理 16 若2,0 x,则 sinxx-1,所以 cos0 ,2x,所以 sin(cosx) 0,又 00,所以 cos(sinx)sin(cosx). 若2,0 x,则因为sinx+cosx=2cos22sin222xx(sinxcos4+sin4cosx)=2sin(x+4)22,所以 0sinx2-cosxcos(2-cosx)=sin(cosx). 综上,当x(0, )时,总有cos(sinx)0,求证:.2sincossincosxx【证明】若+2,则 x0,由 2- 0 得 coscos(2- )=sin, 精
11、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页学习必备欢迎下载所以 0sincossin(2-)=cos, 所以 0sincos1,所以.2sincossincossincossincos00 xx若+2,则 x0,由 02-cos(2-)=sin0, 所以sincos1。又 0sin 1,所以2sincossincossincossincos00 xx,得证。注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。3最小正周期的确定。例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先,
12、T=2是函数的周期(事实上,因为cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx) ;其次,当且仅当x=k +2时, y=0(因为 |2cosx|2 ), 所以若最小正周期为T0,则 T0=m , mN+,又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos ),所以 T0=2 。4三角最值问题。例 5 已知函数y=sinx+x2cos1,求函数的最大值与最小值。【解法一】令 sinx=4304sin2cos1,cos22x, 则有 y=).4sin(2sin2cos2因为4304,所以42,所以)4sin(0 1,所以当43,即 x=2k -2(kZ)时, ymin=0,当4,即 x=2k
13、 +2(kZ)时, ymax=2. 【解法二】因为 y=sinx+)cos1(sin2cos1222xxx, =2(因为 (a+b)22(a2+b2)) ,且|sinx|1x2cos1,所以 0sinx+x2cos12,所以当x2cos1=sinx,即 x=2k +2(kZ)时, ymax=2,当x2cos1=-sinx,即 x=2k -2(kZ)时, ymin=0。例 6 设 0 ,求 sin)cos1 (2的最大值。【解】因为00, cos20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页学习必备欢迎下载所以 sin2
14、( 1+cos)=2sin2cos22=2cos2cos2sin22222322232cos2cos2sin22=.9342716当且仅当2sin22=cos22, 即 tan2=22, =2arctan22时, sin2(1+cos)取得最大值934。例 7 若 A,B,C 为 ABC 三个内角,试求sinA+sinB+sinC 的最大值。【解】因为 sinA+sinB=2sin2BAcos2sin22BABA, sinC+sin23sin223cos23sin23CCC, 又因为3sin243cos43sin223sin2sinCBACBACBA,由,得sinA+sinB+sinC+sin
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