2022年高考数学二轮复习名师知识点总结：集合与常用逻辑用语 .pdf

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1、集合与常用逻辑用语1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定， 常与函数、 不等式、 三角函数、 立体几何、 解析几何、 数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下1 集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验(2)集合与集合之间的关系：A? B，B? C? A? C，空集是任何集合的子集，含有n 个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n1，非空真子集数为2n 2. (3)集合的运算：?U(AB)(?UA)(?UB)，?

2、U(AB)(?UA)(?UB)，?U(?UA)A. 2 四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理3 充分条件与必要条件若 p? q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若p? q，则 p，q 互为充要条件4 简单的逻辑联结词(1)命题 pq，只要 p，q 有一真，即为真；命题p q，只有 p， q均为真，才为真；綈p 和 p 为真假对立的命题(2)命题 pq 的否定是 (綈 p) (綈 q)；命题 pq 的否定是 (綈 p)(綈 q)5 全称量词与存在量词“? x M，p(x)”的否定为“ ?

3、 x0M，綈 p(x0)”；“ ? x0M，p(x0)”的否定为“?xM，綈 p(x)”. 考点一集合间的关系及运算例 1(1)(2012 课标全国 )已知集合A1,2,3,4,5 ，B( x，y)|xA，yA，xyA，则B 中所含元素的个数为() A3 B6 C8 D10 (2)设函数 f(x)lg(1x2)，集合 Ax|yf(x) ，B y|yf(x) ，则图中阴影部分表示的集合为() A1,0B(1,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页C(， 1) 0,1) D(， 1 (0,1) 弄清 “集合的代表元素

4、”是解决集合问题的关键答案(1) D(2)D 解析(1) B( x，y)|xA，yA，xyA ，A1,2,3,4,5 ，x2，y1； x3，y 1,2；x4， y1,2,3； x5，y 1,2,3,4. B (2,1) ， (3,1)，(3,2)，(4,1)， (4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4) ，B 中所含元素的个数为10. (2)因为 A x|yf(x) x|1x20 x|1x1，则 u1 x2 (0,1，所以 B y|yf(x) y|y0 ，AB(，1)，AB(1,0，故图中阴影部分表示的集合为(， 1 (0,1)(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求

5、解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解(1)(2013山东 )已知集合A 0,1,2 ，则集合Bxy|xA，yA中元素的 个数是() A1 B3 C5 D9 (2)设全集 U R，集合 Px|yln(1x) ，集合 Qy|yx，则右图中的阴影部分表示的集合为() Ax|1x0， xR B x|1x0，xR C x|x1，x R 答案(1)C(2)B 解析(1)xy2， 1，0，1，2. (2)由 1x0 得

6、x1，即 Px|x1 ；Q y|y 0，因此结合题意得，题中的阴影精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页部分表示的集合是P(?RQ)x|1x0，xR考点二四种命题与充要条件例 2(1)已知 a，b，cR，命题“若abc 3，则 a2b2c23”的否命题是() A若 abc3，则 a2b2c23 B若 abc3，则 a2b2c23 且 y3”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(1)从“否命题 ”的形式入手， 但要注意 “否命题 ” 与“命题的否定 ”的区别(2)结合图形与性质，从

7、充要条件的判定方法入手答案(1)A(2)B 解析(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以 A 正确(2)如图： x2y29 表示以原点为圆心，3 为半径的圆上及圆外的点，当 x2y29 时， x3 且 y3 并不一定成立，当x2，y3 时， x2y29，但 x3 且 y3 不成立；而x3 且 y3 时， x2y29 一定成立，故选B. 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于， 而不是单纯的大于、也不是单纯的小于进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这

8、里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可(1)(2012天津 )设 xR，则“ x12”是“ 2x2x 10”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)给出以下三个命题：若 ab0，则 a0 或 b0；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页在 ABC 中，若 sin Asin B，则 AB；在一元二次方程ax2bxc0 中，若 b24ac0 的解集为x x12或 x12? 2x2x 10，但2x2x10D? /x12，故选 A. (2)在ABC

9、 中，由正弦定理得sin Asin B? ab? AB.故选 B. 考点三逻辑联结词、全称量词和存在量词例 3(1)(2012 湖北 )命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是() A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数(2)已知命题p：抛物线 y2x2的准线方程为 y12；命题 q：若函数 f(x 1)为偶函数，则 f(x)关于 x1 对称则下列命题是真命题的是() ApqBp(綈 q) C(綈 p)(綈 q) D pq答案(1)B(2)D 解析(1)通过否定原命题得出结论原命题的否

10、定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”(2)命题 p：抛物线y 2x2的准线方程为y18，所以命题p 是假命题命题 q：将函数 f(x1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象， 所以函数 f(x)的图象关于 x1 对称，故命题q 是真命题所以pq 为真(1)全称命题 (特称命题 )的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词 )，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假可以先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断(2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化若是由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

11、- - - -第 4 页，共 12 页命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算(1)(2013课标全国 )已知命题p：? xR,2x1 D 2a1 答案(1)B(2)C 解析(1)当 x0 时，有 2x3x，不满足2x3x， p：? xR,2x1. 1 解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性， 空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决2 判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应精选学习资料 - - - - - - - -

12、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页关系， 把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法3 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断4 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的. 1 已知集合 AzC|z12ai，aR，BzC|z|2 ，则 AB 等于() A1 3i,13i B3i C1 2 3i,12 3i D1 3i 答案A 解析AB 中

13、的元素同时具有A， B 的特征，问题等价于|12ai|2， aR，解得a32.故选 A. 2 下列命题中正确的是() A若命题p 为真命题，命题q为假命题，则命题“pq”为真命题B“ sin 12”是“ 6”的充分不必要条件Cl 为直线， ， 为两个不同的平面，若l ， ，则 lD命题“ ? xR,2x0”的否定是“ ? x0R,2x00”答案D 解析对 A，只有当 p，q全是真命题时， pq 为真； 对 B，sin 12? 2k 6或 2k56，kZ，故 “sin 12”是“ 6”的必要不充分条件；对C，l ， ? l或 l? ；对 D，全称命题的否定是特称命题，故选D. 3 若集合 Ax|

14、x2x20 ， Bx|2x2 Ba 2 Ca1 Da 1 答案C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页解析Ax|1x2 ，Bx|2x1. (推荐时间： 40 分钟 ) 一、选择题1 (2013 课标全国 )已知集合A1,2,3,4 ，Bx|x n2，n A，则 AB 等于 () A1,4 B2,3 C9,16 D1,2 答案A 解析xn2，nA， x1,4,9,16. B 1,4,9,16 A B1,4 ，故选 A. 2 (2012 安徽 )命题“存在实数x，使 x1”的否定是() A对任意实数x，都有 x1 B不存

15、在实数x，使 x1 C对任意实数x ，都有 x1 D存在实数x，使 x1 答案C 解析利用特称命题的否定是全称命题求解“存在实数x，使 x1” 的否定是 “对任意实数x，都有 x1” 故选 C. 3 (2013 福建 )已知集合A1 ，a， B1,2,3 ，则“ a3”是“ A? B”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页解析a3 时 A1,3 ，显然 A? B. 但 A? B 时， a2 或 3.所以 A 正确4(2013 湖北

16、)已知全集为R，集合 A x|12x1 ，Bx|x2 6x8 0 ，则 A?RB 等于() Ax|x 0 B x|2 x4 C x|0 x4 Dx|04 或 x2 x|0 x45 已知集合 P0， m，Q x|2x25x0，xZ，若 PQ?，则 m 等于() A1 B2 C1 或52D1 或 2 答案D 解析由于 Q x|2x2 5x0， xZ x|0 x0，若 p q 为假命题，则实数m 的取值范围是() A1， ) B(， 1C(， 2 D1,1答案A 解析pq 为假命题， p 和 q 都是假命题由 p：? x R， mx220 为假命题，由綈 p：? xR，mx2 20 为真命题，m0.

17、 由 q：? x R， x2 2mx 10 为假命题，得綈 q：? xR，x22mx10 为真命题， (2m)240? m21? m1 或 m1. 由和得 m 1，故选 A. 9 设平面点集Ax，yy xy1x 0 ，B ( x，y)|(x1)2(y1)21 ，则 AB所表示的平面图形的面积为() A.34 B.35 C.47 D.2答案D 解析借助图形，数形结合求解由题意知 AB 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y1x与直线 yx 将圆 (x1)2 (y 1)21 分成 S1， S2，S3，S4四部分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

18、-第 9 页，共 12 页圆(x1)2(y1)21 与 y1x的图象都关于直线y x 对称，从而 S1S2，S3S4，而 S1S2S3S4 ，S阴影S2S42. 10给出下列命题：? xR，不等式x22x4x3 均成立；若 log2xlogx22，则 x1；“若 ab0 且 ccb”的逆否命题；若 p 且 q 为假命题，则p，q 均为假命题其中真命题是() ABCD答案A 解析中不等式可表示为(x1)220，恒成立； 中不等式可变为log2x1log2x 2，得 x1；中由 ab0，得1a1b，而 c0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；由 p 且 q 为假只能得出p，q 中至少有一个

19、为假， 不正确二、填空题11 (2012 天津 )已知集合A x R|x2|3 ，集合BxR|(xm)(x 2)0 ，且AB(1，n)，则 m_，n_. 答案11 解析Ax|5x1 ，因为 AB x|1xn，Bx|(xm)(x2)0 ，所以 m 1，n1. 12已知 R 是实数集， M x|2x1 ，Ny|yx11，则 N(?RM)_. 答案1,2解析M x|2x1 x|x2 ，N y|yx11 y|y1 ，?RMx|0 x 2，N (?RM) x|1 x2 1,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页13 设 p：

20、xx20， q： 0 xm， 若 p 是 q 成立的充分不必要条件，则 m 的取值范围是 _答案(2， ) 解析p：0 x2. 14设 A 是整数集的一个非空子集，对于kA，如果 k1D/A，且 k1D/A，那么称k 是 A 的一个“孤立元”，给定S 1,2,3,4,5,6,7,8 ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个答案6 解析所求不含 “孤立元 ”的集合中的元素必是连续三个整数，故有1,2,3 ， 2,3,4 ，3,4,5 ，4,5,6 ，5,6,7 ，6,7,8 共 6 个15给出下列四个命题：命题“若 ，则 cos cos ”的逆否命题；“ ? x0R

21、，使得 x20 x00”的否定是：“? x R，均有 x2x0” 的否定应是：“? xR，均有 x2x0”，故 错；对，因由 “ x2 4”得 x 2，所以 “x24”是“x 2” 的必要不充分条件，故错；对，p，q 均为真命题，由真值表判定p 且 q 为真命题，故正确16对于集合M、N，定义： MNx|xM 且 x N，MN(MN) (NM)设 Ay|y x23x，x R ，Bx|ylog2(x) ，则 A B_. 答案(，94)0， ) 解析Ay|y94，B x|x0 ，AB x|x0 ，B A x|x94，则 A B(AB) (BA)( ，94)0， )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页