2022年高考理数母题题源专练专题椭圆双曲线与抛物线的方程及几何性质 .pdf

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1、【母题来源一】2016 高考新课标3【母题原题】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点 .P为C上一点，且PFx轴. 过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（ D）34【答案】 A考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c的值，进而求得e的值； （2）建立, ,a b c的齐次等式，求得ba或转化为关于e的等式求解；(3) 通过特殊值或特殊位置，求出e【母题来源二】 【母题来源二】2016 高考山东【母

2、题原题】已知双曲线E：22221xyab（a0，b 0） ，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2| AB|=3| BC| ，则 E的离心率是 _. 【答案】 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页【解析】假设点 A 在第一象限， 点 B 在第二象限， 则2bA(c,)a，2bB(c,)a， 所以22b|AB |a，|BC |2c，由2 AB3 BC，222cab得离心率e2或1e2（舍去），所以 E的离心率为 2. 考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题

3、解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等. 【命题意图】本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本知识的理解，以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）、与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知识的理解与简单的应用。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题与填空题的形式出现，也会出现在解答题中第一问，难度一般

4、中等，有时中等偏上，一般不会作为把关题，在考查内容上一般以求离心率，求双曲线的渐近线，求最值，求范围，利用性质求曲线方程等，着重考查对基本概念和基本性质的理解与应用，题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定，计算量比过去减少，但思考量增大，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功.【得分要点】 1.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础. 因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求1212PFPFF F，双曲线的定义中要求1212PFPFF F，抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一

5、个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点 M 与定点 F的距离和它到定直线l 的距离之比等于1)，常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化. 2. 求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1) 定义法； (2) 待定系数法，若顶点在原点，对称轴为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页坐标轴的抛物线，可设为22yax或22xay (0a) ，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义若椭圆的焦点位置不确定，椭圆的标准方程可设为221(0,0)

6、xymnmn，也可设椭圆方程为221(0,0)AxByAB，若双曲线的焦点位置不确定，双曲线的标准方程可设为221(0)xymnmn，也可设双曲线的方程为221AxBy，其中,A B异号且都不为0，若已知双曲线的渐近线方程为0axbx，则可设双曲线的标准方程为axbx（0）可避免分类讨论，这样可以避免讨论和繁琐的计算3. 求解与二次曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像 . 对椭圆当涉及到顶点、焦点、 长轴、 短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 对双曲线应围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点） ， “

7、四线”（两条对称轴，两条渐近线）， “两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 4. 椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用, 椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为 ,ac ac. 在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F，另一个顶点P在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF的周长为定值等于22ac，面积等于212tan2F PFb，其中b是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22b

8、a. 双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用，双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为 ,ca). 在双曲线中， 如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F，另一个顶点P在双曲线上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于212tan2bF PF，其中b是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22ba. 抛物线中 : 抛物线上一点11(,)P x y，F 为抛物线的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页焦点，对于四种抛物线的焦

9、半径公式分别为（p0） ：22112:;2:22ppypxPFxypxPFx22112:;2:22ppxpyPFyxpyPFy . 焦点弦长公式： 对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（pO ）的焦点F 的弦为 AB，A11(,)x y，B22(,)xy，AB的倾斜角为，则有12ABxxp或22sinpAB，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求. 在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切. 5. 求椭圆、 双曲线的离心率， 关键是根据已知条件确定, ,a b c的等量关系， 然后把b用,a c代换

10、，求ca的值；椭圆求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出, ,a b c的等式或不等式，结合222abc化出关于,a c的式子，再利用cea，化成关于e的等式或不等式，从而解出e的值或范围 . 离心率e与,a b的关系为：222222cabeaa=221ba21bea.双曲线求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出, ,a b c的等式或不等式，结合222cba化出关于,a c的式子， 再利用cea，化成关于e的等式或不等式，从而解出e的值或范围 . 离心率e与,a b的关系为：222222cabeaa=221ba21bea，在双曲线中由于221bea，故双曲线的渐近线与离心率密

11、切相关. 求离心率的范围问题关键是确立一个关于, ,a b c的不等式，再根据, ,a b c的关系消掉b得到关于,a c的不等式，由这个不等式确定,a c的关系 求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种： 一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c， 然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于,a c的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数6. 抛物线22ypx（0p）上点的坐标可设为（200,2yyp） ，在计算时，可以降低计算量. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

12、 - - - -第 4 页，共 14 页7. 焦点三角形问题的求解技巧(1) 所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形(2) 解决此类问题要注意应用三个方面的知识：椭圆或双曲线的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式【母题 1】已知抛物线xy82的焦点到双曲线)0, 0( 1:2222babyaxE的渐近线的距离不大于3，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A2, 1( B2, 1 ( C),2 D),2【答案】 B【解析】 抛物线的焦点是2,0F，由条件可得222233bbcab，从而得22e，进而解得离心率的取值范围是2, 1 (，故

13、选 B.考点： 1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率.【名师点晴】本题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性问题，属于中档题. 解决本题的基本思路及切入点是：首先求出抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，根据题意进而得到关于,a b的一个不等式，再结合222abc，即可求得双曲线的离心率e的取值范围，并最终使问题得以解决.【母题 2】如图，12,A A为椭圆22195xy的长轴的左、右端点，O为坐标原点，,S Q T为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页椭圆上不同于12,A A的三点，直

14、线12,Q,QAA OS OT围成一个平行四边形OPQR，则22OSOT（）A5 B35 C9 D14【答案】 D考点：椭圆的方程及其几何性质【名师点晴】本题是一个椭圆及其几何性质方面的综合性问题，属于中档题. 解决本题的基本思路及切入点是：为不失一般性和减少计算量，可以采取特殊点的方法，即取Q点为椭圆的上顶点，这时根据椭圆的对称性可知，点,S T是关于y轴对称的，再根据1AQOTP以及点,S T在椭圆上，即可求出22OTOS的值 .【母题 3】已知直线2:kxyl过椭圆)0(12222babyax的上顶点B和左焦点F，且被圆422yx截得的弦长为L，若554L，则椭圆离心率e的取值范围是（）

15、A55,0( B552,0( C553,0( D554,0(【答案】 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页考点： 1. 直线与圆的位置关系；2. 椭圆离心率【名师点晴】直线与圆, 直线与椭圆的位置关系, 相对简单的是直线与圆的位置关系. 本题先利用直线2:kxyl被圆422yx截得的弦长为L，且554L, 利用点到直线距离公式,可以求出214k, 然后根据题意, 直线2:kxyl过椭圆)0( 12222babyax的上顶点B和左焦点F, 求出椭圆2222242,4bcabckk, 代入离心率公式就可以求出离心率的取

16、值范围. 在解题过程中, 先易后难寻找突破口.【母题 4】设12,A A分别为双曲线2222:10,0 xyCabab的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率122MAMAkk，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A1, 2 B1, 3 C3,D1,2【答案】 B【解析】假设),(yxM，)0 ,(),0,(21aAaA，则axykaxykMAMA21,，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页22221axykkMAMA，又点M在双曲线上，有) 1(122222222axbybyax，代入22221axykkMAM

17、A中可得31212)(2222222222222eeaacabaxabaxb，所以本题正确选项为B.考点：直线的斜率，圆锥曲线的离心率.【名师点睛】解答本题首先得点由M及两焦点12,A A利用两点式求得直线21MAMA，的斜率21MAMAkk，从而求得22221axykkMAMA，其次将yx,的关系式代入其中，进行化简整理，便能得到ba,的不等式关系，再由离心率的定义求得离心率的取值范围即可. 也可将22222,abaec直接代入不等式2)(222222222abaxabaxb中，直接求得e的范围 . 【母题 5】如图所示，已知椭圆)0( 1:2222babyaxC，222:byxO，点FA、

18、分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是O上的动点， 且PFPA为定值， 则椭圆C的离心率为（）A212 B213 C21 D215【答案】 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页法二：P取圆与x轴的左右两个交点这两个特殊位置，易得PFPA=cbbacbba，化简得：222caacb，012ee，512e，故选 D.考点： 1、圆及其性质；2、椭圆及其性质.【名师点晴】本题主要考查圆及其性质、椭圆及其性质，属于难题本题利用两点间距离公式将PAPF解析化，经过变形、系数对比得)(2222cbab，ca，即)()(2222c

19、baabc，可得3322acca、再变形得到三次方程0123ee，结合e的取值范围10e得到正解 . 本题可以通过特殊位置规避繁琐计算，巧解本题【母题 6】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为 _.【答案】26精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页考点： 1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的离心率. 【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当

20、涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系 . 求离心率问题应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式， 从而求出e的值 . 本题是利用四边形的特殊性质构造出e的等式， 最后解出e的值. 【母题 7】如图， 已知点Q 2 2,0及抛物线24xy上的动点, x y，则Qy的最小值是（）A2 B3 C4D2 2【答案】 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质【名师点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准

21、方程及其简单的几何性质的应用，其中将点P到准线1y的距离转化为点P到焦点F的距离是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，利用抛物线的定义，将点P到准线1y的距离转化为点P到焦点F的距离PF，在利用不等式的性质，即可求解结果【母题 8】已知0ab，椭圆1C的方程为22221xyab，双曲线2C的方程为22221xyab，1C与2C的离心率之积为32，则2C的渐近线方程为（）A20 xy B20 xy C20 xyD20 xy【答案】 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页考

22、点： 1 、椭圆、双曲线的离心率；2、双曲线的渐近线.【名师点晴】本题主要考查利用椭圆、双曲线的简单性质及椭圆、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线，属于中档题. 求解与椭圆双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 本题解答过程是根据离心率之积列出关于,a b的方程解得ba，进而得到渐近线方程的.【母题 9】若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)F，直线37yx与椭圆相交所得弦中点的纵坐标为1，则该椭圆的方程为（）A2211620 xy B2211216xy C

23、221128xyD221812xy【答案】 D【解析】设椭圆的方程为22221yxab，直线37yx与椭圆相交所得弦设为1122,AB A x yB xy，联立22221yxab，37yx消y可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页2222222942490abxb xba b，由条件知124xx，所以222222242494babcabc，解得2212,8ab，所以椭圆的方程为221812xy，故选 D.考点： 1、椭圆； 2、直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点晴】本题是一个关于直线与圆锥曲线的位置关系方面的综合

24、性问题，属于中档题. 解决本题的基本思路及切入点是：首先根据条件设出椭圆的标准方程，然后将直线方程与椭圆方程进行联立，再根据韦达定理，可以得出, ,a b c的一个关系式，再结合222abc，以及椭圆的一个焦点为(0, 2)F，即可解得椭圆的方程.【母题 10】已知,A B分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右顶点，不同两点,P Q在双曲线上，且关于x轴对称，设直线,AP BQ的斜率分别为12,k k，当121221ln |ln |2bakkabk k取最小值时，双曲线C的离心率为（）A2 B62 C52D3【答案】 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页考点： 1、双曲线； 2、基本不等式.【名师点晴】本题是一个关于圆锥曲线以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题. 解决本题的基本思路及切入点是：首先根据双曲线的性质得出12,k k的关系，并构造出关于t的函数g t，再结合导数在函数研究中的应用，得到函数g t存在最小值，同时利用基本不等式得到2baab取最小值时的条件，并由此得到双曲线的离心率.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页