2022年高考抛物线专题做题技巧与方法总结 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理：1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0p)：标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx, 00, yRx0, yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e2. 抛物线的焦半径、焦点弦)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径. 其长度为 2p. AB 为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx42p，BAyy2p，|

2、AB=pxxBA3. pxy22的参数方程为ptyptx222（t为参数） ，pyx22的参数方程为222ptyptx（t为参数） . 重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页优秀教案欢迎下载通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1：抛物线 y=42x上的一点 M到焦点的距离为 1，则点 M的纵坐标是 ( ) A. 1617 B.

3、 1615 C.87 D. 0 点拨：抛物线的标准方程为yx412，准线方程为161y, 由定义知，点 M到准线的距离为 1，所以点 M的纵坐标是16152.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4 种，经过第一象限的抛物线有2 种，故满足条件的抛物线有 2 条3.研究几何性质，要具备数形结合思想， “两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设 AB为抛物线的焦点弦， F 为抛物线的焦点，点、 BA分别是点BA、在准线上的射影，弦AB 的中点为 M，则 BBAABFAF

4、AB，点 M 到准线的距离为ABBBAA21) (21，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切3、典型例题讲解：考点 1 抛物线的定义题型 利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P到点 Q （2，1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路： 将点 P到焦点的距离转化为点P到准线的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页优秀教案欢迎下载解析过点 P作准线的垂线l交准线于点 R，由抛物线的定义知，PRPQPFPQ，当

5、P点为抛物线与垂线l的交点时，PRPQ取得最小值，最小值为点 Q到准线的距离,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3 总结：灵活利用抛物线的定义， 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说, 用定义问题都与焦半径问题相关练习：1. 已知抛物线22(0)ypx p的焦点为 F ， 点111222()()P xyP xy，333()P xy，在抛物线上，且|1FP、|2FP、|3FP成等差数列，则有（）A321xxx B321yyyC2312xxx D. 2312yyy解析 C 由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：2312xxx2. 已知点),4,

6、3(AF 是抛物线xy82的焦点 ,M 是抛物线上的动点 ,当MFMA最小时 , M 点坐标是( ) A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(解析 设 M 到准线的距离为 MK ,则MKMAMFMA|，当MKMA最小时， M 点坐标是)4,2(，选 C考点 2 抛物线的标准方程题型: 求抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点(-3,2) (2)焦点在直线240 xy上解题思路： 以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

7、 -第 3 页，共 16 页优秀教案欢迎下载 解析 (1)设所求的抛物线的方程为22ypx或22(0)xpy p, 过点 (-3,2) 229)3(24pp或2934pp或抛物线方程为243yx或292xy, 前者的准线方程是1,3x后者的准线方程为98y (2)令0 x得2y，令0y得4x，抛物线的焦点为 (4,0) 或(0,-2),当焦点为 (4,0) 时,42p, 8p，此时抛物线方程216yx; 焦点为 (0,-2)时22p4p，此时抛物线方程28xy. 所求抛物线方程为216yx或28xy, 对应的准线方程分别是4,2xy. 总结： 对开口方向要特别小心，考虑问题要全面练习：3. 若

8、抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合 , 则p的值 解析4132pp4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y2=10 x 的条件是 _.（要求填写合适条件的序号） 解析 用排除法，由抛物线方程y2=10 x 可排除，从而满足条件. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页优秀教案欢迎下载5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，

9、F 为焦点， M为准线与 Y轴的交点， A为抛物线上一点 , 且3| ,17|AFAM，求此抛物线的方程 解析 设点A 是点 A在准线上的射影，则3| | AA，由勾股定理知22| | MA，点 A的横坐标为)23,22(p，代入方程pyx22得2p或 4，抛物线的方程yx42或yx82考点 3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例 3 设 A、B 为抛物线pxy22上的点 ,且90AOB(O 为原点 ),则直线 AB必过的定点坐标为 _. 解题思路： 由特殊入手，先探求定点位置解析设直线 OA 方程为kxy,由pxykxy22解出 A 点坐标为)2,2(2kpkppxyxk

10、y212解出 B 点坐标为)2,2(2pkpk， 直线 AB 方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直线 AB 必过的定点)0,2( p总结： （1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由 A 点坐标用k1换 k 而得。练习：6. 若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数 a 解析-1 7. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA( ) A. 45B. 60C. 90D. 120 解析C 基础巩固训练：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

11、- - - - -第 5 页，共 16 页优秀教案欢迎下载1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或 2 条 D.不存在 解析C 44) 1(52|22aaapxxABBA，而通径的长为42.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24xy上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点 P 的纵坐标为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 B 利用抛物线的定义，点P 到准线1y的距离为 5，故点 P 的纵坐标为 43.两个正数 a、b 的等差中项是92，一个等比中项是2 5，且

12、,ba则抛物线2()yba x的焦点坐标为 ( ) A1(0,)4B1(0,)4C1(,0)2D1(,0)4 解析 D. 1,4,5abba4. 如果1P，2P， ，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x， ，8x， F 是抛物线的焦点， 若)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则|5FP=（） A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义， 可知12iiipPFxx（1i，2，n） ，)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,|5FP=6 5、抛物线,42Fxy的焦点为准线为 l，l 与 x 轴相交于点 E，过 F 且倾斜角等于60的直

13、线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A，ABl，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（）A33B34C36D38 解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，设),(nmA，则1, 1mOFOHFHmABAF，32, 3)1(21nmmm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页优秀教案欢迎下载四边形 ABEF 的面积 =32)13(221366、设 O是坐标原点， F 是抛物线24yx的焦点， A是抛物线上的一点，FA与 x轴正向的夹角为60，则OA为 解析21. 过 A 作 ADx轴于 D，令 FDm

14、，则mFA2即mm22，解得2m)32, 3(A21)32(322OA综合提高训练7.在抛物线24yx上求一点，使该点到直线45yx的距离为最短，求该点的坐标 解析 解法 1：设抛物线上的点)4,(2xxP，点 P 到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21( 4|2x，当且仅当21x时取等号，故所求的点为），（121解法 2： 当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为bxy4，代入抛物线方程得0442bxx，由01616b得21, 1 xb，故所求的点为），（1218. 已知抛物线2:axyC（ a为非零常数）的焦点为F ，点 P 为抛物

15、线 c 上一个动点，过点 P 且与抛物线 c相切的直线记为 l （1）求 F 的坐标；（2）当点 P 在何处时，点 F 到直线l的距离最小？解： （1）抛物线方程为yax12故焦点 F 的坐标为)41,0(a（2）设20000),(axyyxP则2,20axkPaxy）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页优秀教案欢迎下载直线l的方程是)(20020 xxaxaxy02200axyxax即.411441) 1()2(41020222020axaaaxaxad)0,0(00的坐标是此时时

16、上式取“”当且仅当Px.LF0,0)(P的距离最小到切线处时，焦点在当9. 设抛物线22ypx（0p）的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点点C 在抛物线的准线上，且BCX 轴证明直线 AC 经过原点 O证明:因为抛物线22ypx（0p）的焦点为,02pF，所以经过点 F 的直线 AB的方程可设为2pxmy，代人抛物线方程得2220ypmyp若记11,A xy，22,B xy，则21, yy是该方程的两个根，所以212y yp 因为 BCX 轴，且点 C 在准线2px上，所以点 C 的坐标为2,2py，故直线 CO 的斜率为21112.2yypkpyx即k也是直线 OA的斜率，所以直

17、线AC经过原点 O 10.椭圆12222byax上有一点 M（-4，59）在抛物线pxy22（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点 N 在抛物线上，过 N 作准线 l 的垂线，垂足为 Q 距离，求 |MN|+|NQ|的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页优秀教案欢迎下载解： （1）12222byax上的点 M 在抛物线pxy22（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点 . c=-4，p=8M（-4，59）在椭圆上125811622ba222cba由解得：

18、a=5、b=3 椭圆为192522yx由 p=8 得抛物线为xy162设椭圆焦点为 F（4，0） ，由椭圆定义得 |NQ|=|NF| |MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF| =541)059()44(22，即为所求的最小值 . 参考例题：1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F（21，0） ，对应于这个焦点的准线方程为x=-21. （1）写出抛物线 C 的方程；（2）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，O 点为坐标原点，求 AOB重心 G 的轨迹方程；（3）点 P 是抛物线 C 上的动点，过点 P 作圆（x-3）2+y2=2 的切线，切点分别是 M，N.当 P 点在何处时， |M

19、N|的值最小？求出 |MN|的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页优秀教案欢迎下载解： （1）抛物线方程为： y2=2x. （4 分）（2）当直线不垂直于x 轴时，设方程为 y=k(x-21)，代入 y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+042k. 设 A（x1，y1） ，B(x2，y2)，则 x1+x2=222kk，y1+y2=k(x1+x2-1)=k2. 设AOB 的重心为 G（x，y）则kyyykkxxx32303230212221，消去 k得 y2=9232x为所求，（6 分）当直线垂直于 x

20、 轴时， A（21，1） ，B（21，-1） ，（8 分）AOB 的重心 G（31，0）也满足上述方程 . 综合得，所求的轨迹方程为y2=9232x，（9 分）（3）设已知圆的圆心为Q（3，0） ，半径 r=2，根据圆的性质有： |MN|=22222|2122|2|PQPQrPQrPQMQMP. （11分）当|PQ|2最小时， |MN|取最小值，设 P 点坐标为 (x0，y0)，则 y20=2x0. |PQ|2=（x0-3）2+ y20= x20-4x0+9=(x0-2)2+5，当 x0=2，y0=2 时，|PQ|2取最小值 5，故当 P 点坐标为（ 2，2）时， |MN|取最小值5302.

21、抛物线专题练习一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为（ A ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页优秀教案欢迎下载A （1, 0） B （2, 0） C （3, 0） D （1, 0）2圆心在抛物线 y2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（D ）Ax2+ y 2-x-2 y -41=0 Bx2+ y 2+x-2 y +1=0Cx2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx2+ y 2-x-2 y +

22、41=0 3抛物线2xy上一点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（A ）A （1，1）B （41,21）C)49,23(D （2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽 4m，若水面下降 1m，则水面宽为（B ）A6m B 26m C4.5m D9m 5平面内过点 A（-2，0） ，且与直线 x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（C ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8xDy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（ -5，m）到焦点距离是 6，则抛物线的方程是（ B ）A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x 或 y 2

23、=-36x 7过抛物线 y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么 |AB|= （ A ）A8 B10 C6 D4 8把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a)3,2(平移，所得的曲线的方程是（ C ）A)2(4)3(2xyB)2(4)3(2xyC)2(4)3(2xyD)2(4)3(2xy9过点 M（2，4）作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（C ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页优秀教案欢迎下载A0 条B1 条

24、 C2 条D3 条10过抛物线 y =ax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段 PF与 FQ 的长分别是 p、q，则qp11等于（C ）A2aBa21C4aDa4二、填空题（本大题共4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 43，则焦点到 AB 的距离为2 12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是4kx13P是抛物线 y 2=4x 上一动点，以 P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个 圆 一 定 经 过 一 个 定 点Q， 点Q 的 坐 标 是（ 1 ， 0 ）14抛物线的

25、焦点为椭圆14922yx的左焦点，顶点在椭圆中心， 则抛物线方程为xy542三、解答题（本大题共6 小题，共 76 分）15已知动圆 M 与直线 y =2 相切，且与定圆 C：1)3(22yx外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 (12 分) 解析：设动圆圆心为 M（x，y） ，半径为 r，则由题意可得M 到 C（0，-3）的距离与到直线 y=3 的距离相等， 由抛物线的定义可知： 动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以 y=3 为准线的一条抛物线，其方程为yx122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页优秀教案欢迎

26、下载16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和m 的值 （12 分）解析：设抛物线方程为)0(22ppyx，则焦点 F（0 ,2p） ，由题意可得5)23(6222pmpm，解之得462pm或462pm，故所求的抛物线方程为yx82，62的值为m17动直线 y =a，与抛物线xy212相交于 A 点，动点 B 的坐标是)3, 0(a，求线段 AB 中点 M 的轨迹的方程 (12 分) 解析：设 M 的坐标为（ x，y） ，A（22a，a） ，又 B)3 ,0(a得ayax22消去a，得轨迹方程为42yx，即xy42OxyAAB精选

27、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页优秀教案欢迎下载18河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5 米时，水面宽为 8 米，一小船宽 4米，高 2 米，载货后船露出水面上的部分高0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12 分) 解析：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为)0(22ppyx，由题意可知，B（4，-5）在抛物线上，所以6.1p，得yx2.32，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ，则A（Ay,2） ，由Ay2.322得45Ay，又知船面露出水面上部分高为0

28、75米，所以75.0Ayh=2 米19如图，直线 l1和 l2相交于点 M，l1l2，点 Nl1以 A、B 为端点的曲线段C 上的任一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等若 AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3， 且|BN|=6 建立适当的坐标系， 求曲线段 C 的方程(14分) 解析：如图建立坐标系，以l1为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点，以 l2为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为 C 的端点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16

29、页优秀教案欢迎下载设曲线段 C 的方程为)0,(),0(22yxxxppxyBA，其中BAxx ,分别为 A、B 的横坐标，MNp所以，)0,2(),0 ,2(pNpM 由17AM，3AN得172)2(2AApxpx92)2(2AApxpx联立解得pxA4将其代入式并由p0 解得14Axp，或22Axp因为 AMN 为锐角三角形， 所以Axp2， 故舍去22Axpp=4，1Ax由点 B 在曲线段C 上，得42pBNxB综上得曲线段C 的方程为)0, 41(82yxxy20已知抛物线)0(22ppxy过动点 M（ a，0）且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点A、B，pAB2|（）求

30、a的取值范围；（）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NABRt面积的最大值 (14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页优秀教案欢迎下载分) 解析： （）直线 l 的方程为axy，将pxyaxy22代入，得0)(222axpax设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2, 04)(42212122axxpaxxapa又axyaxy2211,，221221)()(|yyxxAB4)(221221xxxx)2(8app0)2(8,2|0apppAB，papp2)2(80解 得42pap（）设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q，令坐标为),(33yx，则由中点坐标公式，得paxxx2213，paxaxyyy2)()(22121322222)0()(|ppapaQM又MNQ为等腰直角三角形，pQMQN2|，|21QNABSNAB|22ABppp 22222p即NAB面积最大值为22 p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页