2022年数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学 3.pdf

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1、1 / 13数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）或11(2)nnnnaaaan。如设na是等差数列， 求证：以 bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanm d。如(1) 等差数列na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；（2） 首项为 -24 的等差数列， 从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是_ （答：833d）3、等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。如（ 1） 数列na中，*11(2,)2nnaannN

2、，32na，前 n 项和152nS，则1a ，n（答：13a，10n）；（2） 已知数列na的前n 项和212nSnn，求数列|na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）. 4、等差中项： 若,a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒 ： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中， 涉及到 5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2。 （ 2） 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad

3、ad （ 公 差 为d）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 ，3 ,3ad ad ad ad,（公差为2d）5、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数， 且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 / 13（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（ 3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，

4、当2mnp时，则有2mnpaaa. 如（ 1）等差数列na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n_（答： 27） ； (4)若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p是非零常数) 、*(,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS， 也成等差数列， 而naa成等比数列； 若na是等比数列，且0na，则lgna是等差数列 . 如等差数列的前n 项和为 25， 前 2n 项和为 100， 则它的前 3n 和为。（答：225）（5）在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na） ；1-n:nS

5、偶奇：S。如（ 1） 在等差数列中，S1122，则6a_（答： 2） ；（2）项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31） . （ 6 ） 若 等 差 数 列na、nb的 前n和 分 别 为nA、nB， 且( )nnAf nB， 则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. 如设 na与nb 是两个等差数列， 它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba_（答：6287nn）(7) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等 差 数 列 中 ， 前n项 和 的

6、 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 。 法 一 ： 由 不 等 式 组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（ 1） 等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 / 13值。 （答：前 13 项和最大，最大值为169） ；（2）若na

7、是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n 项和0nS成立的最大正整数n 是（答： 4006）（3）在等差数列na中，10110,0aa，且1110|aa，nS是其前n项和，则（）A、1210,S SSL都小于 0，1112,SS L都大于 0B、1219,S SSL都小于 0，2021,SS L都大于 0C、125,S SSL都小于 0，67,SS L都大于 0D、1220,S SSL都小于 0，2122,SS L都大于 0（答： B）(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小

8、公倍数. 注意 ：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab. 二、等比数列的有关概念：1 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法1(nnaq qa为常数）， 其 中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如 （ 1） 一个等比数列na共有21n项，奇数项之积为100， 偶数项之积为120， 则1na为_ （答：56） ； （ 2）数列na中，nS=41na+1 (2n)且1a=1， 若nnnaab21，求证：数列nb是等比数列。2、等比数列的通项：11nnaa q或n mnmaa q。如等比数列na中，166naa，21128na a，前n项和nS126，求n和

9、q.（答：6n，12q或 2）3、等比数列的前n和：当1q时，1nSna； 当1q时，1(1)1nnaqSq11naa qq。如（ 1） 等比数列中，q2， S99=77，求9963aaa（答： 44） ；（2）)(1010nnkknC的值为 _（答： 2046） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 / 13特别提醒： 等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时， 首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4、

10、等比中项： 若,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。 提醒 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数, ()a b ab的等差中项为A，等比中项为B，则 A与 B的大小关系为 _（答： AB ）提醒 ： （1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2； （ 2） 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为q） ；但偶数个数成等比时，不能设为33,a

11、qaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。 （答： 15， ,9，3,1 或 0,4，8,16）5. 等比数列的性质：（ 1）当mnpq时，则有mnpqaaaagg，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaag. 如（ 1） 在等比数列na中，3847124,512aaa a，公比q 是整数，则10a=_（答： 512） ；（2） 各项均为正数的等比数列na中，若569aa， 则3132310logloglogaaaL（答： 10） 。

12、(2)若na是等比数列，则|na、*(,)pnqap qN、nka成等比数列；若 nnab、成等比数列， 则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列， 且公比1q，则数列232,nnnnnSSS SS，也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS，是常数数列0，它不是等比数列.如 （ 1 ） 已 知0a且1a， 设 数 列nx满 足1log1logananxx(*)nN， 且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 / 1312100100 xxxL，则101102200 xxxL. （

13、答：100100a） ；（2）在等比数列na中，nS为其前 n 项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为 _（答： 40）(3) 若10,1aq，则na为递增数列；若10,1aq,则na为递减数列；若10,01aq，则na为递减数列； 若10,01aq, 则na为递增数列； 若0q，则na为摆动数列；若1q，则na为常数列 . (4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列na是否为等比数列。如若na是等比数列，且3nnSr，则r（答： 1）(5) mnmnmnnmSSq SSq S

14、. 如设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若12,nnnSSS成等差数列，则q的值为 _（答： 2）(6)在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶. (7)如果数列 na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列 na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如 设数列na的前n项和为nS（Nn） ，关于数列na有下列三个命题：若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列； 若nnS11，则na是等比数列。 这些命题中， 真命题的序号是（答：）三、数列通项公式的

15、求法一、公式法)2() 111nSSnSannn（；na等差、等比数列na公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 / 13例已知数列na满足1232nnnaa，12a，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。二、累加法例 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan

16、转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL， 即得数列na的通项公式。三、累乘法例已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana， 进而求出13211221nnnnaaaaaaaaaL，即得数列n

17、a的通项公式。四、取倒数法例已知数列 na中，其中, 11a，且当 n2 时，1211nnnaaa，求通项公式na。解将1211nnnaaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明1na是一个等差数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 / 13首项是111a，公差为2，所以122)1(11nnan，即121nan. 五、待定系数法例已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列5 nna是等比数

18、列，进而求出数列5 nna的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列522nna是等比数列，进而求出数列522nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。六、对数变换法例已知数列na满足5123nnnaa，17a，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3

19、lg2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。七、迭代法例已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 / 13(1)123! 213211221lglglglglglglg5lglg

20、lglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaaL，从而1(1)3! 225nn nnna。八、数学归纳法例已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得。 。 。 。 。 。由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(211)18(21 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk。 。 。 。 。 。由此可知，当1nk时等式也

21、成立。根据（ 1） ， （2）可知，等式对任何*nN都成立。九、换元法例已知数列na满足111(1 4124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得。 。 。 。 。 。即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 / 13所以3nb是以1131243124 132b

22、a为首项，以21为公比的等比数列，因此121132( )( )22nnnb，则21( )32nnb，即21124( )32nna，得2 111( )( )3 423nnna。十、构造等差、等比数列法qpaann 1； nnnqpaa1； )(1nfpaann； nnnaqapa12. 例已知数列na中，32, 111nnaaa，求数列na的通项公式 . 【解析】)3(231nnaa.3224311nnnnaa【反思归纳】递推关系形如“qpaann 1” 适用于待定系数法或特征根法：令)(1nnapa； 在qpaann 1中令pqxxaann11，)(1xapxann；由qpaann 1得qpa

23、ann1，)(11nnnnaapaa. 例已知数列na中，nnnaaa32,111，求数列na的通项公式 . 【解析】nnnaa321，nnnnnaa)23(2211，令nnnba12112211)()()(bbbbbbbbnnnnn2)23(2nnnna23【反思归纳】递推关系形如“nnnqpaa1”通过适当变形可转化为：“qpaann 1”或“nnnnfaa)(1求解 . 十一、不动点法例已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x是函数31( )47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa，

24、所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 / 132 111( )( )3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列， 进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2) 1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn前n个正整数的和2) 1(321nn

25、n前n个正整数的平方和6)12)(1(3212222nnnn前n个正整数的立方和233332)1(321nnn公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n的值；（2）等比数列公比 q未知时，运用前n项和公式要分类。例已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和 . 例设 Sn1+2+3+ +n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 1)32()(nnSnSnfnn6434150)8(12nn501 当88n，即 n8 时，501)(maxnf二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 .求和时一般在已知和

26、式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 / 13然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例： （2009 全国卷理 ）在数列na中，11111,(1)2nnnnaaan（I ）设nnabn，求数列nb的通项公式（ II ）求数列na的前n项和nS分析 ： （I ）由已知有1112nnnaann112nnnbb利用累差迭加即可求出数列nb的通项公式 : 1122nnb(*nN) （II ）由（ I ）知122nnnan,nS=11(2)2nkkkk

27、111(2 )2nnkkkkk而1(2 )(1)nkkn n, 又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkknnS=(1)n n1242nn三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa.例求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS)12(532100113)12()12(nnnnnnnCCCnCnSnnnS2)1(四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的

28、数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例7 求数列的前n 项和：231, 71,41, 1112naaan， 解：设)231()71()41() 11 (12naaaSnn)23741 ()1111 (12naaaSnn当 a1 时，2)13(nnnSn2) 13(nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 / 13当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan例： （2010 全国卷 2 文） （18） （本小题满分12 分）已知na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa

29、，34534511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nnnbaa，求数列nb的前n项和nT。五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)() 1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6) nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,

30、2)1(12121)1()1(221)1(21则例求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . nnnnan111则11321211nnSn11n例在数列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn的前n项的和 . 解：211211nnnnnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 / 13)111( 82122nnnnbn)111()4131()3121()211(8nnSn18nn六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此， 在求数列的和时，

31、可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例数列 an：nnnaaaaaa12321,2, 3, 1，求 S2002. 解：设 S20022002321aaaa2, 3,1,2, 3,1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaaS20022002321aaaa46362616kkkkaaaa5 例在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值 . 解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn10 七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例求11111111111个n之和 . 解：由于)110(91999991111111kkk个个11111111111个n9110)110(1091nn)91010(8111nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页