2022年高考数学专题：解析几何新题型的解题技巧 .pdf

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1、解析几何题型命题趋向： 解析几何例命题趋势：1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题考点透视一直线和圆的方程1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、 一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式

2、，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系3了解二元一次不等式表示平面区域4了解线性规划的意义，并会简单的应用5了解解析几何的基本思想，了解坐标法6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程二圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4了解圆锥曲线的初步应用考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之 . 例 1假设抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为考查意图 : 此题主要考查抛

3、物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162xy的右焦点为 (2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为 (2,0)，则4p，考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例 2已知抛物线y-x2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B，则 |AB|等于考查意图 : 此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb，进而可求出AB的中点11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0 xy上可求出1b，2

4、20 xx，由弦长公式可求出221 114 ( 2)3 2AB例 3如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页分于1234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFP FPFP FP FP FP F_. 考查意图 : 此题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516xy的方程知225,5.aa12345677277535.2aPFP FPFP FPFP FP Fa故填 3

5、5. 考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的 离心率 eac(0,1) (e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的 离心率 eac(1, ) (e 越大则双曲线开口越大). 结合有关知识来解题. 例 4已知双曲线的离心率为2，焦点是( 4,0)，(4,0)，则双曲线方程为考查意图 :此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：2,4,ceca所以22,12.ab小结 : 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例

6、 5已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于考查意图 : 此题主要考查双曲线的性质和离心率 eac(1, ) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知3293,322baca考点 4.求最大 (小)值求最大 (小 )值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. 例 6已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是. 考查意图 : 此题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等

7、式求最大(小)值的方法 .解:设过点 P(4,0)的直线为224 ,8164 ,yk xkxxx122222222122284160,8414416 232.k xkxkkyyxxkk考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例 7在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 22的圆 C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆9222yax=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. 1求圆 C 的方程；2试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q，使 Q 到椭圆右焦

8、点F 的距离等于线段OF 的长 .假设存在，请求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由. 考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页算的能力和解决问题的能力解答过程 (1) 设圆 C 的圆心为(m, n) 则,222,mnn解得2,2.mn所求的圆的方程为22(2)(2)8xy(2) 由已知可得210a，5a椭圆的方程为221259xy, 右焦点为F( 4, 0) ; 假设存在Q 点22 2cos ,22 2sin使QFOF, 222

9、22 cos4222sin4整理得sin3cos22， 代入22sincos1得:210cos12 2cos70, 12 2812222cos11010因此不存在符合题意的Q 点. 例 8如图 ,曲线 G 的方程为)0(22yxy.以原点为圆心，以)0(tt为半径的圆分别与曲线G 和 y 轴的正半轴相交于A 与点 B. 直线AB 与 x 轴相交于点C. 求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式；设曲线G 上点 D 的横坐标为2a,求证：直线CD 的斜率为定值. 考查目的 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程

10、的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. 解答过程 I由题意知，).2,(aaA因为.2,|22taatOA所以由于.2,02aatt故有1由点 B0，t ，Cc，0的坐标知，直线BC 的方程为.1tycx又因点 A 在直线 BC 上，故有, 12taca将 1代入上式，得, 1)2(2aaaca解得)2(22aac. II因为) )2(22(aaD，所以直线CD 的斜率为1)2(2) 2(2) )2(22(2)2(22)2(2aaaaaacaakCD，所以直线 CD 的斜率为定值 . 例 9 已知椭圆2222xyE :1(ab0)ab， AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦 AB

11、 的中点，假设以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点N(4,1)，假设椭圆离心率e 和双曲线离心率1e之间满足1ee1，求：1椭圆 E 的离心率；2双曲线C 的方程 . 解答过程：1设 A、B 坐标分别为1122A(x , y ), B(x , y )，则221122xy1ab，222222xy1ab，二式相减得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页21212AB21212yy(xx )bkxx(yy )a2MN22b1( 1)k1a24，所以2222a2b2(ac )，2

12、2a2c ，则c2ea2；2椭圆 E 的右准线为22a(2c)x2ccc，双曲线的离心率11e2e，设P(x, y)是双曲线上任一点，则：22(x2)(y1)| PM |2|x2c|x2c|，两端平方且将N(4,1)代入得：c1或c3，当c1时，双曲线方程为：22(x2)(y1)0，不合题意，舍去；当c3时，双曲线方程为：22(x10)(y1)32，即为所求 . 小结： 1 “点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； 2求解圆锥曲线时，假设有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题

13、：例 10双曲线C 与椭圆22184xy有相同的焦点，直线y=x3为 C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程；(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C 于 A,B 两点，交x 轴于Q 点 Q 点与C 的顶点不重合.当12PQQAQB，且3821时，求 Q 点的坐标 . 考查意图 : 此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：设双曲线方程为22221xyab, 由椭圆22184xy,求得两焦点为( 2,0),(2,0)，对于双曲线:2C c，又3yx为双曲线C的一条渐近线3ba解得221,3ab，双曲线

14、C的方程为2213yx解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零. 设l的方程：114,(,)ykxA x y，22(,)B xy,则4(,0)Qk. 1PQQA,11144(, 4)(,)xykk. 111111114444()44xkkxkkyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页11(,)A xy在双曲线C上，2121111616()10k. 222211161632160.3kk2221116(16)32160.3kk同理有：2222216(16)32160.3kk假设2160,k则直线l过顶点，不合题意.

15、2160,k12,是二次方程22216(16)32160.3kxxk的两根 . 122328163k,24k，此时0,2k. 所求Q的坐标为( 2,0). 解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程，11224,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk. 1PQQA，Q分PA的比为1. 由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401xxkkyy下同解法一解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：11224,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk. 12PQQAQB，111222444(, 4)(,)(,)xyxykkk

16、. 11224yy，114y，224y，又1283，121123yy,即12123()2yyy y. 将4ykx代入2213yx得222(3)244830kyyk. 230k，否则l与渐近线平行 . 212122224483,33kyyy ykk. 222244833233kkk.2k( 2,0)Q. 解法四： 由题意知直线l 得斜率 k 存在且不等于零，设l的方程：4ykx，1122(,),(,)A x yB xy,则4(,0)Qk1PQQA,11144(, 4)(,)xykk. 1114444kkxxk.同理1244kx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

17、 - - - - - -第 5 页，共 16 页1212448443kxkx. 即2121225 ()80k x xk xx. *又22413ykxyx消去 y 得22(3)8190kxkx. 当230k时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k. 由韦达定理有：12212283193kxxkx xk代入 *式得24,2kk. 所求 Q 点的坐标为( 2,0). 例 11设动点P 到点 A(l，0)和 B(1，0)的距离分别为d1和 d2，APB2,且存在常数(0 1,使得 d1d2 sin21证明：动点P 的轨迹 C 为双曲线，并求出C 的方程；2过点 B 作直线交双曲线C 的右

18、支于M、N 两点 ,试确定的范围, 使OMON0,其中点 O 为坐标原点考查目的 本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解答过程 解法 1： 1在PAB中，2AB，即222121222cos 2ddd d，2212124()4sinddd d，即2121244sin2 12ddd d常数，点P的轨迹C是以AB，为焦点，实轴长22 1a的双曲线方程为：2211xy2设11()M xy，22()N xy，当 MN 垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，(11)N ，在双曲线上即2111511012，因为01，所以512当MN

19、不垂直于x轴时，设MN的方程为(1)yk x由2211(1)xyyk x得：2222(1)2(1)(1)()0kxk xk，由题意知：2(1)0k，所以21222(1)(1)kxxk，2122(1)()(1)kx xk于是：22212122(1)(1)(1)ky ykxxk因为0ONOM，且MN，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x xy ykxxkx x由知，51223精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页CBAoyx解法 2： 1同解法1 2设11()M xy，2

20、2()N xy，MN的中点为00()E xy，当121xx时，221101MB，因为 01，所以512；当12xx时，002222212111111yxkyxyxMN又001MNBEykkx所以22000(1)yxx；由2MON得222002MNxy，由第二定义得2212()222MNe xxa22000111(1)211xxx所以222000(1)2(1)(1)yxx于是由22000222000(1),(1)2(1)(1) ,yxxyxx得20(1).23x因为01x，所以2(1)123，又01，解得：51223由知51223考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等

21、式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例 12设椭圆E 的中心在坐标原点O，焦点在 x 轴上，离心率为33，过点 C( 1,0) 的直线交椭圆E 于A、B 两点，且 CA2BC ，求当AOB的面积到达最大值时直线和椭圆E 的方程 .解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x3yt(t0) ，直线方程为myx1，由222x3ytmyx1得：22(2m3)y4my2t0，设1122A(x , y ),B(x ,y )，则1224myy2m3又CA2BC，故1122(x1,y )2( 1x , y )，即12y2y由得：128my2m3

22、，224my2m3，则AOB1221mS|yy |6 |22m366322 |m | m |，当23m2，即6m2时，AOB 面积取最大值，此时2122222t32my y2m3(2m3)，即t10，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页所以，直线方程为6xy102，椭圆方程为222x3y10. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例 13已知PA(x5, y)，PB(x5,y)，且| PA |PB |6，求|2x3y12|的最大值和最小值. 解答过程：设P(x, y) ， A(

23、5,0) ，B(5,0)，因为 | PA|PB|6，且|AB |2 56，所以，动点P 的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长为6 的椭圆，椭圆方程为22xy194，令x3cos ,y2sin，则| 2x3y12 | 62 cos()12 |4，当cos()14时，| 2x3y12|取最大值126 2，当cos()14时，|2x3y12|取最小值126 2. 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例 14已知椭圆2212xy的左焦点为F，

24、O 为坐标原点 . I求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；II设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点G，求点 G 横坐标的取值范围. 考查意图 :本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：I222,1,1,( 1,0), :2.abcFlx圆过点 O、F，圆心 M 在直线12x上. 设1(, ),2Mt则圆半径13()( 2).22r由,OMr得2213(),22t解得2.t所求圆的方程为2219()(2).24xyII设直线AB 的方程为(1)(0),

25、yk xk代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk直线 AB 过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A xyB xyAB中点00(,),N xy则21224,21kxxkAB的垂直平分线NG 的方程为001().yyxxk令0,y得xylGABFO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页FEPDBAOyx222002222211.21212124210,0,2GGkkkxxkykkkkkx点 G 横坐标的取值范围为1(,0).2例 15已知双曲线C：2222xy1(a0,

26、b0)ab，B 是右顶点， F 是右焦点，点A 在 x 轴正半轴上，且满足|OA |,| OB |,| OF|成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为 P，1求证：PA OPPA FP；2假设l与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C 的离心率 e 的取值范围 . 解答过程：1因|OA |,| OB |,| OF|成等比数列，故22|OB |a|OA |c| OF|，即2aA(,0)c，直线l：ay(xc)b，由2ay(xc)aabbP(,)bccyxa，故：22abaabbabPA(0,),OP(,), FP(,)ccccc，则：222a bPA O

27、PPA FPc，即PA OPPA FP；或PA (OPFP)PA (PFPO)PA OF0，即PA OPPA FP2由44422222222222222ay(xc)aaa c(b)x2cx(a b )0bbbbb xa ya b，由4222212422a c(a b )bx x0abb得：4422222babcaae2e2.或由DFDOkkabba22222bcaae2e2小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标 . 例 16已知a(x,0)，b(1,y)，(a3b)(a3b)，1求点P(x, y)的轨迹 C 的方程；2假设直线ykxm(m

28、0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D(0,1)，且|AD | |BD |，试求 m 的取值范围 . 解答过程：1a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，因(a3b)(a3b)，故(a3b) (a3b)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页PQCBAxyO即22(x3,3y) (x3,3y)x3y30，故 P点的轨迹方程为22xy13. 2由22ykxmx3y3得：222(13k )x6kmx3m30，设1122A(x ,y ), B(x ,y )， A、 B 的中点

29、为00M(x,y )则22222(6km)4(13k )( 3m3)12(m13k )0，1226kmxx13k，1202xx3kmx213k，002mykxm13k，即 A、B 的中点为223kmm(,)13k13k，则线段 AB 的垂直平分线为：22m13kmy()(x)13kk13k，将D(0,1)的坐标代入，化简得：24m3k1，则由222m13k04m3k1得：2m4m0，解之得m0或m4，又24m3k11，所以1m4，故 m 的取值范围是1(,0)(4,)4. 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其

30、一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，假设能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例 17已知 A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O，且AC BC0，|BC | 2 | AC |，1求椭圆的方程；2如果椭圆上的两点P,Q使PCQ的平分线垂直于OA ，是否总存在实数，使得PQ AB？请说明理由；解答过程：1以 O 为原点， OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222xy14b，不妨设 C 在 x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC |2| AC | 2 |OC

31、 |AC | | OC |，又AC BC0ACOC， 即 OCA为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页即，椭圆方程为22x3y144；2假设总存在实数，使得PQ AB，即AB/ PQ，由C(1,1)得B( 1, 1)，则AB0( 1)1k2( 1)3，假设设 CP：yk(x1)1，则 CQ：yk(x1)1，由22222x3y1(13k )x6k(k1)x3k6k1044yk(x1)1，由C(1,1)得x1是方程222(13k )x6k(k1)

32、x3k6k10的一个根，由韦达定理得：2PP23k6k1xx113k，以k代 k 得2Q23k6k1x13k，故PQPQPQPQPQyyk(xx )2k1kxxxx3，故AB/ PQ，即总存在实数，使得PQ AB. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例 18设 G、M 分别是ABC的重心和外心，A(0,a)，B

33、(0,a)(a0)，且GMAB，1求点 C 的轨迹方程；2是否存在直线m，使 m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P、 Q 两点，且OP OQ0？假设存在，求出直线m 的方程；假设不存在，请说明理由. 解答过程：1设C(x, y)，则xyG(,)3 3，因为GMAB，所以GM/ AB，则xM(,0)3，由 M 为ABC的外心，则| MA | | MC |，即2222xx()a(x)y33，整理得：2222xy1(x0)3aa；2假设直线m 存在，设方程为yk(xa)，由2222yk(xa)xy1(x0)3aa得：22222(13k )x6k ax3a (k1)0，设1122P(x ,y )

34、,Q(x,y )，则21226k axx13k，221223a (k1)x x13k，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页22212121212y yk (xa)(xa)k x xa(xx )a 2222k a13k，由OP OQ0得：1212x xy y0，即2222223a (k1)2k a013k13k，解之得k3，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m，其方程为y3(xa). 小结： 1解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；2

35、直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题 . 专题训练1如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1yx3，那么双曲线方程是2已知椭圆2222xy13m5n和双曲线2222xy12m3n有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为3已知12F ,F为椭圆2222xy1(ab0)ab的焦点， M 为椭圆上一点，1MF垂直于 x 轴，且12FMF60，则椭圆的离心率为4二次曲线22xy14m，当m 2,1时，该曲线的离心率e 的取值范围是5直线 m 的方程为 ykx1，双曲线C 的方程为22xy1，假设直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的

36、两点，则实数k 的取值范围是6已知圆的方程为22xy4，假设抛物线过点A(1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为7已知 P 是以1F、2F为焦点的椭圆)0(12222babyax上一点，假设021PFPF21tan21FPF，则椭圆的离心率为_ . 8已知椭圆x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，假设过点A，斜率为1 的直线被椭圆截得的弦长为3134，点 A 的坐标是 _ . 9P 是椭圆22xy143上的点，12F ,F是椭圆的左右焦点，设12|PF | |PF |k，则 k 的最大值与最小值之差是 _ . 10给出以下命题：圆22(x2)(y1

37、)1关于点 M(1,2)对称的圆的方程是22(x3)(y3)1；双曲线22xy1169右支上一点P到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是29yx4；P、 Q 是椭圆22x4y16上的两个动点， O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为14， 则22|OP| OQ|等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_ . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页F2F1A2A1PNMoyxBAMQETHPoyxFQoyx11已知两点

38、A(2,0) ，B(2, 0)，动点 P 在 y 轴上的射影为Q，2PA PB2PQ，1求动点P 的轨迹 E 的方程；2设直线m 过点 A，斜率为k，当0k1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线 m 的距离为2，试求 k 的值及此时点C 的坐标 . 12如图，1F ( 3,0) ，2F (3,0) 是双曲线C 的两焦点，直线4x3是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线 C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A的一动点，直线1A P、2A P交双曲线C 的右准线分别于 M,N 两点，1求双曲线C 的方程；2求证：12FM F N是定值 . 13已知OFQ的面积为S，且OF FQ

39、1，建立如下列图坐标系，1假设1S2，|OF |2，求直线FQ 的方程；2设|OF |c(c2)，3Sc4，假设以 O 为中心， F 为焦点的椭圆过点Q，求 当|OQ |取得最小值时的椭圆方程. 14已知点H(3,0)，点 P 在 y 轴上， 点 Q 在 x 轴的正半轴上， 点 M 在直线 PQ 上，且满足HP PM0，3PMMQ2，1当点 P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹 C；0E(x ,0)，使得2过点T(1,0)作直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点，假设在x 轴上存在一点ABE 为等边三角形，求0 x的值 . 15已知椭圆)0(12222babyax的长、短轴端点分别为A、B

40、，从此椭圆上一点M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，向量AB与OM是共线向量1求椭圆的离心率e；2设 Q 是椭圆上任意一点，1F、2F分别是左、右焦点，求21QFF的取值范围；16已知两点M-1，0 ，N1，0且点 P 使NPNMPNPMMNMP,成公差小于零的等差数列，点P 的轨迹是什么曲线？假设点P 坐标为),(00yx，为PNPM 与的夹角，求tan【参考答案】1提示，设双曲线方程为11(xy)(xy)33，将点(6,3)代入求出即可 . 2因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为22(3m5n ,0) ，双曲线焦点为22(2m3n ,0)，由22223m5n2m3n得| m

41、 |22 |n |，所以，双曲线的渐近线为6| n |3yx2|m|4. 3设1|MF |d，则2| MF | 2d，12|FF |3d，1212|FF |c2c3d3ea2a|MF | MF |d2d3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页4.曲线为双曲线，且512，故选 C；或用2a4，2bm来计算 . 5将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 7解： 设 c 为为椭圆半焦距，021PFPF，21PFPF. 又21tan21FPF212)2(12

42、2122221PFPFaPFPFcPFPF解得：255()93,cceaa8 解： 设 Ax0，0 x0 0 ，则直线l的方程为y=x-x0，设直线l与椭圆相交于P x1，y1 ，Qx2、y2 ，由y=x-x0 可得 3x2-4x0 x+2x02-12=0，x2+2y2=12 34021xxx，31222021xxx，则20202021221212363234889164)(|xxxxxxxxx|13144212xxx，即202363223144xx02=4，又 x00， x0=2， A 2，0 91；22212k|PF | | PF | (aex)(aex)ae x. 10 . 11解 1设

43、动点P的坐标为(x, y)，则点Q(0, y)，PQ( x,0)，PA(2x,y)，PB(2x,y)，22PA PBx2y，因为2PA PB2PQ，所以222x2y2x，即动点 P的轨迹方程为：22yx2；2设直线 m：yk(x2)(0k1)，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为1m : ykxb，由2|2kb|2k1，即2b2 2kb2，把ykxb代入22yx2，整理得：222(k1)x2kbx(b2)0，则22224k b4(k1)(b2)0，即22b2k2，由得：2 5k5，10b5，此时，由方程组222 510yxC(22,10)55yx2. 12

44、解： 1依题意得：c3，2a4c3，所以a2，2b5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页所求双曲线C 的方程为22xy145；2设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A ( 2,0)，2A (2,0)，100A P(x2,y )，200A P(x2,y )，1110A M(,y )3，222A N(, y )3，因为1A P与1A M共线，故01010(x2)yy3，01010yy3(x2)，同理：0202yy3(x2)，则1113FM(,y )3，225F N(,y )3，所以

45、12FM F N1265y y9202020y6599(x4)20205(x4)206541099(x4). 13解： 1因为|OF | 2，则F(2,0)，OF(2,0)，设00Q(x ,y )，则00FQ(x2,y )，0OF FQ2(x2)1，解得05x2，由0011S| OF | |y | | y |22，得01y2，故51Q(,)22，所以， PQ 所在直线方程为yx2或yx2；2设00Q(x ,y )，因为|OF | c(c2)，则00FQ(xc,y )，由0OF FQc(xc)1得：01xcc，又013Sc |y |c24，则03y2，13Q(c,)c2，2219| OQ |(c

46、)c4，易知，当c2时，|OQ |最小，此时53Q(,)22，设椭圆方程为2222xy1,(ab0)ab，则2222ab425914a4b，解得22a10b6，所以，椭圆方程为22xy1106. 14解： 1设M(x, y)，由3PMMQ2得：yP(0,)2，xQ(,0)3，由HP PM0得：y3y(3,)(x,)022，即2y4x，由点 Q 在 x 轴的正半轴上，故x0，即动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点；2设m : yk(x1)(k0)，代入2y4x得：2222k x2(k2)xk0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

47、结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x是方程的两个实根，则21222(k2)xxk，12x x1，所以线段AB 的中点为222k2(,)kk，线段 AB 的垂直平分线方程为22212ky(x)kkk，令y0，022x1k，得22E(1,0)k，因为ABE为正三角形，则点E 到直线 AB 的距离等于3|AB |2，又221212| AB|(xx )(yy )2224 1k1kk，所以，4222 3 1 k21kk|k |，解得：3k2，011x3. 15解： 1abycxcFMM21,),0,(则，acbkOM2. A

48、BOMabkAB与,是共线向量，abacb2， b=c,故22e. 2设1122121212,2 ,2 ,FQrF QrF QFrra F Fc222222212121 22121 21 21 24()24cos11022()2rrcrrrrcaarrr rr rr r当且仅当21rr时， cos=0，2,0. 16解： 记Px,y ，由 M-1，0N1，0得( 1,),PMMPxy),1(yxNPPN，)0,2(NMMN. 所以)1(2xMNMP. 122yxPNPM，)1(2xNPNM. 于是，NPNMPNPMMNMP,是公差小于零的等差数列等价于0)1(2)1 (2)1(2)1(221122xxxxyx即0322xyx . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. 点P 的坐标为),(00yx。212020yxPNPM. 222220000000(1)(1)(42)(42)24PM PNxyxyxxx201cos.4PMPNPMPNx所以因为0 30 x，所以,30, 1cos21,411cos1sin202x.341411cossintan0202020yxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页