2022年数列知识点所有性质总结 2.pdf

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1、- 1 - 一、等差数列1. 等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n） ；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN，首项:1a，公差 :d ，末项 :na推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211 -naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中 A、B是常数，所以当d0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数

2、21n时，1na是项数为2n+1 的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法（1） 定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列（2） 等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn, （其中 A、B是常数）。6等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列7. 提醒 ：（1） 等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、

3、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差为d） ；偶数个数成等差，可设为，3 ,3ad ad ad ad, （ 注意；公差为2d）8. 等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列

4、，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时, 则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. 注：12132nnnaaaaaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页- 2 - （4）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列(5) 若na是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列（6）数列na为等差数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数列（7）设数列na是等差数列， d 为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前

5、n 项的和1. 当项数为偶数n2时，121135212nnnn aaSaaaana奇22246212nnnn aaSaaaana偶11nnnnSSnanan aa偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为2n+1 的等差数列的中间项） （8） 、nb的前n和分别为nA、nB，且( )nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. （9）等差数列na的前 n 项和mSn，前 m 项和nSm，则前 m+n 项和m nSm

6、n(10) 求nS的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数， 故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二： （1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值） 。若S p = S q则其对称轴为2pqn注意：

7、解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于1a和d的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页- 3 - 1. 等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为 公比2. 通项公式：11110,0nnnnaaa qqA BaqA Bq，首项：1a；公比：q推广：nmnmaa q，从而得n mnmaqa或nn mmaqa3. 等比中项（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2Aab或Aab注

8、意： 同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项有两个 （两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4. 等比数列的前n 项和nS公式：(1) 当1q时，1nSna(2) 当1q时，11111nnnaqaa qSqq1111nnnaaqAA BA BAqq（,A B A B为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na为等比数列（2） 等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）na为等比数列（3） 通项公式：0nnaA BA Bna为等比数列（4） 前 n 项和公式：,nnnnSAA BSA

9、 BAA B A B或为常数na为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnaqana为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2。（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11nnaa q如奇数个数成等差，可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为q，中间项用a表示） ；8. 等比数列的性质(1) 当1q时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

10、 - - - - -第 3 页，共 6 页- 4 - 等比数列通项公式1110nnnnaaa qqA BA Bq是关于 n 的带有系数的类指数函数，底为公比q前 n 项和1111111111nnnnnnaqaa qaaSqAA BA BAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何 m,n*N,在等比数列na中,有n mnmaa q,特别的 ,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因此 ,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t*N),则nmstaaaa.特别的 ,当 n+m=2k 时,得2nmkaaa注：12

11、132nnnaaaaa a(4) 列na,nb为等比数列 ,则数列nka,nk a,kna,nnk abnnab(k 为非零常数 ) 均为等比数列. (5) 数列na为等比数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等比数列(6) 如果na是各项均为正数的等比数列 ,则数列logana是等差数列(7) 若na为等比数列 ,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8) 若na为等比数列 ,则数列12naaa, 122nnnaaa, 21223nnnaaa成等比数列(9) 当1q时，当1q0时，1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列, 1100

12、nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时,该数列为摆动数列 . (10)在等比数列na中, 当项数为 2n (n*N)时,1SSq奇偶,.(11)若na是公比为 q 的等比数列 ,则nn mnmSSqS三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等比数列性质1、定义n+1na-a =d(n1)；nn-1a -a=d(n2)n+1na=q(n1)a,nn-1a=q(n2)a2、通项公式1(1)naand() (,)nmaanmd n mNqaaqaamnmnnn11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

13、 - - - - - - -第 4 页，共 6 页- 5 - 3、前 n 项和dnnnnasaasnnn2)1(2)(11n1n11nnq=1 , S =na ;a (1-q )a -a qq1,S = =1-q1-q4、中项a、 A、b 成等差数列A=a+b2；na是其前 k 项n-ka与后 k 项n+ka的等差中项，即：na=n-kn+ka+a2a、A、b 成等比数列AbaA（不等价于2A =ab，只能）; na是其前 k 项n-ka与后 k 项n+ka的等比中项，即：2nn-kn+ka =aa5、下标和公式若 m+n=p+q,则aaaaqpnm特别地 , 若 m+n=2p,则aaapnm

14、2若 m+n=p+q,则aaaaqpnm特别地 , 若m+n=2p,则aaapnm26、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第 k 项的和等于首尾两项的和 , 即：aaaaaaknknn)1(121等比数列的第k项与倒数第k 项的积等于首尾两项的积, 即：aaaaaaknknn)1(1217、结论an 为等差数列 , 若 m,n,p 成等差数列 , 则aaapnm,成等差数列an 为等比数列 , 若 m,n,p 成等差数列 ,则aaapnm,成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列 an,bn的公差分别为ed,则数列bann仍为等差数列，公差为ed（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列

15、 an,bn的公比分别为qp,则数列 bann仍为等比数列，公差为pq取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为d2取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为q2若mna =n,a =m(mn),则0m na无此性质；若mnS =n,S =m(mn),则)m nSmn（无此性质；若0),(sssmmnmnm则无此性质；,232sssssmmmmm成等差数列，公差为dm2,232sssssmmmmm成等差数列，公比为qm当项数为偶数n2时，ndss奇偶当项数为偶数n2时，qss奇偶当项数为奇数12n时，精选学习资料 - - - - - - - -

16、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页- 6 - aassnn1偶奇当项数为奇数12n时，ass中偶奇asnn中) 12(12，1nnss偶奇sasq偶奇18、等差 ( 等比 )数列的判断方法定义法：12nnaadn等差中项概念；1122nnnaaan函数法：(, 为常数 )napnq p q关于 n 的一次函数数列na是首项为p+q，公差为p0的等差数列；数列an的前 n 项和形如2nSanbn(a，b 为常数 )，那么数列an是等差数列，定义法：1nnaqa等差中项概念；221(0)nnnna aaa函数法：nnacq(cq，均为不为0的常数，nN)， 则数列na是等比数列 数列an的前 n 项和形如nnSAqA(Aq，均为不等于0 的常数且 q1)， 则数列na是公比不为1 的等比数列9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页