2022年高考复习指导讲义__直线 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载直线二、知识结构1. 有向线段一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量. 有向线段AB的数量用 AB表示 . 若有向线段AB在数轴上的坐标为A(x1) ，B(x2) ，则它的数量 AB=x2-x1它的长度AB =x2-x1平面上两点间的距离设 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 是坐标平面上的任意两点，则 它们的距离 P1P2 =212212)y-(y)x-(x当 P1P2Ox轴时， P1P2=y2-y1；当 P1P2Oy轴时，P1P2 = x2-x1；点 P(x,y)到原点 O的距离， OP =22yx. 三角形的中线长公式如图， AO是 AB

2、C的 BC边上的中线 . 则 AB 2+ AC 2=2 AO 2+OC 22. 线段的定比分点有向直线l 上的一点P，把 l 上的有向线段21PP分成两条有向线段PP1分成两条有向线段2PP，则PP1和2PP的数量之比 =21PPPP定比分点公式若 P1、P2两点坐标为 (x,y1)，(x2,y2), 点 P(x,y) 分有向线段21PP成定比=21PPPP( -1) ，则 P点坐标x=1xx21， y=1yy21. (1). 中点公式设 P1(x1,y1),P2(x2,y2) ，则 P1P2的中点 P(x,y) 的坐标是x=2xx21, y=2y21y. (2) 三角形的重心公式若 ABC的

3、各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则ABC的重心 G(x,y) 的坐标是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载x=3xxx321， y=3y321yy. 3. 直线的方程直线方程的几种形式名称已知条件方程说明斜截式斜率 k 纵截距 b y=kx+bx 不包括 y 轴和平行于y 轴的直线点斜式点 P1(x1,y1) 斜率 k y-y1=k(x-x1) 不包括 y 轴和平行于y 轴的直线两点式点 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2) 211yyyy=211xxx

4、x不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式横截距 a 纵坐标 b ax+by=1 不包括坐标轴，平行于坐标轴和原点的直线一般式Ax+By+C=0 A、B不同时为0 两条直线的位置关系当直线不平行于坐标轴时：l1y=k1x+b1 l2y=k2x+b2l1A1x+B1y+C1=0 l2A2x+B2y+C2=0 l1与 l2组成的方程组平行k1=k2且 b1 b221AA=21BB21CC无解重合k1=k2且 b1=b221AA=21BB=21CC有无数多解相交k1k221AA=21BB有唯一解垂直k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 两条直线的交角公式(1) 直线 l1到 l2的角直线 l1依逆时

5、针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到 l2的角 . 计算公式设直线 l1，l2的斜率分别是k1，k2，则tg =2112kk1kk (k1k2-1) (2) 两条直线的夹角一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐直线方程位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载角叫做两条直线所成的角，简称夹角. 这时的计算公式为：tg =21121kkkk4. 点与直线的位置关系点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0上的充要条件是Ax0+By0+C=0. 点到直线的距离公式点 P

6、(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离是d=2200BACByAx据此可推出：(1) 两平行线间的距离公式两平行直线Ax+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 间的距离为d=2221BACC. 5. 直线关于点的对称直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得直线 Ax+By+C=0关于点 P(x0,y0) 的对称直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0 即 Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0. “直线关于直线”对称(1) 几种特殊位置的对称已知曲线 f(x,y)=0，则它：关于 x 轴对称的曲线是f(x,-y)=0；关于 y 轴对称的

7、曲线是f(-x,y)=0；关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0；关于直线y=x 对称的曲线f(y,x)=0；关于直线线y=-x 对称的曲线f(-y,-x)=0；关于直线x=a 对称的曲线是f(2a-x,y)=0；关于直线y=b 对称的曲线是f(x,2b-y)=0 三、知识点、能力点提示( 一) 有向线段、两点间距离、线段的定比分点例 1在 ABC中， A(4，1)， B(7，5) ，C(-4 ，7) ，求 BAC平分线的长 . 解：由两点距离公式求得AB=5，AC =10，设角平分线交BC于 D(x，y) ，由角平分线性质得 =DCBD=ACAB=21，从而求得D(310，317) ，故可

8、得 AD =3210. ( 二) 直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载的一般形式例 2一直线过点P(-3 ，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程. 解：设截距 a=b 且均不为零，故可设所求直线方程为ax+ay=1.由 P在直线上，解得a=1，所求直线方程为x+y-1=0. 但还有一种情况，即 a=b=0 ，直线过原点时也合题意，此时直线方程为4x+3y=0. 故在使用截距式时必须检验截距为零是否适合，以防漏解. ( 三

9、) 两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离说明这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到.使用公式求l1到 l2的角时，应注意k1、k2的顺序 . 过两直线交点的直线系方程中不包括直线 l2. 例 3光线由点 (-1 ，4)射出，遇直线 2x+3y-6=0 被反射， 已知反射光线过点(3 ，1362).求反射光线所在直线方程. 解：设(-1 ，4)点关于已知直线对称点为(x ， y). 则点 (-1 ，4) 与点 (x ， y) 的连线段被已知直线垂直平分，故可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

10、-第 4 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载14xy=23 x=-1329解得 2(21x)+3(24y)-6=0 y=1328，再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0. ( 四) 综合例题赏析例 4如果 AC0 且 BC 0，那么直线Ax+By+C=0不 通过 ( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解：AC0，BC0 A0，B0，C0，Ax+By+C=0可化 y=-BAx-BC. BC0BC0-BC0，直线和 y 轴正半轴有交点. AC0，即 A和 C异号， BC 0 即 B和 C异号，A和 B同号BA 0-BA0，从而直线 Ax+By+C=0过第一、二

11、、四象限，不过第三象限. 应选 C. 例 5和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是( ) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 解：若曲线 c 的方程 f(x,y)=0，曲线 c 和 c关于 x 轴对称，则曲线c的方程是f(x ，-y)=0. 3x-4(-y)+5=0即 3x+4y+5=0 为所求 . 应选 B. 例 6直线 bx+ay=ab(a 0，b0的倾斜角是 ( ) A.arctg(-ab) B.arctg(-ba) C. -arctgab D.-arctgba解：直线的倾角范围是0，. 由 a0，b0 知

12、 a0，故原方程可化为y=-abx+b. 设此直线的倾角为，则 tg =-ab. 由 a0 且 b0ab0-ab0，a(2， ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载= -arctgab，应选 C. 例 7若三点 P1，P2在一条直线上，点P1和点 P2在直角坐标系中的坐标分别为(0 ，-6)和(3 ，0) ，且21PPPP=-21， 则点 P的坐标是 _. 解：若 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) 和 P(x，y) 三点在一条直线上，且 =21PPPP，则x=1xx21，y=1y21y

13、，由题设知， x=0，y1=6，x2=3，y2=0，=21，代入上面公式，得x=)21(13)21(0=2123=-3, y=,12216)21(10)21(6P点坐标是 (-3 ，-12). 例 8通过点 (0 ， 2)且倾斜角为15的直线方程是( ) A.y=(3-2)x+2 B.y=(2-1)x+2 C.y=(2-3)x+2 D.y=(23-1) x+2 解： 直线通过点(0 ，2). 直线在 y 轴上的截距b=2. 直线的倾角为15，直线的斜率k=tg15 =.322123130sin30cos1把 k=2-3，b=2 代入直线的斜截式方程y=kx+b，得 y=(2-3)x+2 . 应

14、选 C. 例 9 直线 3x-2y=6 在 y 轴上的截距是 ( )A.23B.-2 C. -3 D.3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载解：3x-2y=6y=-2x+3y=1，又直线的截距为, 1byaxb=-3，即在 y 轴上的截距为-3. 应选 C. 例 10如果直线ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0平行，那么系数a=( ) A.-3 B.-6 C.- 23D. 32解 ： l1:A1x+B1y+C1=0， l2:A2x+B2y+C2=0， 且A2 0 ， B2 0， C20 ，

15、 则 有l1l2212121CCBBAA由题设有622123aa. 应选 B. 例 11如果直线y=ax+2 与直线 y=3x-b 关于直线y=x 对称，那么 ( )A.a=31，b=6 B.a=31，b=-6 C.a=3，b=-2 D.a=3，b=6 解：若 C1的方程是f(x,y)=0,C2和 C1关于直线y=x 对称，则 C2的方程是 f(y,x)=0. 直线 y=ax+2 关于直线y=x 对称的直线的方程是x=ay+2，即 y=a1x-a2. 由题设 y=axa21和 y=3x-b 是同一条直线，baa231, 解得631ba应选 A. 例 12如果直线ax+2y+1=0 与直线 x+

16、y-2=0 互相垂直，那么a 的值等于 ( )A.1 B.-31C. -32D.-2解：两直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，互相垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0 由题设得a1+21=0，从而 a=-2. 应选 D. 例 13点 P(2，5) 关于直线x+y=0 的对称点的坐标是( )A.(5 ，2) B.(2，-5)C.(-5 ， -2) D.(-2， -5)解：设 P(2，5) 和 Q(m ，n) 关于直线y=-x 对称， 则 PQ中点 R(25,22 nm) 在 y=-x 上，且 KPQ(-1)=-1. 精选学习资料 - - - - - - - -

17、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载, 1) 1(2502522mnnm解得25nm对称点 Q的坐标是 (-5 ，-2). 应选 C. 例 14原点关于直线8x+6y=25 的对称点坐标是( ) A.(2 ，32) B.(625,825)C.(3 ，4) D.(4， 3)解：设 (m，n) 为所求，则1)34(25206208mnnm解得 m=4 ，n=3 应选 D. 例 15点 (0，5) 到直线 y=2x 的距离是 ( )A25B5C23D25解： y=2x2x-y=0 d=.5)1(2510222应选 (B) 例 16以 A(1，3)

18、 、B(-5 ，1) 为端点的线段垂直平分线的方程是( ) A.3x-y+8=0 B.3x+y+4=0 C.2x+y+2=0 D.3x+y+8=0 解：设 P(x ，y) 为线段 AB的中垂线上的点，则 PA =PB 即,) 1()5()3()1(2222yxyx化简得 3x+y+4=0. 应选 B. 例 17在直角坐标系xoy 中，过点P(-3 ，4) 的直线 1 与直线 OP的夹角为45，求 1的方程 .解：设 1 的斜率为k，kOP=-,34tg45 =)34(1)34(kk=kk34134=kk4343, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

19、- - -第 8 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载得kk4343=1，解出 k=-71，71 的方程为y-4=-71 (x+3) 或 y-4=7(x+3). 即 1 的方程为x+7y-25=0 或 7x-y+25=0. 例 18点 (0，1) 到直线 x+y=2 的距离是 . 解： d=2211211022四、能力训练( 一) 选择题1. 数轴上有一有向线段，起点A的坐标为 -m，终点 B的坐标为n，那么此有向线段的数量 可表示为 ( )A.AB=n-m B.AB=n+mC.AB=n+m D.AB=n-m2. 已知点 M(3，4) ， N(12，7) ，P在直线 MN 上，且MNPM=31

20、，则点 P的坐标是 ( ) A.(6 ，5) B.(9，6)C.(0 ，3) D.(0，3)或(6 ，5)3. 直线 x+3y-1=0 的倾斜角是 ( )A.6B.-3C.32D.65 4. 方程 x-1 +y=1 确定的曲线与x 轴围成的图形的面积是( ) A.21B.1 C.2 D.45. 过点 (2 ，3) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A.x+y=5 B.3x-2y=0 C.x+y=5或3x-2y=0 D.4x-y=5 6. 过点 (1 ，2) 倾斜角 的正弦值是54的直线的方程是( ) A.4x-3y+2=0 B.4x+3y-6=0 C.3x-4y+6=0 D.y=34(

21、x-1)+2 7. 如果直线Ax+By+C=0的倾斜角是一锐角，且在y 轴上的截距大于零，则( ) A.AB0，AC 0 B.AB0， AC 0 C.AB0， AC 0 D.AB0，AC 0 8. 下列各点中，不与P(4，3) 、Q(-1 ，6) 两点共线的点是( ) A.(5 ，6) B.(2，-3)C.(3t， t+3)(这 里t Z)D.(t+3 ，3t)( 这里 tZ)9. 两条不重合的直线mx+y-n=0 和 x+my+1=0互相平行的充要条件是( ) A.m=1， n=1 B.m=-1，n=-1 C.m=1,n -1,或m=-1,n 1 精选学习资料 - - - - - - - -

22、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载D.m 1，n 1 10. 点(a ，b) 关于直线x+y=1 对称的点的坐标是( )A.(1-a ，1-b) B.(1-b，1-a)C.(-a，-b) D.(-b ，-a)11. 已知 0 2，且点 (1，cos) 到直线 xsin +ycos =1 的距离等于41，则 等于 ( ) A.6B.4C. 3D. 12512. 已知直线l1x-2y-6=0 ，l23x-y+4=0 下列说法中错误的是( ) A.l1与 l2的夹角是45B.l1到 l2的角是 45C.l2到 l1的夹角是45D.l2到 l1的

23、角是 135 13.l1x+3y-7=0 ，l2kx-y-2=0与 x 轴、 y 轴正方向所围成的四边形有外接圆，则k为( )A.-3 B.3 C.-6 D.614. 已知 P(-2 ，-2) ，Q(0，-1) ，取一点R(2， m)使 PR +RQ 最小，则m为( ) A.21B.0 C.-1 D.-34 15. 设点 A(-1 ，2)，B(2，-2) ，C(0， 3)，且 M(a，b)是线段 AB上的一点 (a 0)，则直线 MC 的斜率的取值范围是( )A.-25，1 B.-1 ，25C.-25，0(0，1) D.(- ，-25 1，+)( 二) 填空题16. 两条平行直线2x-7y+8

24、=0 和 2x-7y-8=0间的距离是 .17. 直线 x+5=0 与直线 x+2y-5=0 的夹角是 .18. 直线 y=-x+b 和 5x+3y-31=0 的交点在第一象限，那么b 的范围是 .19. 已知点 P是直线 l 上一点，将直线l 绕点 P沿逆时针方向旋转角(0 90，所得直线的方程是x-y-2=0 ，若将它继续为转90 - ，所得直线的方程2x+y-1=0 ，则直线 l 的方程为 . ( 三) 解答题20. 正方形中心为G(-1 ，0)，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4 ，求这正方形各边所在直线的方程. 21. 已知在 ABC的边上运动的点D、E、F 在 t=

25、0 时分别从A、B、C 出发，各以一定的速度向 B、 C、A前进，在 t=1 时分别达到B、C、A，试证明在运动过程中，DEF的重心是一个定点 .22. 一条光线从点M(5，3)射出，被直线l x+y=1 反射，入射光线到直线l 的角为 ，已知 tg =2，求入射光线与反射光线所在直线的方程. 23. 用解析法证明三角形内角平分线性质定理. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载24. 过点 P(2，1)作直线 l 交 x，y 轴的正向于A，B的点，求(1) 当 AOB的面积最小值时，直线l 的方

26、程 . (2) PA PB 为最小时，直线l 的方程 . 25. 当 2n时，求证：方程x2(tg2+cos2)-2xytg+y2sin2=0 表示过原点的两直线，且其斜率之差的绝对值为2. 参考答案( 一)1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.D ( 二)16.535314；17.2-arctg21；18.531b531；19. 略( 三)20.3x-y+9=0,3x-y-3=0,x+3y+7=0,x+3y-5=0;21，证略： 22. 入射光线： y -3x+12=0,反射光线：3y-x+10=0;23.证略； 24.(1)x+2y-4=0,(2)x+y-3=0；25. 证略 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页