2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学空间向量 .pdf

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1、9.7 空间向量一、明确复习目标1了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理. 2理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算. 3掌握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及aba,b的坐标表示；会求平面的法向量 . 4会用空间向量判定线、面的垂直，会求空间直线所成的角. 二建构知识网络1. 共线向量定理：对空间任意两个向量ba,（0b） ，a b存在实数使ba. 显然cacbba/,/,/则. 若直线L 过点A、B，a是方向向量，则点P 在直线L 上存在实数t，使atOAOP， （此式也叫L 的

2、向量方程）点 P 在直线 L 上OP=(1t)OBtOA. （或 OP =xOByOA，x+y=1）2. 共面向量定理：两个向量ba,不共线，则向量p与向量ba,共面的充要条件是存在实数对x，y 使p=byax. 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x，y 使得：MByMAxMP，或对空间任意一点O 有：MByMAxOMOP. 3. 空间向量的基本定理：如果三个向量c，b，a不共面，那么对空间任意一向量p，存在惟一有序实数对x、y、z 使得p=byaxcz. 推论：设O、A、B、 C 是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使OP=xOB

3、yOA+OCz。特别地，当x+y+z=1 时，则必有 P、A、B、C四点共面 . 4. 向量的数量积：cosababab，babab，acos，用于求两个向量的数量积或夹角；aaa2，用于求距离. 0baba，用于证明两个向量的垂直关系；5. 空间向量的直角坐标运算律：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页123123(,)(,)aa a abb b b若，则112233(,)abab ab ab; 112233(,)abab ab ab123(,)()aaaaR1 12233a baba ba b，1122/,aba

4、b ab33()abR，坐标对应成比例；1 122330ababa ba b数量积为零. 6. 夹角公式 :cos| |a ba bab1 12233222222123123a ba ba baaabbb7. 模长公式：123(,)aa a a若，222123|aa aaaa则8.111222(,)(,)A x y zB xyz若，, 则212121(,)ABxxyyzz距离公式：2|ABAB222212121()()()xxyyzz，9. 若表示向量a1，a2， an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则 a1a2a3 an=0. 三、双基题目练练手1. 设向量 a、 b、c 不

5、共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A. a+b，ba，a B. a+b，ba， b C. a+b，ba，c D. a+b+c，a+b，c 2. 在平行六面体ABCDABCD中，向量BA、DA、BD是（）A. 有相同起点的向量B. 等长的向量C. 共面向量D. 不共面向量3. 若 a=（2x，1，3） ，b=（1， 2y，9） ，如果 a 与 b为共线向量，则 ( ) A. x=1，y=1 B.x=61，y=23C. x=21，y=21D. x=61，y=234. 已知向量a=（1，1，0） ，b=（ 1，0，2） ，且kab 与 2ab 互相垂直，则k 值是5. 已知四边形ABCD

6、中，AB=a2c，CD=5a+6b8c，对角线AC、BD 的中点分别为 E、F，则 EF =_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页6. 已知空间三点A（1， 1，1） 、 B（ 1，0，4） 、C（2， 2，3） ，则AB与CA的夹角 的大小是 _. 答案提示：1-3. CCB; 4. k=57. 5.EF=3a+3b5c. 6.1205. 提示 : 设 AD 中点为 G，得EFEGGF=3a+3b5c. 四、经典例题做一做【例 1】如图 , 在平行六面体1111DCBAABCD中,O是11DB的中点 . 求证

7、: （ 1）CB1面1ODC . （2）设 E、F、 G、 H、 K、L 依次是棱AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A 的中点，则这六点共面 . 分析 :只需证明1CB与面1ODC中的一组基向量共面. 证明（ 1） : 设1,CBa CDb CCc因为11BCCB为平行四边形 , 1CBac, 又 O 是11DB的中点 , 111111(),2C OabODC DC O1()2ba111(),2DODDD Oabc若存在实数, yx使11CBxC O,( ,)yDO x yR 成立 , 则11()()22acxabyabc1()()22xy axy byc因为向量cba,不共线 ,

8、2022xyxyy,11yx. A B C C1 D1 A1 B1 D O LKHGFEOB1C1D1A1BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页11,CBC ODO所以11,OCODCB是共面向量 , 因为CB1不在1,OCOD所确定的平面内, CB1面1ODC, 又1BC面1ODC, CB1面1ODC . （2）11(),()22GHbcGFac不共线，可作为基底，再依次证明EF、FL能用这组基底表示即可，试试如何？【例 2】 在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC= ACB=90，AC=2， BC=13， SB

9、=29 . （1）求证： SCBC；（2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值. （3）若 E、F、G 分别是 AB、AC、SB 的中点，求证：平面EFG平面 ACG. GFEBCAS思路 1：要用向量来研究线面的位置关系，需要有一组基底把有关的向量表示出来，再用向量运算的几何意义来研究。解法 1： （1）设AS=a,AB=b,AC=c，由已知得：0,0,()0a ca bccb，,SCca BCcb()()SC BCcb ca()0cbca ca bSCBC. （2）29134,SC2 3,17SAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

10、 4 页，共 14 页,cos,|2217()17171717 44 174 17SCABSC ABSC ABca bc b所以 SC与 AB 所成的角为arccos1717. （3）11(),22EFcbEGa1()0,2AC EFa cb c102AC EGa c,ACEFGACACGACGEFG平面又平面平面平面思路 2：图中垂直关系较为明显，容易建立坐标系的，可以建立空间直角坐标系，利用向量的代数运算来研究 . 解法 2：如下图， 取 A 为原点， AD、AC、AS 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系（一般建成右手系） ，则由AC=2，BC=13，SB=29 ，得C（0，2， 0

11、） ，B（13，2，0） 、S（0， 0，23） 。SC = （0，2， 23） ，BC=（ 13 ，0，0）. （1）SC BC=0， SCBC. （2）设 SC 与 AB 所成的角为，AB=（13， 2，0） ，SCAB=4，| SC | AB|=417， cos=1717，即为所求 . （3）13(,1,0),(0,1,0),2EF_ yzxGFEBCAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页1(0, 2,0),2ACEFBC13(,0,0),(0,0,3),2EG0,0AC EFAC EG, ACEFACEGA

12、C从而,EFGACACG平面又平面ACGEFG平面平面思悟提练1. 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题 . 2用向量研究研究问题可以建立坐标系用向量的代数形式，也可用向量的几何形式. 【例 3】 已知AB=（ 2，2，1） ，AC=（ 4，5，3） ，求平面 ABC 的单位法向量. 解：设面 ABC的法向量 n=（x，y，1） ，则 nAB且 nAC，即 nAB=0，且 nAC=0，即12210,245301,xyxxyyn=（21，1，1） ，单位法向量 n0=|n|n=（31，32，32）. 思悟提练求法向量一般用待定系数法. 常把 n 的某

13、个坐标设为1， 再求另两个坐标. 平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的两个. 单位法向量只需将法向量再除以它的模. 五提炼总结以为师1在处理立体几何中的平行、垂直或求两异面直线所成的角时, 用向量来解决思维简单，是模式化了的方法，是行之有效的方法. 2要熟练掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件，掌握运用向量判定平行、垂直和求空间直线所成的角的方法. 同步练习 9.7空间向量【选择题】1.平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 AC 和 BD 的交点， 若11BA=a，11DA=b，AA1=c，则下列式子中与MB1相等的是（）A.21a+ 21b+cB. 2

14、1a+ 21b+cAABBCCDD1111M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页C. 21a21b+c D.21a21b+c2.在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点P（ x， y， z） ， 下 列 叙 述 中 正 确 的 个 数 是（）点 P 关于 x 轴对称点的坐标是P1（ x， y，z）点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是P2（x， y， z）点 P 关于 y 轴对称点的坐标是P3（ x， y，z）点 P 关于原点对称的点的坐标是P4（ x， y， z）A.3 B.2 C.1 D.0 3下列命

15、题中不正确的命题个数是若A、B、C、D 是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0|a| |b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件若 a、b 共线，则a 与 b所在直线平行对空间任意点O 与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中 x、y、zR） ，则 P、A、B、C 四点共面（）A.1 B.2 C.3 D.4 【填空题】4.已知点A（1，2，1） 、 B（ 1，3，4） 、D（1，1，1） ，若2APPB，则 |PD|的值是 _. 5. 设点C（2a+1，a+1， 2）在点P（2，0，0） 、A（ 1， 3，2） 、 B（8， 1，4）确定的平面上，a 的值等于

16、;6 A 是 BCD 所在平面外一点，M、N 分别是 ABC 和 ACD 的重心，若BD=4，则 MN 的长为. 答案 : 1-3, ACC; 4.377; 5. a=166.【解答题】7设 A、B、C 及 A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、 N、 P、Q 分别是线段 AA1、BA1、BB1、CC1的中点 .求证： M、N、 P、Q 四点共面 . jQPNML2B1C1L1A1CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页证明：，A、B、C 及 A1、B1、C1分别共线，、M、N、P、Q四点共面 .

17、 8. 已知空间四边形中,且分 别 是的 中 点 ,是中 点 . 求证:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页证明 : 连结由线段中点公式得: 且, 9在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1交平面 ACB1于点 E，求证： （1）BD1平面 ACB1；（2）BE=ED1. AADDBBCC1111E M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页证明：（1），建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,

18、0), D1(0,0,1), B1(1,1,1) （2）设设，10在正三棱柱ABC A1B1C1中， (1)已知 AB1BC1，求证： AB1A1；(2)当 AB=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页AA1=4 时，求异面直线BC1与 A1C 所成角的余弦值解 ： (1) 设=a ，=b ，=c ， 则=a+c，=b a+c，=b c， (a+c) (b a+c)=0，即 c2a2+a b=0又设=x，=h，则h2x2+x2=0， x2=2h2=(a+c) (b c)=a b c2=x2h2=h2h2=0(2)

19、=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页=(b a+c) (b c)=b2c2a b=14 设异面直线BC1与 A1C 所成的角为，则cos =|cos|=即异面直线BC1与 A1C 所成角的余弦值为【探索题】 如下图， 直棱柱 ABCA1B1C1的底面 ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点 . （1）求的长；（2）求 cos的值；（3）求证： A1BC1M. （1）解：依题意得B（0， 1，0） ， N（1，0，1） ，AABBCC111xyzMN精选

20、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页=. （2）解： A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（ 0，0，0） ，B1（ 0，1，2） ，= （ 1 ， 1 ， 2 ），= （ 0 ， 1 ， 2 ），=3 ， =， =. cos，=.（3）证明： C1（ 0，0，2） ，M（，2） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页= （ 1， 1， 2） ，= （，0） ，=0， A1BC1M. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页