2022年数学试题练习题考试题教案高一数学教案苏教版高一数学正弦定理余弦定理 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第四课时正弦定理、余弦定理（二）教学目标：熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化教学重点：正、余弦定理的综合运用教学难点：1.正、余弦定理与三角形性质的结合；2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系教学过程：.复习回顾上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质

2、来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容. .讲授新课例 1在 ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2 倍，求此三角形的三边长 . 分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中 sin2 利用正弦二倍角展开后出现了cos ， 可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的. 解：设三角形的三边长分别为x，x1，x2，其中 xN*，又设最小角为 ，则xsinx2sin2x22sin cos， cos x22x又由余弦定理可得x2（ x1）2（ x2）22（x1） （x2）cos将代入整理得x23x40 解之得 x1

3、4，x2 1（舍）所以此三角形三边长为4，5，6. 评述： （1）此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程；（2）在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视. 例 2如图，在 ABC 中， AB4 cm ，AC3 cm，角平分线AD 2 cm，求此三角形面积 . 分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式SABC12AB AC sinA，需求出sinA，而 ABC 面积可以转化为S ADC S ADB，而SADC12AC ADsinA2，S ADB12精选学习资料 - - - - - - - - -

4、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载AB AD sinA2，因此通过SABCSADCSADB建立关于含有sinA，sinA2的方程，而sinA2sinA2cosA2，sin2A2cos2A21，故 sinA 可求，从而三角形面积可求. 解：在 ABC 中， S ABCS ADBS ADC，12AB ACsinA12 AC AD sinA212 AB ADsinA212 4 3sinA12 3 2sinA2， 6sinA7sinA212sinA2cosA27sinA2sinA20 ， cosA2712，又 0A ， 0A22sinA21cos2A295

5、12，sinA2sinA2cosA279572，SABC12 4 3sinA79512（cm2）. 评述：面积等式的建立是求sinA 的突破口，而sinA 的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同角的平方关系sin2 cos2 1 时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍. 例 3已知三角形的一个角为60 ，面积为 103 cm2，周长为 20 cm，求此三角形的各边长 . 分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边

6、长为三个未知数， 所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60 角的余弦， 其二可用面积公式S ABC12absinC 表示面积，其三是周长条件应用. 解：设三角形的三边长分别为a、b、 c，B60 ，则依题意得cos600a2c2b22ac12ac sin600 10 3 a bc20b2 a2c2ac ac40 abc 20 由式得b2 20（ ac） 2400a2c22ac40（ac）将代入得4003ac40（ac） 0 再将代入得ac 13 由ac40ac13，解得a15c18或a28c25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

7、- -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载b17，b27 所以，此三角形三边长分别为5 cm， 7 cm，8 cm. 评述：（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用；（2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力. 例 4在 ABC 中， AB5，AC3，D 为 BC 中点，且AD4，求 BC 边长 . 分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为 x 后，建立关于x 的方程 .而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D 为BC

8、中点，所以BD、DC 可表示为x2，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程. 解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得BDDCx2，在ADB 中， cosADBAD2BD2AB22AD BD42（x2）2522 4x2在ADC 中， cosADCAD2DC2AC22AD DC42（x2）2322 4x2又 ADB ADC180cosADBcos（180 ADC） cosADC . 42（x2）2522 4x242（x2）2322 4x2解得， x2 所以， BC 边长为 2. 评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注

9、意总结这一性质的适用题型. 另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得ABACBDDC53， 设 BD5k， DC3k，则由互补角 ADC、ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA. 为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习. .课堂练习1.半径为 1 的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积. 解：设 ABC 三边为 a，b，c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢

10、迎下载则 SABC12acsinBSABCabcacsinB2abcsinB2b又bsinB2R，其中 R 为三角形外接圆半径SABCabc14Rabc4RSABC4 1 0.251 所以三角形三边长的乘积为1. 评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：asinAbsinBcsinC2R，其中 R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式SABC12acsinB 发生联系，对abc 进行整体求解 . 2.在ABC 中，已知角B45 ，D 是 BC 边上一点， AD5，AC7，DC3，求 AB. 解：在 ADC 中，cosCAC2DC2AD22AC DC7232522 7 3

11、1114，又 0C180 ， sinC5 314在ABC 中，ACsinBABsinCABsinCsinBAC5 3142 75 62. 评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用. 3.在ABC 中，已知 cosA35，sinB513，求 cosC 的值 . 解： cosA3522cos45 ，0 A45 A90 ， sinA45sinB51312sin30 ，0B0 B30 或 150 B180若 B150 ，则 BA180 与题意不符 . 0 B30 cosB1213cos（A B） cosA cosBsinA sinB35121345

12、5131665精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载又 C180 （ AB）. cosC cos180 （ AB） cos（AB）1665. 评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较. .课时小结通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力.

13、 .课后作业1在三角形中，三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的三边长分别为. 答案： 2，3，4 2已知方程a（1x2） 2bxc（1x2） 0 没有实数根，如果a、b、c 是ABC 的三条边的长，求证ABC 是钝角三角形. 备课资料1.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得sin2A sin2Bsin2C2sinBsinCcosA. 这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之 . 例 1在 ABC 中，已知sin2Bsin2Csin2A3 sinAsinC，求 B 的度数 . 解：由定理得sin2B

14、sin2Asin2C2sinAsinCcosB 2sinAsinCcosB3 sinAsinCsinAsinC0 ， cosB32B150例 2求 sin210 cos240 sin10 cos40 的值 . 解：原式 sin210 sin250 sin10 sin50 在 sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA 中，令 B10 ，C50 ，则 A120 . sin2120 sin210 sin250 2sin10 sin50 cos120 sin210 sin250 sin10 sin50 （32）234. 例 3在 ABC 中，已知2cosBsinCsinA，试判定 AB

15、C 的形状 . 解：在原等式两边同乘以sinA 得 2cosBsinAsinCsin2A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载由定理得sin2Asin2Csin2Bsin2A，sin2Csin2B BC故ABC 是等腰三角形. 2.一题多证例 4在 ABC 中已知 a2bcosC，求证： ABC 为等腰三角形. 证法一：欲证 ABC 为等腰三角形 .可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得absinAsinB2bcosCbsinAsinB，即 2cosC s

16、inBsinAsin（BC） sinBcosCcosBsinC. sinBcosC cosBsinC0，即 sin（B C） 0， BCn （ nZ）. B、C 是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形. 证法二：根据射影定理，有abcosCccosB，又 a2bcosC 2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即bccosBcosC. 又bcsinBsinC. sinBsinCcosBcosC，即 tanBtanCB、C 在ABC 中， BC ABC 为等腰三角形. 证法三： cosCa2b2c22ab及 cosCa2b，a2b2c22aba2b，化简后得b2c2. b c

17、ABC 是等腰三角形. 3.参考例题例 1在 ABC 中，若cosAcosBba，试判断 ABC 的形状 . 解：由已知cosAcosBba及正弦定理得cosAcosBsinBsinAsin2A=sin2B2A 2B 或 2A2B ，即 AB 或 A B2，故ABC 为等腰三角形或直角三角形. 例 2已知 ABC 的三个内角A、B、C 依次成等差数列，又三边a、 b、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形. 证法一： A、 B、C 成等差数列，则2BAC，又 ABC180 ， 3B180 ， B60 ，再由 a、b、c 成等比数列，可得b2ac，精选学习资料 - - - - - - -

18、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载因此用余弦定理b2a2c22accosB， aca2c22ac12，即（ ac）20， ac，AC又 B60 ， ABC 为正三角形 . 证法二： A、 B、C 成等差数列，则2BAC，又 ABC180 ， 3B180 ， B60 ，再由 a、b、c 成等比数列，设公比为q，于是 baq， caq2，cosBa2 c2 b22ac，即12a2（ aq2）2（ aq）22a（aq2）整理得 q42q210，解得 q2 1，q1 q1，三边长相等故三角形为正三角形. 例 3在 ABC 中，若 a2tanB=b2

19、tanA，试判断 ABC 的形状 . 解法一： a2tanB=b2tanA，a2b2tanAtanBsinA cosBsinB cosA由正弦定理得sinAsinBab由余弦定理得cosBa2c2b22ac, cosAb2c2a22bc, 把式代入式得a2b2aba2c2b22acb2c2a22bca2c2b2b2c2a2，整理得（ a2 b2） （c2a2b2） 0，ab 或 a2b2c2. ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解法二：由已知及正弦定理可得（ksinA）2sinBcosB（ ksinB）2sinAcosA，2sinAcosA2sinBcosB sin2Asin2B2A 2B

20、或 2A 2B即 AB 或 AB2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载 ABC 是等腰或直角三角形. 4.参考练习题1.在ABC 中，若 sinAsinBsinCcosBcosC，试判断 ABC 的形状 . 解： sinAsinBsinCcosBcosC， cosB cosCsinBsinCsinA，应用正、余弦定理得a2c2b22aca2b2c22abb ca，b（a2c2b2） c（a2b2c2） 2bc（bc） ，a2（bc）（ bc） （b22bcc2） 2bc（bc）即 a2 b2 c2故A

21、BC 为直角三角形. 2.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，求证：a2b2c2sin（AB）sinC. 证明：由a2b2c22bccosA. b2 a2 c2 2accosB两式相减得a2b2c（acosBbcosA） ，a2b2c2acosBbcosAc2. 又acsinAsinC，bcsinBsinC，a2b2c2sinAcosBsinBcosAsinCsin（AB）sinC. 3.在ABC 中，若（ abc） （bca）bc，并且 sinA 2sinBcosC，试判断 ABC 的形状 . 解：由已知条件（abc） （b ca） bc 及余弦定理得cosAb2c2a22

22、bc（ abc）（ b ca）2（a bc）（ bca）12A60又由已知条件sinA2sinBcosC 得 sin（BC） sin（B C） sin（BC）sin（ CB） 0， BC于是有 ABC60 ，故ABC 为等边三角形. 正弦定理、余弦定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载1在 ABC 中，已知 A1050，B300，b22 ，则 c 等于（）A.2 B.22 C.4 D.42 2一个三角形的三边之长分别是3、5、7，则最大角为（）A.arccos1114B.150C.arccos131

23、4D.1203在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A.b10，A45， C70B.a60，c48，B60C.a7，b5，A80D.a14，b16，A454在 ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C sinBsinC，则角 A 等于（）A. 3B. 23C. 34D. 565在 ABC 中，若 acosAbcosB，则 ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6在 ABC 中，已知c 102 ，C60， a2033，则 A. 7在 ABC 中，已知三边满足（abc)(ab c) 3ab，则 C 等于. 8在 ABC

24、 中，若a2b2tanAtanB，则 ABC 是. 9在 ABC 中，已知B135， C15， a5，那么此三角形的最大边的长是. 10在 ABC 中，已知a3 ，b2 ，B45，求 A，C 及 c. 11已知 ABC 中， sinAsinB sinC(3 1)(3 1)10 ，求最大角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载12已知 ABC 中， a2， c1，求角 C 的取值范围 . 正弦定理、余弦定理答案1C 2D 3D 4B 5D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

25、结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载6457 608等腰或直角三角形95 2 10在 ABC 中，已知a3 ，b2 ，B45，求 A，C 及 c. 解：asinAbsinB， sinAa sinBb3 sin4502 32ba 且 basinB A 有两解： A60或 120. （1）当 A60时， C 180（ A+B） 75cb sinCsinB 2 sin750sin450622(2)当 A120时， C180（ A+B） 15cb sinCsinB 2 sin150sin450622. 11已知 ABC 中， sinAsinB sinC(3 1)(3

26、 1)10 ，求最大角 . 解：asinAbsinBcsinCksinAsinBsinCabc(3 +1)(3 1)10 设 a(3 1)k，b(3 1)k，c10 k(k0) 则最大角为C.cosCa2b2c22ab(3 1)2(3 1)210 22(3 1) (3 1)12C120. 12已知 ABC 中， a2， c1，求角 C 的取值范围 . 解：由三角形三边关系得b ac3 bac1 1b 3 由 c2a2 b2 2abcosC，得 b24bcos2C30 由 0，得 cos2C340C6 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页