2022年数学分析教案第二十二章曲面积分 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第二十二章曲面积分教学目的： 1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系； 2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。教学重点难点 ：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数 ：18 学时1 第一型曲面积分一. 第一型面积分的定义 : 1.几何体的质量 : 已知密度函数, 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2.曲面的质量 : 3.第一型面积分的定义 : 定义及记法 ., 面积分.4.第一型面积分的性质 : 二. 第一型面积分的计算 : 1.第一型曲面

2、积分的计算 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载Th22.2 设有光滑曲面.为上的连续函数 ,则. 例 4 计算积分, 其中是球面被平面所截的顶部 . P281 2 第二型曲面积分一. 曲面的侧 : 1.单侧曲面与双侧曲面 : 2. 双侧曲面的定向 : 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为, 则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“ +”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角 . 类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧. 二. 第二型曲面积分 : 1. 稳流场的流量 : 以磁场为

3、例 . P2842. 第二型曲面积分的定义 : P284 . 闭合曲面上的积分及记法 . 3. 第二型曲面积分的性质 : 线性 , 关于积分曲面块的可加性 . 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载设为曲面的指定法向 , 则.三. 第二型曲面积分的计算 : Th22.2 设是定义在光滑曲面D上的连续函数 , 以的上侧为正侧 ( 即), 则有. 证P类似地 , 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分. 对光滑曲面D, 在其右侧上的积分. 计算积分时, 通常分开来计算

4、三个积分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载, , . 为此, 分别把曲面投影到 YZ 平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面的定向决定 . 例 1 计算积分,其中是球面在部分取外侧 . P287 例 2 计算积分，为球面取外侧 . 解对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有: ; : . 因此, =+ = . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载对积分, 分别

5、用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有: ; : . 因此, += . 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有: ; : . 因此, =+ = . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载综上, =. 3 Gauss公式和Stokes公式一. Gauss公式: Th22.6 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成 . 若函数在 V上连续 , 且有连续的一阶偏导数, 则, 其中取外侧 .称上述公式为 Gauss 公式或 Gauss 公式. 证只证. 设 V 是型区域 ( 即型体 ) ,

6、其边界曲面由曲面下侧 , D, 上侧 , D. .以及垂直于平面的柱面(外侧)组成. 注意到=, 有= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载= . 可类证, . 以上三式相加 , 即得 Gauss 公式. 例 1 计算积分，为球面取外侧 . 解. 由 Gauss 公式. 例 2 计算积分，其中是边长为的正方体 V 的表面取外侧 . V : . P291 解应用 Gauss 公式 , 有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习

7、必备欢迎下载. 例 1计算积分，为锥面在平面下方的部分，取外法线方向 . 解设为圆取上侧 , 则构成由其所围锥体V 的表面外侧, 由 Gauss 公式 , 有=锥体 V 的体积; 而因而, . 例 1设 V 是三维空间的区域 , 其内任何封闭曲面都可不通过V 外的点连续收缩为 V 上的一点 . 又设函数、和在 V 上有连续的偏导数 . 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面, 是的外法线 . 试证明: 对 V 内任意曲面恒有的充要条件是在 V 内处处成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载证. 由

8、 Gauss 公式直接得到 . 反设不然, 即存在点V, 使, 不妨设其. 由在点连续, 存在以点为中心且在 V内的小球, 使在其内有. 以表示小球的表面外侧 , 就有, 与矛盾. 二. Stokes公式: 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L 正向的匹配关系 : 右手螺旋法则 , 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线 L 行走时 , 若曲面在左侧 , 则把人的前进方向定为 L 的正向 . 1. Stokes 定理: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载Th22.7 设光滑曲面的边界 L 是按段光滑的

9、连续曲线 . 若函数、和在( 连同 L )上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 则. 其中的侧与 L 的方向按右手法则确定 .称该公式为 Stokes 公式 . 证先证式. 具体证明参阅 P292. Stokes 公式也记为. 例 5 计算积分, 其中L 为平面与各坐标平面的交线 , 方向为 : 从平面的上方往下看为逆时针方向 . P2942. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性: 空间单连通、复连通域 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载Th 22.5 设R为空间单连通区域 . 若函数、和在上连续 , 且有一阶连续的偏导数, 则以下四个条件等价 : 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 有; 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 曲线积分与路径无关 ; 是内某一函数的全微分 ; 在内处处成立 . P294 3. 恰当微分的原函数 : 恰当微分的验证及原函数求法. 例 6 验证曲线积分与路径无关, 并求被积表达式的原函数. P295精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页