2022年数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案 .pdf
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1、word 整理版学习参考 资料北师大版高中数学选修2-2 第二章变化率与导数全部教案 1 变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率平均变化率一、教学目标:1、理解函数平均变化率的概念;2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率,并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。二、教学重点:从变化率的角度重新认识平均速度的概念,知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。教学难点: 对平均速度的数学意义的认识三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程( 一) 、客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象
2、用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求
3、即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两
4、个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题( 积分学的中心问题) 。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671 年写了流数法和无穷级数,这本书直到 1736 年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速
5、度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程( 积分法 ) 。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算。就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686 年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立,极大地推
6、动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括:定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后,微积分学极大的
7、推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 28 页word 整理版学习参考 资料计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。( 二) 、探析新课问题 1: 物体从某一时刻开始运动,设s表示此物体经过时间t走过的路程, 显然s是时间t的函数,表示为s=s(t) 在运动的过程中测得了一些数据,如下表:t/s 0 2 5 10 13 15 s/m 0 6 9 20 32
8、 44 物体在 02s和 1013s这两段时间内,那一段时间运动得快?分析: 我们通常用平均速度来比较运动的快慢。在 02s这段时间内,物体的平均速度为)/(30206sm;在 10 13s这段时间内,物体的平均速度为)/(410132032sm。显然,物体在后一段时间比前一段时间运动得快。问题 2:某病人吃完退烧药,他的体温变化如下图所示:比较时间x从 0min 到 20min 和从 20min 到 30min 体温的变化情况,哪段时间体温变化较快?如何刻画体温变化的快慢?分析: 根据图像可以看出:当时间x从 0min 到 20min 时,体温y从 39变为 38.5 ,下降了0.5 ;当时
9、间x从 20min 到 30min 时,体温y从 38.5 变为 38,下降了0.5 。两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。我们也可以比较在这两段时间中,单位时间内体温的平均变化量,于是当时间x从 0min 到 20min 时,体温y相对于时间x的平均变化率为025.0205 .0020395.38( /min )当时间x从 20min 到 30min 时,体温y相对于时间x的平均变化率为05.0105 .020305.3838( /min )这里出现了负号,它表示体温下降了,显然,绝对值越大,下降的越快,这里体温从20min 到 30
10、min 这段时间下降的比 0min 到 20min 这段时间要快。(三) 、小结: 1、对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从1x变为2x时,函数值从f(1x)变为2()f x。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比,函数)(xfy在),(00 xxx内的平均变化率为xy,如我们常用到年产量的平均变化率。 2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。(四) 、练习: P27页练习 1,2,3,4 题;习题2-1 中 1 (五)作业布置:1、已知曲线212yx上两点的横坐标是0 x和0 xx,求过AB两点的直线斜率。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
11、- - - -第 2 页,共 28 页word 整理版学习参考 资料2、一物体按规律210stt作变速直线运动,求该物体从2 秒末到 6 秒末这段时间内的平均速度。五、教后反思:第二课时变化的快慢与变化率瞬时变化率一、教学目标:1、理解函数瞬时变化率的概念;2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率,并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。3、理解瞬时速度、线密度的物理意义,并能解决一些简单的实际问题。二、教学重点:知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。教学难点: 对于平均速度与瞬时速度的关系的理解三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一) 、复习: 函数平均变化率的概念
12、1、对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从1x变为2x时,函数值从f(1x)变为2()f x。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比,函数)(xfy在),(00 xxx内的平均变化率为xy,如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。(二) 、探究新课例 1、一个小球从高空自由下落,其走过的路程s(单位: m )与时间t (单位: s)的函数关系为221gts其中, g 为重力加速度)/8.9(2smg,试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。分析: 当时间 t 从 t0变到 t1时,根据平均速度公式0101)()(tttststs,可以求出从5s 到 6
13、s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224 .17656)5()6(ss(m/s) 。我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。为了提高精确度,可以缩短时间间隔,如求出55.1s 这段时间内的平均速度5.491 .05.12245.12751.5)5()1.5(ss(m/s) 。用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象,平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。解: 我们将时间间隔每次缩短为前面的101,计算出相应的平均速度得到下表:t0/s t1/s 时间的改变量(t)/s 路程的改变量( s ) /m 平均速度ts/ (m/s)5 5
14、.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5 可以看出,当时间t1趋于t0=5s 时,平均速度趋于49m/s,因此,可以认为小球在t0=5s 时的瞬时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出,瞬时速度为49m/s 的物理意义是,如果小球保持这一刻的速度进行运动的话,每秒将精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 28 页word 整理版学习参考 资料要运动 49m 。例
15、 2、如图所示,一根质量分布不均匀的合金棒,长为10m 。x(单位: m )表示OX这段棒长,y(单位: kg)表示OX这段棒的质量,它们满足以下函数关系:xxfy2)(。估计该合金棒在x=2m处的线密度。分析: 一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度,就是这段合金棒的平均线密度。解: 由xxfy2)(,我们可以计算出相应的平均线密度得到下表x0/s x1/s 长度x的改变量(x) /m 质量y的改变量( s ) /kg 平均线密度xy/ (kg/m)2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2
16、 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2 可以看出, 当x1趋于x0=2m时,平均线密度趋于0.71kg/m , 因此,可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为0.71kg/m 。从上面的分析和计算可以看出,线密度为0.71kg/m 的物理意义是,如果有1m长的这种线密度的合金棒,其质量将为0.71kg 。(三) 、 小结:对于一般的函数)(xfy, 在自变量x从x0变到x1的过程当中, 若设x=x1x,)()(01xfxfy,则函数的平均变化率是xxfxxfxxxfxfxy)()()()(000101,而当x趋于 0 时,平均变化率就趋于在点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是
17、函数在一点处变化的快慢。(四) 、练习: 课本30P练习 2: 1、2. (五) 、作业: 课本31P习题 2-1 :3、4、5 五、教后反思:第三课时瞬时速度与瞬时加速度一、教学目标:了解平均速度的概念,掌握运动物体的瞬时速度瞬时加速度的概念及求法二、教学重点,难点:瞬时速度瞬时加速度的概念及求法三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一) 问题情境1情境:一质点运动方程为210st, (其中s表示在时刻t的位移,时间单位:秒,位移单位:米);求质点在时刻3t处的切线的斜率2问题:在时刻3t处的切线的斜率有什么物理意义?(二) 、学生活动解:222(3)103106sttt,6stt,
18、当t趋近于0时,6stt趋近于6,质点在时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 28 页word 整理版学习参考 资料刻3t处的切线的斜率为6;它的物理意义时刻3t时的瞬时速度(三) 建构数学1 平均速度:物理学中,运动的物体的位移与所用时间比称为平均速度若位移s与所经过时间t的规律是)(tss,设t为时间改变量,从0t到0tt这段时间内,物体的位移是00()( )ss tts t,那么位移的改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度v,即:00()( )s tts tsvtt,平均变化率反映了物体在某一时间段内运
19、动快慢程度的物理量。2 瞬时速度:物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t的“速度”,即0t的瞬时速度,用v表示,物体在0t时的瞬时速度v(即0tt时( )s t对于时间的瞬时变化率),运动物体在0t到0tt这一段时间内的平均速度v,当t无限趋近于 0 时,00()()s tts tstt趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在0tt时的瞬时速度3 瞬时加速度物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t的“加速度”,即0t的瞬时加速度,用a表示,物体在0t时的瞬时加速度a(即0tt时速度( )v t对于时间的瞬时变化率),运动物体在0t到0tt这一段时间内的平均加速度a,当t无限趋近于 0 时,
20、有00()()v ttv tvatt趋近于常数a(四) 知识运用: 1例题:例 1 设质点按函数216015stt所表示的规律运动,求质点在时刻3t时的瞬时速度 (其中s表示在时刻t的位移,时间单位:秒,位移单位:米)解:从03t到03ttt这段时间内,物体的位移是(3)(3)16015(6)sststtt,那么位移的改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度v,即7015svtt,当t无限趋近于 0 时,有7015svtt趋近于常数70,质点在时刻3t时的瞬时速度为70v例 2跳水运动员从10m高的跳台腾空到入水的过程中,不同的时刻有不同的速度,ts后运动员相对于水面的高度为2(
21、 )4.96.510H ttt,确定2ts时运动员的速度解:从02t到02ttt这段时间内的平均变化率为,(2)(2)13.14.9HtHtt, 当t无限趋近于0 时,有(2)(2)13.14.9HtHtt趋近于常数13.1,当2ts时运动员的瞬时速度为13.1例 3设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设ts时的速度为2( )3v tt,求0tt s时轿车的加速度解:在0t到0tt的时间间隔内,轿车的平均加速度为000()()2v ttv tvatttt,当t趋近于常数0 时,有a趋近于常数02t,所以0tt s时轿车的加速度为02t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
22、结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页word 整理版学习参考 资料2练习:课本P30 页第 1 ,2 题(五) 回顾小结: 运动物体的瞬时速度的一般步骤是:求位移增量与时间增量的比st;判断当t趋近于常数0 时,st是否无限趋近于一常数;求出这个常数(六) 、作业: 习题 2-1 中 A 组第 3 题 B组 1、2 五、教后反思: 2 导数的概念及其几何意义第四课时导数的概念一、教学目标: 1、知识与技能:通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法:通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
23、通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣 . 二、教学重点:了解导数的概念及求导数的方法。教学难点: 理解导数概念的本质内涵三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一) 、复习: 设函数)(xfy,当自变量x从x0变到x1时,函数值从)(0 xf变到)(1xf,函数值y关于x的平均变化率为xxfxxfxxxfxfxy)()()()(000101当x1趋于x0,即x趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值(这个值称为:当x1趋于x0时,平均变化
24、率的极限) ,那么这个值就是函数)(xfy在点x0的瞬时变化率。(二) 、探究新课在数学上,称瞬时变化率为函数)(xfy在点x0的导数,通常用符号)(0 xf表示,记作xxfxxfxxxfxfxfxxx)()()()()(00001010limlim01。例 1、一条水管中流过的水量y(单位:3m)是时间x(单位: s)的函数xxfy3)(。求函数)(xfy在x=2处的导数)2(f,并解释它的实际意义。解: 当x从 2 变到 2x时,函数值从3 2 变到 3(2x) ,函数值y关于x的平均变化率为3323)2(3)2()2(xxxxxfxf(3m/s ). 当x趋于 2,即x趋于 0 时, ,
25、平均变化率趋于3,所以3)2(f(3m/s ). 导数)2(f表示当x=2s 时水流的瞬时变化率,即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s 时的瞬时速度流动的话,每经过1s,水管中流过的水量为33m。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 28 页word 整理版学习参考 资料例 2、 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品量y( 单位: kg) 是其工作时间x(单位:h) 的函数)(xfy。假设函数)(xfy在 x=1 和 x=3 处的导数分别为4)1 (f和5.3)3(f,试解释它们的实际意义。解:4)
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