2022年2022年例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 .pdf
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1、学习必备欢迎下载例谈“ 放缩法 ” 证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“ 放缩法 ” 证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 , 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“ 放缩法 ” 它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题,例谈 “ 放缩 ” 的基本策略,期望对读者能有所帮助。
2、1、添加或舍弃一些正项(或负项)例 1、已知*21().nnanN求证:*122311.().23nnaaannNaaa证明:11121111111 1.,1,2,., ,2122(21)23.22223 2kkkkkkkkakna1222311 111111.(.)(1),23 22223223nnnnaaannnaaa*122311.().232nnaaannnNaaa若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。 由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k,从而
3、是使和式得到化简 .2、先放缩再求和(或先求和再放缩)例 2、函数 f(x)=xx414,求证: f( 1)+f(2)+f(n)n+)(2121*1Nnn. 证明:由f(n)= nn414=1-111142 2nn得 f(1)+f(2)+f(n)n22112211221121)(2121)2141211(41*11Nnnnnn. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和. 若分子 , 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
4、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)例 3、已知 an=n ,求证:nk=1ka2k3证明:nk=12kka=nk=131k1nk=21(k1)k(k1) nk=22(k1)(k1) ( k1 k1 )=2111(1)(1)nkkkkk=1nk=2(1(k1) 1(k1) ) =11221n1(n1) 2223本题先采用减小分母的两次放
5、缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.4、放大或缩小“ 因式 ” ;例 4、已知数列na满足2111,0,2nnaaa求证:1211().32nkkkkaaa证明22112131110,.2416nnaaaaaa2311,0,16kkaa当时1211111111()()().161632nnkkkkknkkaaaaaaa本题通过对因式2ka放大,而得到一个容易求和的式子11()nkkkaa,最终得出证明. 5、逐项放大或缩小例 5、 设)1(433221nnan求证 :2)1(2)1(2nannn证明: nnnn2) 1(212)21() 1(2nnnn名师资料总结 - - -精品资料欢
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