偏微分方程的离散化方法讲稿.ppt

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1、第一页，讲稿共三十页哦第二页，讲稿共三十页哦第三页，讲稿共三十页哦离散空间离散空间第四页，讲稿共三十页哦tP离散时间离散时间第五页，讲稿共三十页哦第六页，讲稿共三十页哦第七页，讲稿共三十页哦无效网格无效网格有效网格有效网格点中心网格点中心网格块中心网格块中心网格xy第八页，讲稿共三十页哦yzx第九页，讲稿共三十页哦第十页，讲稿共三十页哦模拟区网格图（井位、边界、断层）模拟区网格图（井位、边界、断层）第十一页，讲稿共三十页哦五点法注水开发五点法注水开发5年后年后XW3层含水饱和度分布图层含水饱和度分布图第十二页，讲稿共三十页哦五点法注水开发五点法注水开发20年后年后XW3层含水饱和度分布图层含水

2、饱和度分布图第十三页，讲稿共三十页哦rz第十四页，讲稿共三十页哦xxPxxPxPx)()(lim0 前前差商差商 xxxPxPxPx)()(lim0 后后差商差商 xxxPxxPxPx2)()(lim0 中心中心差商差商 Px第十五页，讲稿共三十页哦函函数数P(x+x)利利用用Talor公公式式逼逼近近导导数数 )()()()(! 4)(! 3)(! 2)()()()4(432xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxPxxP (*) )2()(2)()(! 3) 2/()(! 2) 2/()(2)()2(32xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxP 第十六页，讲稿共三十页哦1、 一阶前差商一

3、阶前差商 xxPxxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截断截断误差误差)( xO 2、 一阶后差商一阶后差商 xxxPxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截断截断误差误差)( xO 3、 一阶中心差商一阶中心差商 xxxPxxPxP2)()(，xPPxPiii211 忽略忽略截断截断误差误差)(2xO xxxPxxPxP)2/()2/(，xPPxPiii2/12/1 忽略忽略截断截断误差误差)2/(2xO 第十七页，讲稿共三十页哦1、 二阶差商二阶差商 将方程将方程(*)正负相加正负相加,可得可得: .)(12)()(2)()()4(4 2xPxxPxxPxxPxxP 上式

4、两端同除上式两端同除2x,整理得整理得: )()()(2)()(22 xOxxxPxPxxPxP 忽略二阶截断误差忽略二阶截断误差)(2xO 222)()(2)(xxxPxPxxPxP，211222xPPPxPiiii(用节点位置) 第十八页，讲稿共三十页哦1、 一种常用二阶差商处理方法一种常用二阶差商处理方法 xxukxukxkxxxxx2221，)(2121xxx 112),(),(1xtyxutyxxuxuxx ，222),(),(1xtyxxutyxuxuxx xxtyxxutyxukxtyxutyxxukxukxxxxx222112),(),(),(),(21 xx1 1xx2 2x

5、x第十九页，讲稿共三十页哦1、抛物型方程、抛物型方程：一维不稳定渗流方程一维不稳定渗流方程：tPxP22 （1）显示差分：）显示差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向前差商和关于 x 的二阶差商，在点（i，n）的差分方程。 tPPxPPPninininini12112 )()21 (111ninininiPPPP，2xt，截断误差截断误差：)(2xtO 从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值niP ，就可以求得第 n+1时刻（下步时间）的值1niP。因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定，就可以依次求得以后各时间的 P 值。 这种差分格式是显式差分格式。 在显式差分格

6、式中：只有一个未知数1niP，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间步长受到严格限制，基本不用。 第二十页，讲稿共三十页哦（2）隐式差分）隐式差分：利用利用 P（x，t）关于）关于 t 的一阶向后差商和关于的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商，的二阶差商，在点在点（i，n+1）的差分方程）的差分方程： tPPxPPPninininini12111112 ninininiPPPP)()21 (11111 从方程可以看出：如果已知第从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值（本步时间）的值niP ，为了求得第，为了求得第 n+1 时刻（下时刻（下步时间）的值步时间）的值1niP，必须解一个

7、线性代数方程组，必须解一个线性代数方程组。即：要想求出即：要想求出1niP值，需用值，需用到第到第 n 时刻的时刻的 P 值，值，也要用到第也要用到第 n+1 时刻的时刻的 P 值。这种差分格式是值。这种差分格式是隐隐式式差分格差分格式式。在。在隐隐式差分格式中：式差分格式中：在点（在点（i，n+1） ，） ，用到（用到（i-1，n+1） 、 （） 、 （i+1，n+1） 、 （） 、 （i，n）三点。在三点。在隐式隐式差分格式中差分格式中：只有一个方程，：只有一个方程，23 个未知数，但个未知数，但稳定，稳定，精度好，精度好，广广泛使用。泛使用。 以上方程的一般形式：以上方程的一般形式：ii

8、iiiiidPbPaPc11，形成三对角矩阵。，形成三对角矩阵。 第二十一页，讲稿共三十页哦三三对对角角矩矩阵阵形形式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P 5 5 P P P P 第二十二页，讲稿共三十页哦2、椭椭圆圆型型方方程程： 二二维维不不稳稳定定渗渗流流方方程程 t

9、PyPxP2222 采用：等距网格差分 （1）显显示示差差分分：在点（i，j，n）的差分方程（图示） tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21,1,2, 1, 122 )2()2(1,1, 1, 1,1,njinjinjinjinjinjinjinjiPPPPPPPP 2xt，2yt，截断误差：)(22yxtO 该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，用到（i，j） ， （i+1，j） ， （i-1，j） ， （i，j+1） ， （i，j-1）五个点。 显式：只有一个方程，1 个未知数，简单，精度较差，时间步长受到严格限制，基本不用。 第二十三页，讲稿

10、共三十页哦（2）隐式差分：）隐式差分：在点（在点（i，j，n+1）的差分方程（图示）的差分方程（图示） tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,211,1,11,21, 11,1, 122 若取正方形网格：若取正方形网格：则：则： yx njinjinjinjinjinjiPPPPPP,1,1, 11,1, 111,1)14( 该线性代数方程组在节点（该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，也要用到（）列方程式，也要用到（i，j） ， （） ， （i+1，j） ，） ，（i-1，j） ， （） ， （i，j+1） ， （） ， （i，j-1）五个点，但时刻

11、不同。）五个点，但时刻不同。 隐式：只有一个方程，隐式：只有一个方程，5 个未知数个未知数，稳定，广泛使用。，稳定，广泛使用。 其一般形式是：其一般形式是：jinjijinijinjijinjijinjijifPdPbPePaPc,11.,11,1,1, 1,11,（形成五对（形成五对角矩阵）角矩阵） 第二十四页，讲稿共三十页哦五五 对对 角角 矩矩 阵阵 形形 式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 P P P P P

12、P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P

13、P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 第二十五页，讲稿共三十页哦3、Crank_Nicolson差差分分格格式式 Crank_Nicolson差分格式（简称C_N格式）是综合显式和隐式格式而构建，将空间二阶差商取为n时刻与n+

14、1时刻的算术平均值，则： tPPxPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21, 11,1, 12, 1, 1)22(21 整理： njinjinjinjinjinjiPPtxPPPtxP, 1,2, 11, 11,21, 1)22()22( 截断误差：)(2txO 这种差分格式求解精度高，工作量与隐式差不多，在油藏数值模拟中经常采用的格式之一。 第二十六页，讲稿共三十页哦4、其其它它差分格差分格式式 时间时间中心中心显式显式差分差分： tPPxPPPnjinjinjinjinji221,1,2, 1, 1 Dufort_Frankel 差分差分格式格式： tPPx

15、PPPPnjinjinjinjinjinji2)(1,1,2, 1!,1, 1 Douglas_Jones 校正校正差分差分格式格式： （1）预报预报差分差分格式格式： 2/22,2/1, 1, 122/1, 12/1,2/1, 1tPPxPPxPPPnjinjinjinjinjinjinji （2）修正修正差分差分格式格式： tPPxPPxPPPPPPnjinjinjinjinjinjinjinjinjinji,1,2/1, 12/1, 12, 1, 11, 11,1, 122)2()2( 第二十七页，讲稿共三十页哦定定产产条条件件：即即井井以以一一定定产产量量 q 生生产产。如如在在网网格

16、格（i，j）上上有有一一口口井井，产产量量 q，则则可可在在渗渗流流方方程程左左边边加加上上产产量量相相，生生产产井井 q 为为负负，注注水水井井 q 为为正正。 定定压压条条件件：即即井井以以一一定定流流动动压压力力 Pwf 生生产产，这这时时的的 q 未未知知，可可由由给给定定的的井井底底流流动动压压力力 Pwf 和和井井点点所所在在网网格格节节点点的的压压力力 Pij 计计算算： 把把网网格格内内井井近近似似看看成成稳稳态态流流动动，符符合合平平面面径径向向流流： )/ln()(2,wewfjijirrPPKhq 如如考考虑虑油油层层弹弹性性和和油油井井表表皮皮效效应应的的影影响响，则则

17、： )43ln()(2,srrPPKhqwewfjiji （一）、内边界条件处理（一）、内边界条件处理第二十八页，讲稿共三十页哦关于供给半径关于供给半径 re,不同的学者不同的学者,有不同的公式：有不同的公式： 1） 、对于各向同性地层，步长：） 、对于各向同性地层，步长：yx ,，其等值供给半径：，其等值供给半径： 2214. 0yxryxree 2） 、对于） 、对于各向异性各向异性地层，步长：地层，步长：yx ,，其等值供给半径：，其等值供给半径： 4/14/12/122/122/128. 0yxxyyxxyeKKKKyKKxKKr 第二十九页，讲稿共三十页哦感谢大家观看感谢大家观看第三十页，讲稿共三十页哦