立体图形的体积表面积侧面积几何重心与转动惯量计算公式.pdf

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1、 4 4立体图形的体积、外表积、侧面积立体图形的体积、外表积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式几何重心与转动惯量计算公式一、立体图形的体积、外表积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形a 为棱长，d 为对角线体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量*J体积V a3外表积S 6a2侧面积M 4a2对角线d 3aa重心 G 在对角线交点上GQ 2体积V abh外表积S 2(ab ah bh)侧面积M 2h(a b)对角线d a2b2 h2重心 G 在对角线交点上GQ 转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标轴分别平行三个棱边1Jx(b2h2)m121Jy(a2h2)m121Jz(a

2、2b2)m121Jo(a2b2h2)m12(当a b h时,即为正方体的情况)h2a,b,h 分别为长,宽,高,d 为对角线表中 m 为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，3，五.图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J体积V Fh外表积S 2F M侧面积M (a b c)h式中 F 为底面积h重心GQ 2(P、Q 分别为上下底重心)转动惯量对于正三棱柱(a=b=c)取 G 为坐标原点,z 轴与棱平行a,b,c 为边长,h 为高34a2Jza h m4812体积V 外表积S 3 3a2 6ah 5.1962a2 6ah侧面积M 6ah3 32

3、a h 2.5981a2h2a 为底边长,h 为高,d 为对角线对角线d h2 4a2h重心GQ 2(P、Q 分别为上下底重心)转动惯量取 G 为坐标原点,z 轴与棱平行5 345a2a h mJz812n 为棱数,a 为底边长,h 为高,g 为斜高1Fh3外表积S M Fn侧面积M nFag2式中 F 为底面积,F为一侧三角形面积体积V 重心GQ 图形h(Q 为底面的重心)4体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J体积0r2q2a21a,b,c,p,q,r 为棱长0p2b21p20c21b2c20111101重心GQ PQ4(P 为顶点,Q 为底面的重心)体积V h(F

4、 F FF)3式中F,F分别为上下底面积r212V2q2882a1重心GQ h 为高PQ F 2 FF 3F4F F FF(P,Q 分别为上下底重心)hFa1a体积V 3aa2外表积S M FFn侧面积M (aa)g2a,a分别为上下底边长,n 为棱数,h 为高,g 为斜式中F,F分别为上下底面积高h a2 2aa 3a2重心GQ 4 a2 aa a2(P、Q 分别为上下底重心)图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J体积hV ab (a a)(b b) ab6ab aba1b bPQ ab abab 3ab重心GQ 2 2ab abab 2ab(P,Q 分别为上下底

5、重心)两底为矩形,a,b,a,b 分别为上下底边长,h 为高,a1为截头棱长体积V hb(2a a)6底为矩形,a,b 为其边长,h 为高,a 为上棱长PQ a a2 2a a(P 为上棱中点,Q 为下底面重心)重心GQ r 为半径433r d 0.52360d336外表积S 4r2重心G 与球心 O 重合转动惯量取球心 O 为坐标原点2JxJyJzr2m53Jor2m5体 积V 图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J 半球体半球体 体积V 2r3d3312外表积S 3r2侧面积 M 2r23重心GO r8转动惯量取球心O为坐标原点,z轴与GO重合2JxJyJzr2

6、m53Jor2m52体积V r2h 2.0944r2h3外表积S r(2h a)r 为半径,O 为球心r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,为锥25 Jzr21coscossin215 222角(弧度)r3m323coscos5h22体 积r 为球半径,a 为拱底圆半径,h 为拱高63外表积S (2rh a2) (h2 2a2)V 侧面积 (锥面部分)M r3重心GO (2r h)8转动惯量z 轴与 GO 重合h(3a2 h2) h2(3r h)侧面积(球面部分)M 2rh (a2 h2)3 (2r h)2重心GO 4 (3r h)图形 球台球台 体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心

7、G 与转动惯量 J体积V 6外表积S (2rh a2 a2)侧面积M 2rhh(3a23a2h2) a2 a2h222r a 2h443a a重心GO 2222h 3a 3a hr 为球半径,a,a分别为上下底圆的半径,h 为h 2a2 4a2h2高GQ 2222 3a 3a h(Q 为下底圆心)2体积V 2Rr2224外表积S 42Rr 2Dd重心 G 在圆环的中心上转动惯量Dd2取圆环的中心为坐标原点 ,z 轴垂直于圆环所在平面52R2Jx Jy 8r 2m 3Jz r2R2m4R 为中心半径,D 为中心直径,r 为圆截面半径,d为圆截面直径图形 圆柱体圆柱体 体积 V、外表积 S、侧面积

8、 M、几何重心 G 与转动惯量 J体积V r2h外表积S 2r(r h)侧面积M 2rhh重心GQ 2(P,Q 分别为上下底圆心)转动惯量取重心 G 为坐标原点,z 轴垂直底面r 为底面半径,h 为高12h2Jx Jyr m43r2mJz2体积V h(R2 r2) 2Rth外表积S M 2(R2 r2)侧面积M 2h(R r) 4hR式中 t 为管壁厚,R为平均半径h重心GQ 2转动惯量取 z 轴与 GQ 重合(R2 r2)mJz2体积V R 为外半径,r 为内半径,h 为高2r2(H h)1外表积S M r21cosDrr H h 2r 为底圆半径,h,H 分别为最小,最大高度,为侧面积M

9、r(H h)截角,D 为截头椭圆轴截头椭圆轴D 4r2 (H h)222H hr tan重心GQ 44(H h)2r tanGK 2(H h)(GQ 为重心到底面距离,GK为重心到轴线OO的距离)图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J体积hV a(3r2 a2)3r2(b r)a3bhr313sinsin acosb3侧面积(柱面部分)2rhM (b r) abh 为截段最大高度,b 为底面拱高,2a 为底面弦长,r 为底面半径,2为弧所对圆心角(弧度)4体积V abc 4.1888abc3重心G 在椭球中心 O 上转动惯量取椭球中心为坐标原点,z轴与c轴重合1Jx

10、(b2c2)m51Jy(c2 a2)m51Jz(a2b2)m5a,b,c 为半轴图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J体积V 3外表积S r(r l)侧面积M rlr2h母线l r2h2h重心GQ 4(Q 为底圆中心,O 为圆锥顶点)转动惯量r 为底圆半径,h 为高,l 为母线取圆锥顶点为坐标原点,z 轴与 GQ重合3r22Jx Jyhm543Jzr2m10体积V 3外表积S M (R2 r2)侧面积M l(R r)h(R2 r2 Rr)母线l (R r)2 h2圆锥高(母线交点到底圆的距离)hrH h R rh R2 2Rr 3r2重心GQ 4R2 Rr r2(P

11、,Q 分别为上下底圆心)体积V 上下底平行 ,F,F分别为上,下底面积,F0为中截面面积,h 为高图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G与转动惯量 J注棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、圆柱等都是拟棱台的特例r,R分别为上,下底圆半径,h 为高,l 为母线h(FF 4F0)6母线为圆弧时:体积V h12(2D2 d2) 0.26180h(2D2 d2) 0.08727h(2D d)2母线为抛物线时:体积h232d 为上,下底圆直径,D 为中截面直径,h 为V 2D Dd d154高0.05236h(8D24Dd 3d2)h重心GQ 2(P,Q 分别为上下底圆心)二、多面体图形正四面体正八面体正十二面体正二十面体面数 f棱数 k顶点数 e体积 V外表积 S4640.1179a31.7321a281260.4714a33.4641a21230207.6631a320.6457a22030122.1817a38.6603a2表中 a 为棱长.e k f 2欧拉公式一个多面体的面数为 f，棱数为 k，顶点数为 e,它们之间满足