知识要点_空间直角坐标系.pdf

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1、第第 5 5 讲讲空间直角坐标系空间直角坐标系知识梳理知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直,分别指向右手的拇指、食指、中指；已知点的坐标P(x, y,z)作点的方法与步骤路径法：沿x轴正方向x 0时或负方向x 0时移动| x|个单位,再沿y轴正方向y 0时或负方向y 0时移动| y |个单位,最后沿x轴正方向z 0时或负方向z 0时移动| z |个单位,即可作出点已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A,B,C,点A,B,C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b,c,则(a,b,c)就是点P的坐标2、在x轴上的点分别可以表示为

2、(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),在坐标平面xOy,xOz,yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c);3、点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,b,c)点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(a,b,c)；点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(a,b,c)；点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,c)；点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,b,c)；点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(a,b,c)；点P(a,b,c)关于原点的对称点(a,b,c)。4. 已知空间两点P(x1, y1,z1

3、)Q(x2, y2,z2),则线段PQ的中点坐标为(x1 x2y1 y2z1 z2,)2221 / 85空间两点间的距离公式已知空间两点P(x1, y1,z1)Q(x2, y2,z2),则两点的距离为| PQ|(x1 x2)2(y1 y2)2(z1 z2)2 ,特殊地,点A(x, y,z)到原点O的距离为| AO|x2 y2 z2;22225 5以C(x0, y0,z0)为球心,r为半径的球面方程为(x x0) (y y0) (z z0) r特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为x y z r重难点突破重难点突破重点:了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置 ,会推导和使用空间两

4、点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比,认识空间点的对称及坐标间的关系重难点: 在空间直角坐标系中,点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1借助空间几何模型进行想象,理解空间点的位置关系及坐标关系问题 1：点P(a,b,c)到y轴的距离为解析借助长方体来思考,以点O,P为长方体对角线的两个顶点,点P(a,b,c)到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度,其值为a2c22将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题 2：对于任意实数x, y,z,求x y z (x 1) (y 2) (z 1)的最小值解析在空间直角坐标系中 ,2222222222x2 y2 z2(x 1)2 (

5、y 2)2 (z 1)2表示空间点(x, y,z)到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和,它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的线段长,所以x2 y2 z2(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2的最小值为6。3利用空间两点间的距离公式,可以解决的几类问题判断两条相交直线是否垂直判断空间三点是否共线得到一些简单的空间轨迹方程2 / 8热点考点题型探析热点考点题型探析考点考点 1:1: 空间直角坐标系空间直角坐标系题型 1:认识空间直角坐标系例 1 1 在空间直角坐标系中,y a表示Ay轴上的点 B过y轴的平面 C垂直于y轴的平面 D平行于y轴的直线2 在空间直角

6、坐标系中,方程y x表示A在坐标平面xOy中,1,3 象限的平分线 B平行于z轴的一条直线 C经过z轴的一个平面 D平行于z轴的一个平面解题思路认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中,方程x 1表示所有横坐标为 1 的点的集合 解析 1y a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合,所以y a表示经过点(0,a,0)且垂直于y轴的平面2 方程y x表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内,1,3 象限的平分线组成的集合名师指引类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点(a,0,0)且垂直于x

7、轴的平面上的点都可表示为(a, y,z)题型 2: 空间中点坐标公式与点的对称问题例 2 点P(a,b,c)关于z轴的对称点为P1,点P1关于平面xOy的对称点为P2,则P2的坐标为解题思路类比平面直角坐标系中的对称关系,得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点P和P1关于z轴对称, 所以点P和P1的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于原点对称,故点P1的坐标为(a,b,c),又因点P1和P2关于平面xOy对称, 所以点P2坐标为(a,b,c)名师指引解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例 2 中可以直接得出点P2为点P(a,b,c)关于原

8、点的对称点,故坐标3 / 8为(a,b,c)新题导练1已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的顶点坐标分别为A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),A1(0,0,5),则C1的坐标为。解析正四棱柱ABCD A1B1C1D1过点 A 的三条棱恰好是坐标轴,C1的坐标为2,2,52平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为A(1,1,3),B(3,2,3),对角线的交点为M(1,0,4),则顶点 C 的坐标为 , 顶点 D 的坐标为解析由已知得线段AC的中点为M,线段BD的中点也是M,由中点坐标公式易得C(3,1,5),D(1,2,11)3 已知M(4,3,1),记M到x轴的距离为a

9、,M到y轴的距离为b,M到z轴的距离为c,则Aa b c Bc b a Cc a b Db c ac分别是三条面对角线的长度。a 10,b 17,c 5,解析借助长方体来思考,a、b、选 C考点考点 2 2：空间两点间的距离公式：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例 3 如图：已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA AB恒成立？若存在,求出B点的坐标；若不存在,说明理由。解题思路转化为距离问题,即证明PA AB PB解析设P(0,0,c) B(0,b,0),222ZPOB Y

10、A对于Oz轴正半轴上任意一点P,假设在Oy轴上存在一点B,使得PA AB恒成立,X则PA AB PB222(01)2 (0 1)2 (c 0)2(10)2 (1b)2 (0 0)2 (0 0)2 (0b)2 (c 0)24 / 8即3 (b 1) b,解得：b 2所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA AB恒成立名师指引在空间直角坐标系中,利用距离可以证明垂直问题。此外,用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。新题导练4 已知A(x,5 x,2x 1),B(1,x 2,2 x),当A,B两点间距离取得最小值时,x的值为A19 B228819 C D7147解析| AB

11、|当x 85(x 1)2 (3 2x)2 (3x 3)214x212x 19 14(x )2778时,| AB |取得最小值72225已知球面(x 1) (y 2) (z 3) 9,与点A(3,2,5),则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是。解析球心C(1,2,3),AC 6,球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9 和 36已知三点A(1,1,2),B(1,2,1),C(a,0,3),是否存在实数a,使 A、B、C 共线？若存在,求出a的值；若不存在,说明理由。解析AB (11)2(12)2(2 1)214,AC (1 a)2 (10)2 (2 3)2(a 1)2 2,BC (1

12、a)2(2 0)2(13)2(a 1)2 20,因为BC AB,所以,若A,B,C三点共线,有BC AC AB或AC BC AB,若BC AC AB,整理得：5a 18a 19 0,此方程无解；若AC BC AB,整理得：5a 18a 19 0,此方程也无解。所以不存在实数a,使 A、B、C 共线。抢分频道抢分频道基础巩固训练基础巩固训练1将空间直角坐标系画在纸上时,我们通常将x轴与y轴,x轴与z轴所成的角画5 / 822成A900 B135 C45 D75000解析：选 B2. 点P(3,4,5)在yoz平面上的投影点P1的坐标是A(3,0,0) B(0,4,5) C(3,0,5) D(3,

13、4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变,选 B3.三棱锥O ABC中,O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为A1 B2 C3 D 6解析OA,OB,OC两两垂直,VOABC1 1123 13 24 2007XXXX 模拟设点 B 是点 A关于平面xOy的对称点,则|AB|等于A10 B10 C38 D38解析 A点 A关于平面xOy的对称点为B(2,3,5),5 20XXXX 模拟点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1,P关于平面xOz的对称点为P2,则| P1P2|=| P解析P1P2|1(1,2,3),P2(1,2,3),566正方体不在同

14、一表面上的两顶点P-1,2,-1,Q3,-2,3,则正方体的体积是解析P,Q不共面,PQ为正方体的一条对角线,PQ 4 3,正方体的棱长为 4,体积为 64综合提高训练综合提高训练7空间直角坐标系中,到坐标平面xOy,xOz,yOz的距离分别为 2,2,3 的点有A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个解析： 8 个。 分别为 3,2,2、 3,2,-2、 3,-2,2、 3,-2,-2、 -3,2,2、 -3,2,-2、 -3,-2,2、-3,-2,-28 2007XX 昌乐模拟三角形ABC的三个顶点的坐标为A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),则6 / 8ABC的形

15、状为A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形解析C9已知空间直角坐标系O xyz中有一点A(1,1,2),点B是平面xOy内的直线x y 1上的动点,则A,B两点的最短距离是A6 B3417 C3 D22解析因为点 B 在xoy平面内的直线x y 1上,故可设点 B 为(x,x 1,0),所以AB 117(x 1)2 (x 2)2 (0 2)22x2 2x 9 2(x )2,22所以当3411 1时,AB 取得最小值,此时点 B 为( ,0)。222 210如图,以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴,建立空间直角坐标系O xyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上。1

16、 当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究PQ的最小值；O2 当点P在对角线AB上运动,点Q为棱CD的中点时,探究PQ的最小值； 解析由已知A(a,a,0), C(0,a,0), D(0,a,a),B(0,0, a),1 当点P为对角线AB的中点时,点P坐标为(,XAZBPDQCYa a a,),2 2 2a2a2设Q(0,a,z),则PQ (z ) ,22当z 2aa,此时Q为CD的中点。时,PQ取到最小值为22 2 当 点Q为 棱CD的 中 点 时 , 点Q的 坐 标 为(0,a,), 设AP: AB k, 则a27 / 8xP a(1 k),yP a(1 k),zP ak,所以P点的坐标为(a(1 k),a(1k),ak),2112a2a。所以PQ 3a (k ) ,当k ,即P为AB的中点时,PQ取到最小值222228 / 8