高斯消元法解线性方程组.pdf
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1、高斯消元法解线性方程组高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型,这些模型中方程和未知量个数常常有多个,而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢?如果有解,解是否唯一?假设解不唯一,解的结构如何呢?这就是下面要讨论的问题。一、线性方程组设含有 n 个未知量、有 m 个方程式组成的方程组a11x1 a12x2 a1nxn b1a x a x ax b2112222nn23.1 am1x1 am2x2 amnxn bm其中系数aij, 常数bj都是已知数,xi是未知量 也称为未知数 。 当右端常数项b1,称方程组 3.1
2、 为非齐次线性方程组; 当b1=b2= =bm=b2, ,bm不全为 0 时,0 时,即a11x1 a12x2 a1nxn 0a x a x ax 02112222nn3.2 am1x1 am2x2 amnxn 0称为齐次线性方程组。由 n 个数k1, k2, , kn组成的一个有序数组k1, k2, , kn,如果将它们依次代入方程组3.1中的x1,x2, ,xn后,3.1中的每个方程都变成恒等式, 则称这个有序数组 k1,k2, ,kn 为方程组 3.1 的一个解。 显然由x1=0,x2=0, ,xn=0 组成的有序数组0, 0, , 0是齐次线性方程组3.2的一个解,称之为齐次线性方程组
3、3.2的零解,而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时,称之为非零解。利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此,我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。非齐次线性方程组3.1的矩阵表示形式为:AX = B其中x1b1a11a12a1nxbaaa2222nA =21,X =,B =2 aaaxnm2mnm1bn称 A 为方程组的系数矩阵,X 为未知矩阵,B 为常数矩阵。将系数矩阵 A 和常数矩阵 B 放在一起构成的矩阵1a11a12a1naa22a2n21AB= am1am2amn称为方程组的增广矩阵。齐次线性方程组的矩阵表示形式为:AX = Ob1b2bm二、高斯消元法
4、下面介绍利用矩阵求解方程组的方法,那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢?我们先看一个定理。定理 3.1假设用初等行变换将增广矩阵AB化为CD,则 AX = B 与CX = D 是同解方程组。证由定理可知,存在初等矩阵P1,P2, ,Pk,使PkP2P1(A B)=(C D)记PkP2P1= P,则 P 可逆,即P1存在。设 X1为方程组 A X = B 的解,即AX1= B在上式两边左乘 P,得P AX1= PB即CX1= D说明X1也是方程组 C X = D 的解。反之,设X2为方程组 C X = D 的解,即CX2= D在上式两边左乘P1,得P1CX2=P1D即A X2= B说明X2也
5、是方程组 AX = B 的解。因此,方程组 A X = B 与 C X = D 的解相同,即它们是同解方程组。证毕(由定理 3.1 可知,求方程组3.1的解,可以利用初等行变换将其增广矩阵AB化简。又有第二章定理2.10 可知,通过初等行变换可以将AB化成阶梯形矩阵。因此,我们得到了求解线性方程组3.1的一般方法:)用初等行变换将方程组3.1的增广矩阵AB化成阶梯形矩阵,再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组,逐步回代,求出方程组的解。因为它们为同解方程组,所以也就得到了原方程组3.1的解。这种方法被称为高斯消元法,下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。2 x1 x2 2x3 x4 1
6、x 5x 3x 2x 01234例 1解线性方程组3.33x x x 4x 21234 2x1 2x2 x3 x4 1解先写出增广矩阵AB,再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵,即1 211(1)11 211 11(3)0411153 202AB= 3110 4742 75 221110433111 21111 21104111(1)04111(1)300600666 66 00 2 2 200000上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组,最后一个增广矩阵表示的线性方程组为x1 x2 2x3 x4 14x2 x3 x4 16x3 6x4 61将最后一个方程乘,再将x4项移至等号的右
7、端,得6x3 x41将其代入第二个方程,解得x21 2再将x2, x3代入第一个方程组,解得x1 x41 2因此,方程组3.3的解为x1 x41 2x21 23.4x x 143其中 x4可以任意取值。由于未知量x4的取值是任意实数,故方程组3.3的解有无穷多个。由此可知,表示式3.4表示了方程组3.3的所有解。表示式3.4中等号右端的未知量x4称为自由未知量,用自由未知量表示其它未知量的表示式3.4称为方程组3.3的一般解,当表示式3.4中的未知量x4取定一个值如x4=1,得到11方程组3.3的一个解如x1 ,x2,x3 0,x4 1,称之为方程组223.3的特解。注意,自由未知量的选取不是
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