基本定理第三讲.ppt

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1、基本定理第三讲现在学习的是第1页，共18页 引例：引例：对于下面微分方程的对于下面微分方程的CauchyCauchy问题：问题：22,(0)0.dyxydxy1(,)11,11Rx yxy 分别考虑右端函数在下面两个区域：分别考虑右端函数在下面两个区域：上解的存在区间。上解的存在区间。2(,)22,22Rx yxy 2现在学习的是第2页，共18页3现在学习的是第3页，共18页一、延展解、不可延展解的定义一、延展解、不可延展解的定义1122121121212()11()()()()()()(1)yxIRIR IIyxxIxxyxyxxI若是初值问题（）在区间上的一个解，若初值问题（）在另外一区间

2、上存在解满足：时，可延展（延，则称这个解是的，同时称是在拓）延展解定义（延上的一个：拓解）。211()()xxxI 反之，若不存在满足上述条件的解，则饱和解（不可延称，是一个展解）。4现在学习的是第4页，共18页二、解的延拓定理二、解的延拓定理定义定义2 2：若某一区域若某一区域D D内中的任一点（内中的任一点（x x0 0，y y0 0），都存在以该点），都存在以该点为中心的闭矩形为中心的闭矩形R,R,使得对使得对CauchyCauchy问题（问题（1 1）的右端函数）的右端函数f f（x x，y y）对变量）对变量y y满足满足LipschitzLipschitz条件，则称函数条件，则称函

3、数f f（x x，y y）在区域）在区域D D内满内满足足局部局部LipschitzLipschitz条件条件.5现在学习的是第5页，共18页00(,)(,)(,)dyf x ydxf x yDDyLipschitzDxyyxxxD如果方程的右端函数在有界区域 中连续，并且在 内关于 满足局部的条件，那么方程通过 内任何一点解（都可以延拓直到点（，（任意接近解的延拓定理：区域 的边界。00),)xyxxxmxmxmxxxD以向 增大的一方向延拓来说，如果（只能延拓到区间上 则（减小）当时，（，（趋于（区域）的边界。6现在学习的是第6页，共18页000000(,),)1),)2),)(,)(,)

4、Ddyf x yxyyxdxxyxxyxx mmxmyxxxDxm x如果 为无界区域，在上面延拓定理的条件下，方程的通过点（）的解（可以延拓以向 增大的一方向来说，有以下两种情况：（）解（可以延拓到区间；（）解（只可以延拓到区间），（其中 为有限数），则当时，或者（无界，或者点（，（趋（减小）或或于区域推论：的边界。7现在学习的是第7页，共18页三、解的延拓定理及其应用三、解的延拓定理及其应用21122ln32dyydx方程分别通过（-ln3，）,(，）的解讨论的存例1分：微在区间。1 ln(1)0dyxydx 方程讨论微分满足条件解的存例2：在区间。8现在学习的是第8页，共18页22000

5、0(,),(,)(,3),()ydyyaf x yf x ydxfx yxyay xy 方程（）假设及在整个平面上连续。试证：对于任意 及任意原方程满足条件的解都在（，例：）试讨论微分上存在。211cosdydxxx 讨论方程解的存微分例4：在区间。9现在学习的是第9页，共18页000()()-()0(0),()()lim()50.xdyf yf ydxy f yyy xyy xxy x 方程中，在（，）上连续可微，且试证明方程满足的解在区间，上存在，并且有例若微分：10现在学习的是第10页，共18页四、解对初值的连续依赖性和连续可微性四、解对初值的连续依赖性和连续可微性00001010111

6、111000000(,)(,)(),0,0,),(,(,),),(,)(,)dyf x yyx xydxy xya bxxyyx yyx x ya bx x yxyyxxxxy设初值问题的解在区间上存在，如果对任意都存初值问题的解在使得对于满足的一切（相应初值问题的解都在上存在连续依赖于初始条件定义，并且满足则称：上述。11现在学习的是第11页，共18页0000101011011101(,),(,),0,0,)(,),)(,)()1x xyaxbxx xyf x yDxxyyx ydyf x yyx xydxy xDyLipschitzxyDyy，且当时，（，则对任意存在使对于满足的任意（，初

7、值问设在区域 内连续，且关于变量 满足条件。如果（，）初值问题（解对初值连续题：的解，依赖定理：）有也在区间解1100,(,)(,)a bx x yx xy上有定义，且有。1.解对初值的连续依赖定理解对初值的连续依赖定理12现在学习的是第12页，共18页0000000(,)00(,)00000(,)00(,)(,)(,)1,.()(,),xxxxfsdssyfsxys xyyx xyx xyf x yf x yyDxfeyxeyxy，如果函数以及在区域 内连续，则初值问题（）的解并且，作为，的函数，在它有有：和定义的范围内连续偏解对初值可微性定导理：数，.ds2.解对初值的连续可微性定理解对初

8、值的连续可微性定理13现在学习的是第13页，共18页000000(,),(,)(,)1.(,)f x yDyLipschix xyaxbCauchyx xtzxyDyyf xyy设在区域 内连续，且关于变量 满足条件。如果（，）初值问题（）有解，则当时，问题的解，将随方程解对初值可微性定理：的右端函数而连续变化*3.解对方程右端函数的连续依赖性定理解对方程右端函数的连续依赖性定理14现在学习的是第14页，共18页五、比较定理五、比较定理0000(,)12(,);12()()()()(),;()(),Df x yF xyDDf x yF xyy xyyxyxxxxxxxxx 若定义在某区域 中的

9、函数和（，）满足条件：（）在 上满足存在唯一性定理的条件；（）在 上有不等式（，）若方程（）和（）满足第一比相同初值条件的解分别为和，则在它们共同存在的区间上有：当时定当较理：时。(,)1 (,)2dydyf x yF x ydxdx考察方程：（）和（）15现在学习的是第15页，共18页0000(,)12(,);12()()()()(),()(),Df x yF xyDDf x yF xyy xyyxyxxxxxxxxx 若定义在某区域 中的函数和（，）满足条件：（）在 上满足存在唯一性定理的条件；（）在 上有不等式（，）若方程（）和（）满足第二比相同初值条件的解分别为和，则在它们共同存在的区间上有：当时定当较理：时。16现在学习的是第16页，共18页.1122的性态趋于这区间的端点时解以及当的每一解的存在区间指出方程texdtdx、tx.|,|:|22的性态趋于这区间的两端时解的饱和区间以及当内每一个解在区域指出方程tyxGyy、课后训练题：课后训练题：17现在学习的是第17页，共18页作业：P100 T1，T2，T4.18现在学习的是第18页，共18页