分数指数幂与根式讲稿.ppt

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1、关于分数指数幂与根式第一页，讲稿共五十五页哦回忆回忆 乘方的意义：乘方的意义：a0=1a-n=na1(a0,nN*).（a0）零的零次幂没有意义零的零次幂没有意义零的负整数次幂没有意义零的负整数次幂没有意义a n=aaa a (n N*)n 个个a第二页，讲稿共五十五页哦 整数指数幂的运算性质是：整数指数幂的运算性质是：aman=am+n(m,nZ)(am)n=amn(m,nZ)(ab)n=an bn(nZ).注意注意：-都要遵守零指数幂、负整数指数幂的都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于底数不能等于0的规定的规定.【练一练练一练】1.回答下列各题（口答）：回答下列各题（口答）：a2a

2、3=(b4)2=(m n)3=.a5b8m3 n3第三页，讲稿共五十五页哦1642底底幂幂指数指数第四页，讲稿共五十五页哦?42乘方运算乘方运算16?2开方运算开方运算4和和-4叫做叫做16的平方根的平方根8232叫做叫做8的立方根的立方根第五页，讲稿共五十五页哦9?432?5要求：用语言描述式子的含义要求：用语言描述式子的含义3称为称为9的的四次方根四次方根2称为称为-32的的五次方根五次方根第六页，讲稿共五十五页哦an?描述：描述：次方等于次方等于n一个数的一个数的a，求这个数，求这个数n开开次方次方次方根定义：次方根定义：n如果一个数的如果一个数的 次方等于次方等于n),1(*Nnna那

3、么这个数叫做那么这个数叫做 的的 方根方根an数学符号表示：数学符号表示：若若),1(*Nnnaxn，则，则 叫做叫做 的的 次方根次方根xan第七页，讲稿共五十五页哦273833254292164322232观察思考：观察思考：你能得到什么结论？你能得到什么结论？第八页，讲稿共五十五页哦27338323252 结论：结论：当当 为为奇数奇数时，正数的时，正数的 次方根是一个正次方根是一个正数，负数的数，负数的 次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时，的的 次方根次方根只有一个，记为只有一个，记为 nnnannax 3273 3825322115x511x第九页，讲稿共五十五页哦422

4、9231642 结论：结论：当当n为为偶数偶数时，正数的时，正数的n次方根有两个，它们互次方根有两个，它们互为相反数正数为相反数正数a的正的正n次方根用符号次方根用符号 表示；负的表示；负的n次方次方根用符号根用符号 表示表示,它们可以合并写成它们可以合并写成 的形的形式式42934162126xnana612x负数没有偶次方根负数没有偶次方根(0)na a第十页，讲稿共五十五页哦特别注意：特别注意：0的的 次方根等于次方根等于0.n思考：思考：1）一定表示一个正数吗？一定表示一个正数吗？nana为奇数时，它可为正、可为负、可为零为奇数时，它可为正、可为负、可为零n 为偶数时，它表示非负数为偶

5、数时，它表示非负数n2）中的中的 一定是正数或非负数吗？一定是正数或非负数吗？naa当当 为偶数时，它有意义的条件是为偶数时，它有意义的条件是 ；当当 为奇数时，它有意义的条件是为奇数时，它有意义的条件是 n0anRa第十一页，讲稿共五十五页哦2)2(33)2(55)3(2)2(33544)3(223253nna)(anna 为奇数为奇数na 为偶数为偶数n|a第十二页，讲稿共五十五页哦8443653256161623227，例例1：求下列各式的值。：求下列各式的值。312510244233)()3()10()8(a aba 第十三页，讲稿共五十五页哦1.求下列各式的值33)8(2)10(44

6、)3(55)3(44)(ba（）（）（）（）（）（）510a412a练一练：)(ba 第十四页，讲稿共五十五页哦2.给出下列4个等式：;.其中恒成立的个数为()aa2aa2)(aa33aa33)(A.1 B.2 C.3 D.43.已知 ，则化简 的结果是()21a42)12(a B.C.D.12 a12 aa21a21第十五页，讲稿共五十五页哦4.下列各式中，把根号外的因式移到根号内，正下列各式中，把根号外的因式移到根号内，正确的是确的是()A.B.C.D.ababaa 时，0ababaa 时，0babaa10时，2)(0,0baababbaba时，第十六页，讲稿共五十五页哦244)3()2(

7、xx5.化简：740740第十七页，讲稿共五十五页哦规定正数的正分数指数幂的意义：)1,0(nNnmaaanmnm且规定正数的负分数指数幂的意义：)1,0(11nNnmaaaanmnmnm且0的正数次幂等于的正数次幂等于0，0的负数次幂无意义，的负数次幂无意义，0的的0次幂无意义。次幂无意义。回顾：分数指数幂的定义回顾：分数指数幂的定义第十八页，讲稿共五十五页哦例1、求值求值：、3281225、51()2、.)8116(43第十九页，讲稿共五十五页哦分数指数幂的运算性质：分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理

8、数范围：推广到有理数范围：),0,0()(),0()(),0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr第二十页，讲稿共五十五页哦例例 用分数指数幂的形式表示下列各式用分数指数幂的形式表示下列各式:（式中（式中a0）解解：aa 2)1(323)2(aa aa)3(311323323aaaa=25212212aaaa=aa 2)1(323)2(aa aa)3(4321232121)()(aaaa第二十一页，讲稿共五十五页哦题型一题型一将根式转化分数指数幂根式转化分数指数幂的形式（a0,b0)31.a a a343332.()27ab343.()ab4329.4ba小结：1，

9、当有多重根式是，要由里向外层层转化。2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3、要熟悉运算性质。65a44383ba43)(ba8349ba第二十二页，讲稿共五十五页哦43a73x =43a（2）=(x0)731x(3)=43)(baba4321)()(baba 练习：用分数指数幂表示下列各式练习：用分数指数幂表示下列各式第二十三页，讲稿共五十五页哦 练习练习23232xx 4343)()(baba(a+b0)3232)()(nmnm24)()(nmnm)0(25356pqpqp252133mmmmm1）2）3）4）5）6）第二十四页，讲稿共五十五页哦例 求值求值：、328、21100、3

10、)41(.)8116(43101)10(1100121221=4 328)1(232332322)2(=21100)2(=(2-2)-3=2(-2)(-3)=26=64 3)41)(3(43)8116)(4(827)32()32(3)43(4第二十五页，讲稿共五十五页哦题型二题型二分数指数幂分数指数幂 求值求值，先把a写成 nmanx然后原式便化为mnmnnmxxa)(（即：关键先求a的n次方根）34(1)1000023125(2)()273236(3)()49。cbacba的值求已知2310,510,310,21010001259343216940第二十六页，讲稿共五十五页哦小结小结 1、分

11、数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差差异，注意不能随意约分）异，注意不能随意约分）.2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指数幂的、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指数幂的运算性质。运算性质。3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为根式的，再将结果化为根式。根式的，再将结果化为根式。注意三点：注意三点：第二十七页，讲稿共五十五页哦题型一题型一将根式转化分数指数幂根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0)1当有多重根式是，要由里向外层层转化。当有多重根式是，要由里向外层层转化。2对于有分母的

12、，可以先把分母写成负指数幂。对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3要熟悉运算性质。要熟悉运算性质。题型二题型二分数指数幂分数指数幂 (不按计算器不按计算器)求值求值，nma关键先求关键先求a的的n次方根次方根第二十八页，讲稿共五十五页哦 2,2()f x0 x()f x(1)()fmf mm例例3定义在定义在上的偶函数上的偶函数，当，当时，时，单调递减，且单调递减，且成立，求实数成立，求实数的取值范围。的取值范围。第二十九页，讲稿共五十五页哦 指数（3）第三十页，讲稿共五十五页哦题型三题型三分数指数幂的运算分数指数幂的运算1、系数先放在起运算。2、同底数幂 进行运算，乘的指数相加，除的指数

13、相减。1221113334241.(2)(3)(4)x yx yx yyyx24)4(3)2(323231412141原式第三十一页，讲稿共五十五页哦20.532037348710(2)(2)0.19272.100231423.()(4)(12)a ba ba b c2 1 43 1 21113(4)12abcac 解：原式第三十二页，讲稿共五十五页哦例例4 计算（式中字母都是正数）：计算（式中字母都是正数）：)3()6)(2)(1(656131212132bababa31848(2)()m n第三十三页，讲稿共五十五页哦题型四题型四根式运算根式运算，先把每个根式用分数指，先把每个根式用分数指

14、数幂表示；题目便转化为分数指数数幂表示；题目便转化为分数指数幂的运算。幂的运算。注意：注意：结果可以用根式表示，也结果可以用根式表示，也可以用分数指数幂表示可以用分数指数幂表示.但同一结但同一结果中不能既有根式又有分数指数幂，果中不能既有根式又有分数指数幂，并且分母中不能含有负分数指数并且分母中不能含有负分数指数幂幂第三十四页，讲稿共五十五页哦23432(1)(2 51 2 5)5 (2)(0)aaaa例例5 计算计算第三十五页，讲稿共五十五页哦364(24)3aabb化简：化简：529323210)10()8(21第三十六页，讲稿共五十五页哦题型五题型五)()(22平方差公式bababa)(

15、2)(222完全平方公式bababa)()(2233立方公式babababa利用代数公式进行化简：第三十七页，讲稿共五十五页哦1111114444221.()()()ababab例例1 化简：化简：11112222111122222.abababab111124243.(23)(23)xyxy第三十八页，讲稿共五十五页哦122331.3,_,_.aaaaaa已知则718第三十九页，讲稿共五十五页哦题型六题型六分数指数幂或根式中分数指数幂或根式中x的定义域问题的定义域问题4(1)1x13(2)(1)x23(3)(1)x12(4)x324(5)(32)xx13(6)(|1)x例如 求下列各式中x的

16、范围：X1X1XRX0(-3,1)X1第四十页，讲稿共五十五页哦 上面，我们将指数的取值范围由整数推广到有理数。那么，当指数是无理数时，又该如何解释？第四十一页，讲稿共五十五页哦 无理数指数幂哦！25第四十二页，讲稿共五十五页哦指数范围终于指数范围终于扩大到实数了，扩大到实数了，嘿嘿。嘿嘿。第四十三页，讲稿共五十五页哦3）根式又是如何定义的？有那些规定？）根式又是如何定义的？有那些规定？如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于 a，则这个数叫做，则这个数叫做 a 的平方根；的平方根；如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于 a，则这个数叫做，则这个数叫做 a 的立方根；的立方根；如果一个数的如

17、果一个数的 n 次方等于次方等于 a，则这个数叫做，则这个数叫做 a 的的 n 次方根；次方根；na根指数根指数根式根式被开方数被开方数a 0第四十四页，讲稿共五十五页哦4）的运算结果如何？的运算结果如何？当当 n 为奇数时，为奇数时，=a；(a R)nna当当 n 为偶数时，为偶数时，nna=|a|aa00 aaaann)(00 nnna第四十五页，讲稿共五十五页哦一、引入：1、a10的5次方根是_2、a12的3次方根是_你发现了什么？1010255aaa1、2、1212433aaa第四十六页，讲稿共五十五页哦第四十七页，讲稿共五十五页哦规定规定 正数的正分数指数幂正数的正分数指数幂 355

18、3*1616,33)1.,0()1(3553nNnmaaanmnm且)1*,0(1)2(nNnmaaanmnm且（3)0的正分数的正分数 指数幂等于指数幂等于0，0的负分数的负分数 指数幂没指数幂没有意义。有意义。二，分数指数幂的定义二，分数指数幂的定义第四十八页，讲稿共五十五页哦例1、求值求值：、3281225、51()2、.)8116(43第四十九页，讲稿共五十五页哦分数指数幂的运算性质：分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理数范围：广到有理数范围：),0,0()(),0()(),0(QrbabaabQ

19、sraaaQsraaaarrrrssrsrsr第五十页，讲稿共五十五页哦例例2、用分数指数幂的形式表示下列各式用分数指数幂的形式表示下列各式:（式中（式中a0）3(1)aa322(2)aa3(3)a a第五十一页，讲稿共五十五页哦例例-3、计算下列各式（式中字母都是正数）、计算下列各式（式中字母都是正数）2115113366221.(2)(6)(3)a ba ba b 318842.()m n第五十二页，讲稿共五十五页哦例例-4、计算下列各式、计算下列各式341.(25125)252322.(0)aaaa第五十三页，讲稿共五十五页哦题型一题型一将根式转化分数指数幂根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0)31.a a a343332.()27ab343.()ab4329.4ba小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3、要熟悉运算性质。65a44383ba43)(ba8349ba第五十四页，讲稿共五十五页哦感谢大家观看感谢大家观看9/5/2022第五十五页，讲稿共五十五页哦