固体物理学教案.ppt

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1、固体物理学教案现在学习的是第1页，共68页v BornOppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性绝热近似：所有原子核都周期性 地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子 的碰撞的碰撞 能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带论。成的能带，故称为能带论。能带论的两个基本假设：能带论的两个基本假设：v HatreeFock平均场近似：忽略电子与电子间的相互平均

2、场近似：忽略电子与电子间的相互 作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用现在学习的是第2页，共68页7.1 Bloch定理定理一、周期场模型一、周期场模型周期场模型：在理想完整晶体中，所有原子实都周期周期场模型：在理想完整晶体中，所有原子实都周期 性地静止排列在其平衡位置上；每一个性地静止排列在其平衡位置上；每一个 电子都处在除其自身外其他电子的平均电子都处在除其自身外其他电子的平均 势场和原子实所组成的周期场中运动势场和原子实所组成的周期场中运动二、二、Bloch定理（定理（1928年）年）在周期场中，描述电子运动的在周期场中，描述电子运动的Schrd

3、inger方程为方程为 222U rrErm 现在学习的是第3页，共68页为周期性势场，为周期性势场，Bloch函数函数 T ffrra证明：证明：ieu k rkkrr方程的解为：方程的解为：UUR rr123123Raaa为格矢为格矢是以格矢是以格矢 为周期的周期函数为周期的周期函数 uu kkrrRR定义一个平移算符定义一个平移算符T，使得对于任意函数，使得对于任意函数 有有 fr（1,2,3）：晶格的三个基矢：晶格的三个基矢a现在学习的是第4页，共68页 T T fT ffrraraa fT T fraar因为因为f(r)是任意函数，所以，是任意函数，所以，T T T T=0 222T

4、 HfTUfm rrrr222Ufm r arara 222UT fHT fm rrrr现在学习的是第5页，共68页因为因为f(r)是任意函数，所以，是任意函数，所以，T 与与H也可对易也可对易 HET rrrr+ar 1,2,3（设为非简并）（设为非简并）T 和和H有共同本征态有共同本征态设设(r)为为T 和和H的共同本征态的共同本征态 ：平移算符：平移算符T 的本征值的本征值引入周期性边界条件：引入周期性边界条件：晶体的总原胞数：晶体的总原胞数：NN1N2N3设设N 是晶体沿基矢是晶体沿基矢 （1，2，3）方向的原胞数，）方向的原胞数，a现在学习的是第6页，共68页周期性边界条件：周期性边

5、界条件：Nrra NNNT rarrr2exphiN引入矢量引入矢量123123123hhhNNN kbbbie k a2ab21Niheh 整数，整数，1,2,3现在学习的是第7页，共68页123123rRraaa 312123T T Tr 123123exp i kaaar定义一个新函数：定义一个新函数：iue k rkkrr ie k Rr+Rr 312123 r现在学习的是第8页，共68页是以格矢是以格矢 为周期的周期函数为周期的周期函数 ieu k rkkrr证毕证毕 u krR iiieee k Rk Rk rkriue k r RkkrRrR ieu k rkkrr现在学习的是第

6、9页，共68页二、几点讨论二、几点讨论1.关于布里渊区关于布里渊区 ieu k rkkrr 111ie k ararr 不同的波矢量对应于不同的平移算符本征值，电子波函数在原胞不同的波矢量对应于不同的平移算符本征值，电子波函数在原胞间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态 波矢量波矢量 是对应于平移算符本征值的量子数，其物理是对应于平移算符本征值的量子数，其物理意义意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化表示不同原胞间电子波函数的位相变化k现在学习的是第10页，共68页 如果两个波矢量如果两个波矢量 和和 相差一个倒格矢相差一个倒格矢 ，这两个

7、，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同波矢所对应的平移算符本征值相同niiiieeee k ak aGak a 1,2,3 kknG对于对于 ：ie k a k对于对于 ：n kkG 波矢量波矢量 和和 所描述的电子在晶体中的所描述的电子在晶体中的运动状态相同运动状态相同 kn kkG现在学习的是第11页，共68页123123123hhhNNN kbbbv 简约波矢：简约波矢：限制在简约区中取值限制在简约区中取值 kv 广延波矢：广延波矢：在整个在整个 空间中取值空间中取值 k k 与讨论晶格振动的情况相似，通常将与讨论晶格振动的情况相似，通常将 取在由取在由各个各个倒格矢的垂直平分面倒格矢的

8、垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中体积，即简约区或第一布里渊区中 k现在学习的是第12页，共68页在简约区中，波矢在简约区中，波矢 的取值总数为的取值总数为 bN k晶体的原胞数晶体的原胞数 kaVNv38abv123123111bNNNNbbb每一个量子态每一个量子态 在在 空间中所占的体积空间中所占的体积:k k在在 空间中，波矢空间中，波矢 的分布密度：的分布密度：3388abNvVN k k k现在学习的是第13页，共68页2.Bloch函数的性质函数的性质Bloch函数函数:ieu k rkkrrv 周期函数周期函数

9、的作用则是对这个波的振幅进行的作用则是对这个波的振幅进行 调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振 荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性 u krv 行进波因子行进波因子 表明电子可以在整个晶体中运动表明电子可以在整个晶体中运动 的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面 波的形式波的形式ie k r现在学习的是第14页，共68页晶体中电子：晶体中电子：ieu k rkkrr自由电子：自由电子：iAe k rkr孤立原子：孤立原子：Currl 如果晶体中电子的运动完

10、全自由，如果晶体中电子的运动完全自由，.uAconst kr 在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合间，是两者的组合.ieCconst k rl 若电子完全被束缚在某个原子周围，若电子完全被束缚在某个原子周围，.Aconst.Cconst现在学习的是第15页，共68页 由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 的形式。周期函数的形式。周期函数 反映了电子与晶格相互作用的反映了电子与晶格相互作

11、用的强弱强弱 ieu k rkr u kr Bloch函数中，行进波因子函数中，行进波因子 描述晶体中电子描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子函数因子 描述电子的原子内运动，取决于原子描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。内电子的势场。ie k r u kr现在学习的是第16页，共68页v 如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子 的能量取分立的能级的能量取分立的能级v 晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，电子晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，

12、电子 的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的 能带结构能带结构v 若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的能若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的能 量连续取值量连续取值现在学习的是第17页，共68页 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条

13、件必要条件 需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构现在学习的是第18页，共68页7.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似一、近自由电子模型一、近自由电子模型 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，这样，电

14、子的运动而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，这样，电子的运动几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰，而将周期场的影响看成小的微扰二、运动方程与微扰计算二、运动方程与微扰计算Schrdinger方程：方程：2222dU xxExm dx现在学习的是第19页，共68页周期性势场：周期性势场：U xU xaa：晶格常数：晶格常数Fourier展开：展开：002expnnnxU xUUia 001LUU x dxL 势能平均值势能平均值 012expLnnxUU xidxLaLNa根据近自由电子

15、模型，根据近自由电子模型，Un为微小量为微小量电子势能为实数，电子势能为实数，U(x)=U*(x)Un*=U-n 现在学习的是第20页，共68页1.非简并微扰非简并微扰kkKEH)(002220000222222)2exp(2)2exp(2)(2nnnnanxiUHUdxdmHHHanxiUUdxdmxUdxdmH 零级近似哈密顿量微扰算符现在学习的是第21页，共68页分别对电子能量分别对电子能量E(k)和波函数和波函数(k)展开展开(0)(1)(2)kkkE kEEE(0)(1)(2)kkkk将以上各展开式代入将以上各展开式代入Schrdinger方程中，得方程中，得(0)(0)(0)0kk

16、kHE(1)(0)(0)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0kkkkkkkkHHEEE零级近似方程：零级近似方程：(0)(0)(0)0kkkHE能量本征值：能量本征值：2222(0)022kkkEUmm00U 令现在学习的是第22页，共68页相应归一化波函数：相应归一化波函数：(0)1ikxkeL正交归一性：正交归一性：(0)(0)0Lkkk kdxk k一级微扰方程：一级微扰方程：(1)(0)(0)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE令：令：(1)(1)(0)ka(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(1)(0)kkkka EHE

17、aE两边同左乘两边同左乘 并积分得并积分得(0)k(1)(0)(0)(1)(1)kkk kkkkk kaEHEaE现在学习的是第23页，共68页v k=k(1)(0)(0)0LkkkkkEHHdxk H k(1)0012exp0LikxikxknnnxEeUie dxLav k k(1)(0)(0)k kkkkHaEE 由于一级微扰能量由于一级微扰能量Ek(1)0，所以还需用二级微扰方程，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量，方法同上来求出二级微扰能量，方法同上令令(2)(2)(0)ka代入二级微扰方程代入二级微扰方程现在学习的是第24页，共68页2(2)(0)(0)k kkkkkkHEE

18、E二级微扰能量：二级微扰能量：(0)(0)0Lk kkkHHdxk H k0012expLik xikxnnnxeUie dxLa0012expLnnnUi kkx dxLaUn02/kkn a 2/kkn a现在学习的是第25页，共68页电子的能量：电子的能量：222(0)(2)(0)(0)2k kkkkkkkkHkEEEmEE22220222222nnmUkmnkka电子波函数：电子波函数：(0)(1)(0)(0)(0)(0)k kkkkkkkkkkHEE222202exp 2/112/ikxnnmUinx aeLkkn a2 nkka 现在学习的是第26页，共68页 ikxkke ux其

19、中其中 222202exp 2/112/nknmUinx auxLkkn a波函数由两部分组成：波函数由两部分组成：(0)1ikxkLev 波数为波数为k的行进平面波：的行进平面波：v 该平面波受周期场的影响而产生的散射波：该平面波受周期场的影响而产生的散射波：因子因子2222212/nmULkkn a是波数为是波数为kk+2 n/a的散射波的振幅的散射波的振幅(1)k现在学习的是第27页，共68页l 若行进平面波的波长若行进平面波的波长 2/k 正好满足条件正好满足条件2an ，相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们 将相互加强，从而使行

20、进的平面波受到很大干涉将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉当当(0)(0)(0)2/kkkn aEEE时时2222222knkmma即即散射波中，这种成分的振幅变得无限大，微扰不再适用散射波中，这种成分的振幅变得无限大，微扰不再适用l 在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不 相同，因而彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅相同，因而彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅 均较小，可以用微扰法处理均较小，可以用微扰法处理现在学习的是第28页，共68页由上式可求得由上式可求得nka 2na或或这实际上是这实际上是Bragg反射条件反射条件2asin

21、n 在正入射情况（即在正入射情况（即 sin 1）2.简并微扰简并微扰(0)(0)(0)2/kkkn aEEE当当时，非简并微扰已不适用时，非简并微扰已不适用2222222knkmma2222nkknkGa现在学习的是第29页，共68页在布里渊区边界上在布里渊区边界上:nka 2nnkkaa(0)1ikxkeL(0)1ik xkeL和和零级近似的波函数是这两个波的线性组合零级近似的波函数是这两个波的线性组合k态和态和k态为简并态。必须用简并微扰来处理态为简并态。必须用简并微扰来处理在在k和和k接近布里渊区边界时接近布里渊区边界时1nka 1 1nka 现在学习的是第30页，共68页零级近似的波

22、函数也必须写成零级近似的波函数也必须写成(0)(0)(0)11ikxik xkkABAeBeLL代入代入Schrdinger方程方程(0)(0)0HHE(0)(0)(0)(0)0kkkkHHABE AB 利用利用(0)(0)(0)0kkkHE和和(0)(0)(0)0kkkHE得得(0)(0)(0)(0)0kkkkA EEHB EEH现在学习的是第31页，共68页(0)(0)00kkkk kkEEAHBHAEEB由于由于k knHk H kU2=+kknakknHk H kk H kU(0)(0)00knnkEEA U BU AEEB上式分别左乘上式分别左乘 k(0)*或或 k(0)*，并积分得

23、，并积分得现在学习的是第32页，共68页解得解得22(0)(0)(0)(0)142kkkknEEEEEU这里这里22222(0)122kknEmma22222(0)122kknEmma 久期方程久期方程:(0)(0)0knnkEEUUEE现在学习的是第33页，共68页(1)(0)(0)kknEEU 对应于对应于k态和态和k态距离布里渊区边界较远的情况态距离布里渊区边界较远的情况2(0)(0)(0)nkkkUEEEE2(0)(0)(0)nkkkUEEEE（设（设 0）此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互作用强的作用强的k和和k在微扰

24、中的相互影响，而将其他影响小的散在微扰中的相互影响，而将其他影响小的散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较高的射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较高的k态能态能量升高，而能量较低的量升高，而能量较低的k态的能量降低，即微扰的结果使态的能量降低，即微扰的结果使k态和态和k态的能量差进一步加大态的能量差进一步加大现在学习的是第34页，共68页(2)(0)(0)kknEEU对应于对应于k和和k很接近布里渊区边界的情况很接近布里渊区边界的情况2(0)(0)(0)(0)1224kkkknnEEEEEUU由由2222(0)112knnETma2222(0)112knnETma 222nnTma 在

25、布里渊区边界处自由电子的动能在布里渊区边界处自由电子的动能现在学习的是第35页，共68页得得221nnnnnTUETUT 221nnnnnTUETUT这表明，两个相互影响的态这表明，两个相互影响的态k和和k，微扰后的能量分别为，微扰后的能量分别为E和和E，当，当 0时，时，k态的能量比态的能量比k态高，微扰后使态高，微扰后使k态的能量态的能量升高，而升高，而k态的能量降低。当态的能量降低。当 0时，时，E 分别以抛物线的方式分别以抛物线的方式趋于趋于TnUn。对于对于 E EB B 能能带带重重叠叠EC E 0 MXRkxkykz 点：点：(0,0,0)kX点：点：(/a,0,0)kR点：点：

26、(/a,/a,/a)k现在学习的是第63页，共68页 点：能带底；点：能带底；R点：能带顶点：能带顶J0 s12J1 112EE REJ 能带宽度：能带宽度：v 原子的一个原子的一个s能级在晶体中展宽为一个相应的能带，能能级在晶体中展宽为一个相应的能带，能 带宽度取决于带宽度取决于J1，即近邻原子波函数的重叠积分，即近邻原子波函数的重叠积分 v 原子的内层电子轨道半径较小，所形成的能带校窄；原子的内层电子轨道半径较小，所形成的能带校窄；而外层电子的轨道半径较大，所形成的能带较宽而外层电子的轨道半径较大，所形成的能带较宽v 以上讨论仅适用于原子能级非简并，且原子波函数重叠以上讨论仅适用于原子能级

27、非简并，且原子波函数重叠 很少的情况，即适用于原子内层很少的情况，即适用于原子内层 s电子所形成的能带电子所形成的能带现在学习的是第64页，共68页 对于对于p电子、电子、d电子等，这些状态都是简并的，因此，电子等，这些状态都是简并的，因此，其其Bloch函数应是孤立原子的有关状态波函数的线性组合函数应是孤立原子的有关状态波函数的线性组合例例2：求简单立方晶体由原子的：求简单立方晶体由原子的p态所形成的能带态所形成的能带原子的原子的p态为三重简并，其原子轨道可表为态为三重简并，其原子轨道可表为 xyzpppxf ryf rzf r 在简单立方晶体中，三个在简单立方晶体中，三个p轨道各自形成一个

28、能带，其波轨道各自形成一个能带，其波函数是各自原子轨道的线性组合函数是各自原子轨道的线性组合现在学习的是第65页，共68页xxyyzzipppipippCeCeCe k Rkk Rkk RkrRrRrR 由于由于p轨道不是球对称的，因此，沿不同方向的近邻轨道不是球对称的，因此，沿不同方向的近邻重叠积分重叠积分J(Rs)不完全相同。如不完全相同。如 ：电子主要集中在：电子主要集中在x轴轴方向，在六个近邻重叠积分中，沿方向，在六个近邻重叠积分中，沿x轴方向的重叠积分较轴方向的重叠积分较大，用大，用J1表示；沿表示；沿y方向和方向和z方向的重叠积分用方向的重叠积分用J2表示表示xp现在学习的是第66

29、页，共68页 0122cos2coscosxppxyzEJJk aJk ak a k 0122cos2coscosyppyzxEJJk aJk ak a k 0122cos2coscoszppzxyEJJk aJk ak a kxy Xs带带px带带py、pz带带E(k)原子的原子的p态是奇宇称：态是奇宇称：xxppxx xp沿沿x轴方向的重叠积分轴方向的重叠积分J1 0现在学习的是第67页，共68页二、原子能级与能带的对应二、原子能级与能带的对应v 对于原子的内层电子，其电子对于原子的内层电子，其电子 轨道很小，因而形成的能带较轨道很小，因而形成的能带较 窄。这时，原子能级与能带之窄。这时，原子能级与能带之 间有简单的一一对应关系间有简单的一一对应关系 E这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个的一一对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应，可能会出现能带的重叠能级相对应，可能会出现能带的重叠v 对于外层电子，由于其电子轨对于外层电子，由于其电子轨 道较大，形成的能带就较宽道较大，形成的能带就较宽现在学习的是第68页，共68页