复变函数与积分变换-第四章.ppt

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1、复变函数与积分变换-第四章现在学习的是第1页，共38页4.1 复数项级数与复变函数项级数1.复数序列概念收敛与发散定理4.1.1定理4.1.2现在学习的是第2页，共38页2.复数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。121nnnwwww若 的前n项和 有极限（n）,则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。1nnwnjjnwS1现在学习的是第3页，共38页收敛的充分必要条件定理4.1.3绝对收敛与条件收敛定义4.1.4设 ，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。),2,1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv称级

2、数 是绝对收敛的，如果 是收敛的1nnw1|nnw称级数 是条件收敛的，如果 是发散的，而 是收敛的1nnw1|nnw1nnw现在学习的是第4页，共38页举例考察级数 的敛散性1/11nnien考察级数 的敛散性1nnz考察级数 的敛散性12)1(nnnin现在学习的是第5页，共38页3.复变函数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn(z)是复变函数。121)()()()(nnnzwzwzwzw点收敛：域收敛：收敛称之10)(nnzw收敛，zB，称之1)(nnzw现在学习的是第6页，共38页收敛的充分必要条件一致收敛一致收敛定理定理4.1.6级数 收敛的充分必要条件是 和

3、 都收敛，其中),2,1(),(i),()(nyxvyxuzwnnn)(1zwnn),(1yxunn),(1yxvnnnkknnzwzSzSzf1)()(|)()(|其中对于 ，称它在B内一致收敛于函数f(z)，如果0，N()，当nN()时，有)(1zwnnM判别法现在学习的是第7页，共38页性质连续性-4.1.7可积性-4.1.8解析性4.1.9级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续)(1zwnn级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw级数 在B内一致收敛f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，

4、且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf现在学习的是第8页，共38页4.2幂级数1.幂级数概念形如 的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复变常数。10)(nnnzza定理4.2.1（阿贝尔定理）现在学习的是第9页，共38页2.幂级数的收敛圆与收敛半径若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则称R为级数 的收敛半径，其中|z-z0|R被称为收收敛圆敛圆。10)(nnnzza10)(nnnzza10)(nnnzza现在学习的是第10页，共38页收敛半径的求法：定理4.2.2；定理4.2.31limnnnaaRnnnaR1limDAlembert公式Cauchy(根式)公

5、式举例求级数 的敛散半径及收敛圆1nnz求级数 的敛散半径及收敛圆122)1(nnz现在学习的是第11页，共38页内闭一致收敛3.幂级数的性质在收敛圆内幂级数具有连续性、可积性可积性4.2.5和解析性4.2.4幂级数在收敛圆内内闭一致收敛4.幂级数的运算现在学习的是第12页，共38页4.3 Taylor级数表示1.Taylor展开定理设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成（定理4.3.1）00)()(kkkzzazf)(!1)()(i210)(10zfkdzfakCkkR其中z0zCRCRRR现在学习的是第13页，共38页举例函数 f(z)=ez

6、在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开现在学习的是第14页，共38页例2把函数 展开成 的幂级数 解:函数 在 内处处解析,由公式(4.1.7)把上式两边逐项求导,即得所求的展开式211z211zz1z1,11112zzzzznn.1,14321111322znzzzzznn现在学习的是第15页，共38页 解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展

7、成幂级数（定理4.3.2）现在学习的是第16页，共38页2.几个初等函数的幂级数展开式直接方法间接方法函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开待定系数法函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开现在学习的是第17页，共38页4.4 Laurent级数 问题的提出已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双

8、边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。现在学习的是第20页，共38页00)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R101zz 现在学习的是第21页，共38页 双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内可逐项可导；(3)在B内可逐项积分。nnnzza)(0nnnzzazf)()(0现在学习的是第22页，

9、共38页2.Laurent展开定理设函数 f(z)在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)可展开成nnnzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21其中zCR1CR2R2R1z0C现在学习的是第23页，共38页Laurent级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点说明)(!10)(zfnannLaurent级数展开的唯一性收敛范围的极限的确定现在学习的是第24页，共38页举例函数 f(z)=sin z/z 在0|z|内的Laurent级数展开函数 f(z)=1/(1-z2)分别在1|z|和 0|z-1|2内的Laurent级数展开11-11|z|21

10、-10|z-1|2现在学习的是第25页，共38页例3把函数 展开成 的级数 解:因为所以 zezzf13z!3!2132nzzzzenz.0,!51!41!31!2!31!211122332313zzzzzzzzzzezzfz现在学习的是第26页，共38页例4把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解:因为所以,.222212121121213322nnzzzzzz 211zzzf zzzzzf2111211,11132nzzzzz nzzzzzf321nnzzzz222212133222137248zz10 z01z现在学习的是第27页，共38页例5把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解

11、:因为所以,232311111.222222212nnzzzzzz 211zzzfnnzzzz22221213322 zzzzzzzzf211111211121121111111111zzzzzz 21111zzzzf842111121zzzzznn21 z12z现在学习的是第28页，共38页例5把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解:因为所以,21111111111zzzzzz24211211121zzzzzz 211zzzf 21111zzzzf zzzzzzzzzf21111111211121121241zzz 432751zzz z22z 现在学习的是第29页，共38页 通过例3、

12、例4、例5可知同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.现在学习的是第30页，共38页第五节 孤立奇点的分类 概念若函数 f(z)在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子2/111 ,1zezz非孤立奇点的例子)/1sin(1z1 ,21,0,21,1现在学习的是第31页，共38页 孤立奇点的Laurent级数展开在区域 0|z-z0|R 内的单值解析函数 f(

13、z)可展开成nnnzzazf)()(0其中正幂部分00)(nnnzza是该级数的解析部分10)(nnnzza是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数现在学习的是第32页，共38页 孤立奇点的分类可去奇点：主要部分不存在m阶极点：主要部分有m项本性奇点：主要部分有无穷多项现在学习的是第33页，共38页 孤立奇点的等价命题内有界在可去奇点|z-|0)(lim00zlzfzz)(lim )0()()(lim 0)z()(),()(1)(00000zfaazfzzzzzzzfmzzmzzm解析且阶极点不存在且不为无穷本性奇点)(lim0zfzz现在学习的是第34页，共38页举例zzzfsin)(22)1)(1(2)(zzzzf232)(sin)2)(1()(zzzzfzzf1exp)(求下列函数的孤立奇点，并指出类型现在学习的是第35页，共38页现在学习的是第36页，共38页现在学习的是第37页，共38页现在学习的是第38页，共38页