千古谜题伽罗瓦的解答.ppt

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1、千古谜题伽罗瓦的解答现在学习的是第1页，共27页千古谜题：千古谜题： 2000多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困绕着数学家多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困绕着数学家（1）三等分任意角）三等分任意角（2）倍立方）倍立方（3）化圆为方）化圆为方-把一个已知角三等分把一个已知角三等分-作一个立方体，使它的体积作一个立方体，使它的体积 是已知立方体的体积的是已知立方体的体积的2 倍倍-作一个正方形，使它的面作一个正方形，使它的面 积等于已知圆的面积积等于已知圆的面积 现在学习的是第2页，共27页2。倍立方：相传大约在公元前430年，古希腊的雅典流行着黑死病。为了消除灾难，雅典人向太阳

2、神阿波罗求助，阿波罗提出要求，必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。雅典人百思不得其解，即使当时最伟大的学者柏拉图也感到无能为力。3。“化圆为方”问题由一个名叫安拉客萨歌拉的才子提出。相传公元前5世纪，安拉客萨歌拉对别人说：“太阳并非一尊神，而是一个非常大非常大的大火球。”结果被他的仇人以亵渎神灵的罪名给关在牢里。也许是为了打发无聊的铁窗生活，抑或是为了发泄一下自己不满的情绪，于是他提出了一个数学问题：“怎样做出一个正方形，才能使它的面积与某一个已知圆的面积相等呢？” 古希腊三大尺规作图问题的由来古希腊三大尺规作图问题的由来1。三等分任意角 问题历史上找不出有关来源的记

3、载现在学习的是第3页，共27页千古谜题：千古谜题： 2000多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困饶着数学家多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困饶着数学家（1）三等分任意角）三等分任意角（2）倍立方）倍立方（3）化圆为方）化圆为方- 把一个已知角三等分把一个已知角三等分-作一个立方体，使它的体积作一个立方体，使它的体积 是已知立方体的体积的是已知立方体的体积的2 倍倍- 作一个正方形，使它的面作一个正方形，使它的面 积等于已知圆的面积积等于已知圆的面积 古希腊古希腊三大几何难题的特点是：三大几何难题的特点是： 1。表述很简单、直观。表述很简单、直观。 2。尺规作图要求非常苛刻。尺规作

4、图要求非常苛刻。（1）要用没有刻度的直尺和圆规，不能在直尺上 做记号，更不能够折叠作图纸。（2）直尺和圆规只能有限次地使用现在学习的是第4页，共27页早期数学家的努力早期数学家的努力公元前15世纪下半叶 希波克拉底化月牙形为方化圆为方巧辨派的代表人物安蒂丰古希腊穷竭法的 始祖倍立方问题圆锥曲线柏拉图学派现在学习的是第5页，共27页 2000多年来，古希腊三大尺规作图问题：多年来，古希腊三大尺规作图问题： （1）三等分任意角）三等分任意角 （2）倍立方）倍立方 （3）化圆为方）化圆为方（1）三等分任意角）三等分任意角:设已知某角的角度为设已知某角的角度为 ，得，得则则 令令即问题转化为解方程：即

5、问题转化为解方程： 3a )3cos( a cos3cos4)3cos(3x cos为已知数）为已知数）（aaxx,343 （2）倍立方）倍立方23 x32 x（3）化圆为方）化圆为方 2x x求方程根的问题！求方程根的问题！现代的眼光看现代的眼光看现在学习的是第6页，共27页系统研究系统研究早在古巴比伦时代早在古巴比伦时代,人们已经人们已经掌握了解一次、二次方程的方法：掌握了解一次、二次方程的方法： 现在学习的是第7页，共27页 悲观派悲观派1494年年,意大利数学家意大利数学家帕西奥利帕西奥利根本不可能乐天派乐天派意大利波伦大学意大利波伦大学教授费罗教授费罗为为正正数数nm,nmxx +

6、+3费罗费罗学生学生: :菲奥尔菲奥尔 现在学习的是第8页，共27页塔尔塔利亚 1510年年,菲奥尔掌握菲奥尔掌握:为为正正数数nm ,nmxx + +31534年年,塔尔塔利亚塔尔塔利亚宣称自己已宣称自己已掌握了形如掌握了形如这类没有一次项的三次方程的解法这类没有一次项的三次方程的解法 nmxx + +23现在学习的是第9页，共27页菲奥尔菲奥尔塔尔塔利亚塔尔塔利亚数学竞赛时间数学竞赛时间:1535年年2月月13日日数学竞赛地点数学竞赛地点:意大利意大利-米兰米兰 世界上第一次数学竞赛世界上第一次数学竞赛 规则规则:双方各出三十个三次方程的问题给对方双方各出三十个三次方程的问题给对方.最终结

7、果最终结果 0:30 菲奥尔菲奥尔 输给了输给了 塔尔塔利亚塔尔塔利亚菲奥尔菲奥尔比赛前比赛前:固步不前固步不前,没有得到新的突破没有得到新的突破塔尔塔利亚塔尔塔利亚夜以继日夜以继日,冥思苦想冥思苦想,取得突破取得突破现在学习的是第10页，共27页塔尔塔利亚像 塔尔塔利亚为这次胜利所激励，更加塔尔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法热心于研究一般三次方程的解法经过经过6年的不懈努力，终于解决年的不懈努力，终于解决了三次方程的一般解法。了三次方程的一般解法。身残志坚勇于创新独具慧眼数学史上称三次方程的求根公式为： “卡尔达诺”公式 现在学习的是第11页，共27页卡尔达诺 一位

8、颇受欢迎的医生一位颇受欢迎的医生塔尔塔利亚 哲学家和数学家，哲学家和数学家， 占星术家占星术家撰写代数著作撰写代数著作大术大术1545年卡尔达诺出版年卡尔达诺出版大术大术一书，将三次方程解一书，将三次方程解 的解法公诸于众，从而使自己在数学界声名鹊起。的解法公诸于众，从而使自己在数学界声名鹊起。现在学习的是第12页，共27页)0(02 + + +acbxax044)2(22 + + +abacabxa, 相当于令 代入原方程abyx2 0)2()2(2 + + + + cabybabya即即得得：展开整理得：024222 + + + + + cabbyabbyay22244aacby aacb

9、babaacbx2422422 消掉一次项，成为了缺项的二次方程现在学习的是第13页，共27页320axbxcxd+, 令 代入方程0)3()3()3(23 + + + + + + dabycabybabya即即得得：0)3()932()273(232223223 + + + + + + + + + dacbcyabyabbyabyabbyayabyx3 展开得：整理得：03272)3(323 + + + + + +dacbbyabcay03272)3(23223 + + + + + +adacbabyabacy缺项的三次方程现在学习的是第14页，共27页卡尔达诺的公式： 解解 的法则：的法则

10、：用用 系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这整个算系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这整个算式的平方根。复制（重复）这一算式，并在第一个算式中加上方式的平方根。复制（重复）这一算式，并在第一个算式中加上方程常数的一半，从第二个算式中减去同一数的一半，然后，用第程常数的一半，从第二个算式中减去同一数的一半，然后，用第一个算式的立方根减去第二个算式的立方根，其差即为一个算式的立方根减去第二个算式的立方根，其差即为 的值。的值。nmxx + +3xx323323)2()3(2)2()3(2nmnnmnx+ + + + + + 现在学习的是第15页，共27页的的根根：求求方方程

11、程问问题题01758115223 + + xxx, 令 代入方程5+ + yx0175)5(81)5(15)5(23 + + + + + +yyy即即得得：02063 + +yy整整理理得得：2063 + +yy即即：331081010810+ + + + y75 + + yx即得一个根是即得一个根是现在学习的是第16页，共27页, ,令 代入方程3xrqxpxx+ + + 24abyx4 0234 + + + + +edxcxbxax消掉含 的项可以 变形成形如：然后寻找一个数 使得等式的两边配成完全平方形式 a2222)2()(arqxxapax+ + + + + + +等式右边是完全平方

12、式当且仅当它的判别式为0，即 )(2(422arapq+ + + 04848223 + + + +qprrapaa整理得：费拉里发现的一元四次方程的解法费拉里发现的一元四次方程的解法 现在学习的是第17页，共27页 善于把握从特殊到一般的研究方法善于把握从特殊到一般的研究方法, 这就是数学家的这就是数学家的眼光眼光. 实事求是实事求是,不断探索不断探索,勇于创新勇于创新, 这就是数学家的这就是数学家的精神精神.现在学习的是第18页，共27页三次方程问题解决了三次方程问题解决了四次方程问题解决了四次方程问题解决了一般的五次方程问题？一般的五次方程问题？拉格朗日五次方程问题屡解屡败五次方程问题屡解

13、屡败现在学习的是第19页，共27页20年过去了，高次方程的求根公式问题仍未解决年过去了，高次方程的求根公式问题仍未解决阿贝尔 一般的一般的5次或次或5次以上次以上的方程不能公式求解的方程不能公式求解伽罗伽罗 瓦瓦遗留问题：判定一个具体数遗留问题：判定一个具体数字系数的高次代数方程能否字系数的高次代数方程能否用根号求解的准则问题？用根号求解的准则问题？彻底解决了代数方程公式可彻底解决了代数方程公式可 解性的解性的判断。判断。群论群论的开山祖师群论的开山祖师现在学习的是第20页，共27页阿贝尔阿贝尔 伽罗伽罗 瓦瓦旷世奇才旷世奇才16岁阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、岁阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著

14、作，并开始研究五次方程高斯的著作，并开始研究五次方程的问题的问题15岁研究高等数学如勒让德的岁研究高等数学如勒让德的几几何原理何原理和拉格朗日的和拉格朗日的代数方程的解代数方程的解法法、解析函数论解析函数论、微积分学微积分学教程教程19岁，阿贝尔进入奥斯陆大学岁，阿贝尔进入奥斯陆大学学习学习 ,22岁，阿贝尔证明了五次岁，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数问题或五次以上的代数问题17岁在法国第一个专业数学岁在法国第一个专业数学杂志发论文杂志发论文.18岁，把他研究的初步结岁，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院果的论文提交给法国科学院现在学习的是第21页，共27页阿贝尔阿贝尔 伽罗伽罗 瓦瓦

15、旷世奇才旷世奇才命运多舛命运多舛18岁，报考巴黎综合技术落选。岁，报考巴黎综合技术落选。二次把二次把群论群论交给法国科学院，交给法国科学院，分别被分别被柯西、傅立叶遗失，第三傅立叶遗失，第三次上交被泊松所拒绝。次上交被泊松所拒绝。父亲自杀。开除出大学，多次由于政治原因被捕入狱，20岁悲惨的死于与无赖的决斗中。一直怀才不遇，失业，受数学大一直怀才不遇，失业，受数学大师的冷落，病魔缠生，师的冷落，病魔缠生，27岁，最岁，最后抑郁而死。后抑郁而死。名垂千古名垂千古现在学习的是第22页，共27页在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，他的脚下踩在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大

16、无畏的青年的形象，他的脚下踩着两个怪物着两个怪物分别代表五次方程和椭圆函数分别代表五次方程和椭圆函数 2003年挪威政府于设立了一项数学奖年挪威政府于设立了一项数学奖阿贝尔奖阿贝尔奖。阿贝尔阿贝尔 现在学习的是第23页，共27页对伽罗瓦评价对伽罗瓦评价评价一：评价一：犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星 评价二：评价二：十九世纪数学家中最悲惨的英雄十九世纪数学家中最悲惨的英雄 评价三：评价三：他的死至少使得数学的发展推迟了几十年他的死至少使得数学的发展推迟了几十年 由伽罗瓦得到的启由伽罗瓦得到的启 示：示：启示一：启示一：由于他年轻，他才敢于并能够以崭新的方

17、式去思由于他年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思 考，考， 去描述他的数学世界去描述他的数学世界 启示二：启示二：数学表达过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因数学表达过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因 公元1811年1832年 现在学习的是第24页，共27页伽罗瓦最主要的成就是：伽罗瓦最主要的成就是：1。提出了群的概念并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题。提出了群的概念并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题2。“群论群论”是近代数学中最重要的概念，影响多个学科。是近代数学中最重要的概念，影响多个学科。群的概念：设G是一个集合，集合内的元素之间可以定义一个二元运算如果G满足如下的四条性质：（

18、1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合（2）（结合性）运算满足结合律，即（3）（存在单位元）集合中存在单位元 ，对集合中任意元素 满足（4）（存在逆元）对集合中任一元素 ,存在唯一元素 使得 则G连同它的运算称为一个群，记做（G, ） aeaae e1 aa)()(cbacba eaaaa 11a现在学习的是第25页，共27页（1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合（2）（结合性）运算满足结合律，即（3）（存在单位元）集合中存在单位元 ，对集合中任意元素 满足（4）（存在逆元）对集合中任一元素 ,存在唯一元素 使得 则G连同它的运算称为一个群，记做（G, ） aeaae e

19、1 aa)()(cbacba eaaaa 11a问题：判断下列集合对于它的运算能否构成群：问题：判断下列集合对于它的运算能否构成群：（1）偶数集与数的加法运算）偶数集与数的加法运算（2）实数集与数的乘法运算）实数集与数的乘法运算（3）G=向右转向右转R，向左转，向左转L，向后转，向后转H，不动，不动I 定义定义表示两种动作的运算。表示两种动作的运算。现在学习的是第26页，共27页古希腊三大几何问题为什么不能解决呢？古希腊三大几何问题为什么不能解决呢？需要其它学科的知识笛卡尔的解析几何的创立1837年，法国数学家旺策尔证明了三等分任意角与倍立方都是死题年，法国数学家旺策尔证明了三等分任意角与倍立方都是死题1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方也是死题年，德国数学家林德曼证明了化圆为方也是死题现在学习的是第27页，共27页