可测函数的收敛性课件.ppt

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1、现在学习的是第1页，共17页|)()(|,0,0,xfxfNnNExnxx有一致收敛:|)()(|,0,0 xfxfExNnNn有注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn于点点收敛:记作现在学习的是第2页，共17页1-0.20.40.60.810.20.40.60.81例：函数列fn(x)=xn ,n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn现在学习的是第3页，共17页Eea

2、ffn于.feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集,0|)()(|,0,0,0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于.0 ffnE现在学习的是第4页，共17页注：从定义可看出，l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）l依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何Effn于0lim,0|ffnnmE有|0,0,0,nffNn NE 有m现在学习的是第5页，共17页|0,0,0

3、,nffNnNE 有m0lim,0|ffnnmE有0,0|不收敛于使得ffnmE|0,0,0,nffNnNE使得m现在学习的是第6页，共17页说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1)(limlim,10|，有对nmmEnffnnn,2,1)(,0(1),(0nxfnxnxn 在R+上处处收敛于 f(x)=1,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外现在学习的是第7页，共17页feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集,0|)()(|,0,0,0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集Euaffn于.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛|)()

4、(|,0,0,0 xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （）适当小小现在学习的是第8页，共17页|)()(|,0,0,0 xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛|)()(|),1,()(,0,0,02121xfxfnneExNNnNmeEen使可测子集,0(1),(0)(nxnxnxfn现在学习的是第9页，共17页0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8现在学习的是

5、第10页，共17页0lim,(limlim,1021212|kkknkiikffnmmE有,0)(),()()(21,2(2xfxxfxfkkkiiin令 取E=(0,1,n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,Effn于则说明：对任何x(0,1,fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；现在学习的是第11页，共17页例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn现在学习的是第12页，共17页

6、即：于Euaffn.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于，则.Eeaffn于若.几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）即：于Eeaffn.0 ffnmE即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛现在学习的是第13页，共17页knknnxfxfNnNxfxf11|)()(|,1,1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使11()():1,1,|()()|nnkkfxf xNnNfxf x 不收敛使111:()():|()()|nnkkNn Nx fxf xxfxf

7、x不收敛于111|)()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfx现在学习的是第14页，共17页引理：设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，|.0,lim()0nnffNnNff a eEmE若于，则有0)()lim()(lim,0|1|ffNnNffNnNffNnNnnnEmEmEmmE）（有时，从而当)(0)()(0)(|11|11ffNnNkffNnNnknEmEm)(|1|*nfnfEEE证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn，f在E上处处有限，从而有：0)(0.|111knnffNnNkffnEmmEEeaff于关于N单调减小现在学习的是第15页，共17页EffEmEmnffNnNffNnN于所以从而0)(lim)(lim|0)(lim,0|ffNnNnEm有证明：由引理知，Eeaffn于若.Effn于，则设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，现在学习的是第16页，共17页2022-9-5感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第17页，共17页