几个典型的代数系统课件.ppt

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1、第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 关于几个典型的代数系统关于几个典型的代数系统现在学习的是第1页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.1 半群与群半群与群 半群与群都是具有一个二元运算的代数系统，群是半群的特殊例子。事实上，群是历史上最早研究的代数系统，它比半群复杂一些，而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。逻辑关系见图6.1.1。现在学习的是第2页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 图 6.1.1 群半群现在学习的是第3页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.1 设S，*是代数系统，*

2、是二元运算，如果*运算满足结合律，则称它为半群（semigroups）。 换言之，x,y,zS,若*是S上的封闭运算且满足(x*y）*z=x*（y*z），则S，*是半群。 许多代数系统都是半群。例如，N,+，Z,P(S),SS,（SS=f|f:SS,是复合运算）均是半群。但Z,-不是半群。现在学习的是第4页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 再如，设是有限字母表，+是中的字母串*=+，其中是不含字母的空串，运算是字母串的“连接”运算，则*,是半群。如Com*,puter*,经运算后，得Computer仍是字母串。 现在学习的是第5页，共185页第第6章章 几个典型的代

3、数系统几个典型的代数系统 【例6.1.1】 | ,0)00abSa bR a,则S,是半群。这里代表普通的矩阵乘法运算。 证明 对任意的 1122,0000ababSS因为 1122121 2000000ababa abb 且a1a20,所以 121 200a abbS,因此运算封闭。 现在学习的是第6页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.2】 | ,000abSa bR a,则S,+不是半群。这里+代表普通的矩阵加法运算。 证明 对任意的 1122,0000ababSS取a2=-a1,则 11221212000000ababaabb且a1+a2=0，所以

4、 121200aabbS因此*运算不封闭。 所以S,+不是半群。 现在学习的是第7页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.3】 | , ,0abSa b cRc,则S,不是半群。这里代表普通的矩阵乘法运算。证明 取 1111111121,1010101011SS则 所以 2111S,因此*运算不封闭。 所以S,不是半群。现在学习的是第8页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 对于半群中的元素，我们有一种简便的记法。 设半群S,*中元素a（简记为aS）的n次幂记为an，递归定义如下： a1=a an+1=an*a1 n Z+ 即半群中的

5、元素有时可用某些元素的幂表示出来。 因为半群满足结合律，所以可用数学归纳法证明 am*an=amn，(am) n=amn。 普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等具体的代数系统都满足这个幂运算规则。如果有a2=a，则称a为半群中的幂等元。现在学习的是第9页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理定理6.1.1 若S,*是半群，S是有限集合，则S中必含有幂等元。 证明 因为S,*是半群，aS,有a2,a3,S。 因为S是有限集合，所以必定存在ji,使得ai=aj。 令p=j-i,便有ai=aj=ap*ai，所以aq=ap*aq(qi)。 因为p1,所以可找到k1,使得k

6、pi akp=ap*akp=ap*(ap*akp) =a2p*akp=a2p*(ap*akp)=akp*akp 即在S中存在元素b=akp,使得b*b=b。现在学习的是第10页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 下面介绍一些特殊半群。 定义6.1.2 如果半群S,*中二元运算*是可交换的，则称S,*是可交换半群(commutative semigroups)。如Z,+,Z,P(S),均是可交换半群。但SS,*,不是可交换半群。 定义6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群S，*，称它为独异点（monoid），或含幺半群，常记为S,*,e(e是幺元)。现在学习的是第11页

7、，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.4】Z,+是独异点，幺元是0，Z,+,0;Z,是独异点，幺元是1，Z,1；P(S),是独异点，幺元是，P(S),；*,是独异点，幺元是(空串)，*,；SS,是独异点，幺元是IA，SS, ,IA； 但ZE,不是独异点，因为无幺元，（1ZE，ZE：偶数集）。 现在学习的是第12页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.4 (1)设S，*为一半群,若TS,*在T中封闭，则T，*称为子半群。 （2）设S，*为一独异点,若TS,*在T中封闭，且幺元eT,则T，*,e称为子独异点。 我们前面提过，对

8、于有穷集合的二元运算，可用运算表来给出。现在学习的是第13页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.2 一个有限独异点，S,*,e的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。 证明 设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意的a，bS且ab时，总有 e*a=ab=e*b和a*e=ab=b*e。所以，在*的运算表中不可能有两行或两列是相同的。 该定理容易理解，因为幺元所在的行、列均与表头相同，所以不会出现两行（列）元素完全相同的情况。 现在学习的是第14页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.5】 S=a,b,c,*运算的定义如表6

9、.1.1所示，判断S,*的代数结构？ 解 （1）*是S上的二元运算，因为*运算关于S集合封闭。 （2）从运算表中可看出a,b,c均为左幺元 （3）x,y,zS,有 x*(y*z)=x*z=z (x*y)*z=x*z=z现在学习的是第15页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表 6.1.1 现在学习的是第16页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.6】 Z4,+4,Z4=0，1，2，3=Z/R(R是Z上的模4同余关系)，Z4上运算+4，定义为m，nZ4， m+4n=(m+n)(mod4)，它由表6.1.2给出。判断Z4,+4的代数结构

10、。现在学习的是第17页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 解 （1）+4运算显然封闭。 （2）由+4的定义可知+4可结合。 （3）从运算表中可知0是幺元，所以Z4,+4是独异点。但在该表中没有任意两行（列）元素完全相同。 半群及独异点的下列性质是明显的。 现在学习的是第18页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表 6.1.2 现在学习的是第19页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.3 设S，*,T，。是半群,f为S到T的同态,这时称f为半群同态。对半群同态有 （1）同态象f(S)，为一半群。 （2）当S，

11、*为独异点时，则f(S)， 。 为一独异点。 利用上一章的知识立刻可以得到这些结论。 独异点中含有幺元。前面曾提到，对于含有幺元的运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，这一点引出了一个特殊的独异点群。 现在学习的是第20页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.5 如果代数系统G，*满足 （1）G，*为一半群； （2）G，*中有幺元e； （3）G，*中每一元素xG都有逆元x-1， 则称代数系统G，*为群（groups）。或者说，群是每个元素都可逆的独异点。群的基集常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群。 现在学习的是第21页，共185页第第6章章

12、几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.7】 （1） Z,+（整数集与数加运算）为一群（加群）,数0为其幺元。Z,不是群。因为除幺元1外所有整数都没有逆元。 （2）N4,4为一4阶群,数0为其么元。 （3）A,P(A),是半群，幺元为，非空集合无逆元，所以不是群。 (4)A,P(A),是半群，幺元为A，非空集合无逆元，所以不是群。现在学习的是第22页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 (5)A,P(A),的幺元为，SP(A),S的逆元是S，所以是群。 (6)Q+,（正有理数与数乘）为一群，1为其么元。Q,不是群，因为数0无逆元。 因为零元无逆元，所以含有零元

13、的代数系统就不会是群。现在学习的是第23页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.8】 设g=a,b,c,d,*为G上的二元运算，它由表6.1.3给出,不难证明G是一个群。且e是G中的幺元；G中任何元素的逆元就是它自己，在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，这个群称为klein四元群。 现在学习的是第24页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表 6.1.3 现在学习的是第25页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.9】 设G,*是一个独异点,并且每个元素都有右逆元,证明G,

14、*为群。 证明 设e是G,*中的幺元。每个元素都有右逆元，即xG，yG使得x*y=e，而对于此y，又zG使得y*z=e。由于xG均有x*e=e*x=e，因此 z=e*z=x*y*z=x*e=x 即 x*y=e=y*z=y*x=e 现在学习的是第26页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 y既是x的右逆元，又是x的左逆元，故xG均有逆元，G,*为群。对群G，*的任意元素a,我们可以同半群一样来定义它的幂：a0=e，对任何正整数n，an+1=an*a，群的幂运算有下列性质：现在学习的是第27页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.4 对群

15、G，*的任意元素a,b，有（1）(a-1)-1a（2）(a*b)-1b-1*a-1（3）(an)-1=(a-1)n（记为a-n）（n为整数）现在学习的是第28页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明 （1）因为a-1的逆元是a，即a*a-1=a-1*a=e，所以 (a-1)-1a。（2）因为 (a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e (b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e 所以a*b的逆元为b-1*a-1，即(a*b)-1b-1*a-1。现在学习的是第29页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （

16、3）对n进行归纳。群首先是独异点，所以 a n+1=an*a。n=1时命题显然真。设n=k时(a-1)k是ak的逆元为真,即(ak)-1=(a-1)k，那么 ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k ak*(a-1)k=e (a-1)k+1*ak+1=(a-1)k*(a-1*a)*ak (a-1)k*ak=e 故ak+1的逆元为(a-1)k+1，即(ak+1)-1=(a-1)k+1。归纳完成,得证。 现在学习的是第30页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.5 对群G，*的任意元素a,b，及任何整数m， n,有 （1）am*an=am+

17、n （2）(am）n=amn 证明留给读者。 群的下列性质是明显的。现在学习的是第31页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.6 设G，*为群，则（1）G有唯一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元。（2）方程a*xb，y*ab都有解且有唯一解。（3）当Ge时,G无零元。现在学习的是第32页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （1）结论是十分明显的。 (2)先证a-1*b是方程a*xb的解。将a-1*b代入方程左边的x，得 a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b 所以a-1*b是该方程的解。下面证明唯一性。 假设c是方程a*x

18、b的解，必有a*c=b,从而有 c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*b 唯一性得证。同理可证b-1*a是方程y*ab的唯一解。 （3）若G有零元,那么由定理5.1.5知它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G=e时,e既是幺元，又是零元。）现在学习的是第33页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.7 设G，*为群，则G的所有元素都是可约的。因此，群中适合消去律，即对任意a,x,yS a*x=a*y 蕴涵 x=y x*a=y*a 蕴涵 x=y现在学习的是第34页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.6 设

19、G为有限集合时，称G为有限群（finitegroup）,此时G的元素个数也称G的阶数（order）；否则，称G为无限群（infinitegroup）。 由定理6.1.7可知，特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列。对于有限群，运算可用表给出,称为群表。从而有限群G，*的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的。因此，当G分别为1，2，3阶群时,*运算都只有一个定义方式(即不计元素记号的不同,只有一张定义*运算的运算表,分别如表6.1.4、6.1.5和6.1.6所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个。现在学习的是第35页，共185页第第6章章 几个

20、典型的代数系统几个典型的代数系统 表 6.1.4 *eee 表 6.1.5 * e aea e a a e现在学习的是第36页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表 6.1.6 现在学习的是第37页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.10】 设G,*为有限独异点,适合消去律,证明G,*为群。 证明 设e是G,*中的幺元。由G,*适合消去律，即a，b，cG均有 a*b=a*cb=c b*a=c*ab=c 又由于G,*为有限独异点，所以aG，n I+使得 an=ea*an-1=e=an-1*a 故aG，an-1G是a的逆元，故G,*为

21、群。现在学习的是第38页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.8 设G，*为群，则幺元是G的唯一的幂等元素。 证明 设G中有幂等元x，那么x*x=x，又x=x*e，所以x*x=x*e。 由定理6.1.7得x=e。故得证。 设G，*为群,如果我们用aG和Ga分别表示下列集合 aG=a*g|gG Ga=g*a|gG 那么我们有以下定理。现在学习的是第39页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.9 设G，*为一群,a为G中任意元素，那么aG=G=Ga。 特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列

22、。 证明 aGG是显然的。 设gG，那么a-1*gG，从而a*(a-1*g)aG， 即gaG。因此GGa。aG=G得证。Ga=G同理可证。 现在学习的是第40页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.11】 设g=a,b,c,d,*为G上的二元运算，它由表6.1.7给出,不难证明G是一个群，且e是G中的幺元；G中元素b的逆元就是它自己，a与c互逆。在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，这是除了klein四元群外的另一个四阶群。对群还可以引入元素的阶的概念。 现在学习的是第41页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系

23、统 表 6.1.7 现在学习的是第42页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.7 设G，*为群，aG，满足等式an=e的最小正整数n称为a的阶(order)，记作|a|=n。若不存在这样的正整数n,称a是无限阶。 【例6.1.12】 (1)任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。 (2)Z,+中幺元0的阶为1，而整数a=10时,a有无限阶。 (3)Z4,+4中1的阶是4,2的阶是2,3的阶是4。 关于元素的阶有以下性质。现在学习的是第43页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.10 有限群G的每个元素都有有限阶,且

24、其阶数不超过群G的阶数|G|。 证明 设a为G的任一元素,考虑e=a0,a1,a2,a|G|这|G|+1个G中元素，由于G中只有|G|个元素,由鸽巢原理，它们中至少有两个是同一元素,不妨设 as=at 0st|G| 于是at-s=e,因此a有有限阶,且其阶数至多是t-s,不超过群G的阶数|G|。现在学习的是第44页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.11 设G，*为群,G中元素a的阶为r,那么,an=e当且仅当r整除n。 证明 先证充分性。 设are，r整除n，那么设n=kr（k为整数），因为are，所以an=akr=(ar)k=er=e。再证必要性。 设

25、ane，n=mrk，其中m为n除以r的商，k为余数，因此0kr。于是 eanamr+kamr*akak 因此,由r的最小性得k=0，r整除n。 现在学习的是第45页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 理6.1.12 设G，*为群，a为G中任一元素，那么|a|=|a-1|。 证明 设a的阶为n,由(a-1)n=(an)-1=e-1=e,可知a-1的阶是存在的。只要证a具有阶n当且仅当a-1具有阶n。由于逆元是相互的，即(a-1)-1a，因此只需证：当a具有阶n时，a-1也具有阶n。 设a的阶是n，a-1的阶是t。由于 (a-1)n(an)-1e-1e，故tn。又因为 a

26、t(a-1)t)-1e-1e，故nt。因此， nt,即|a|=|a-1|。 现在学习的是第46页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.13】 设G是n阶有限群，证明： （1）G中阶大于2的元素个数一定是偶数； （2）若n是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数。 证明 （1）设A=x|xG，x的阶大于2，则aA， a-1a，否则a2=e与aA矛盾。 因为a与a-1的阶相同，且a-1相对于a是唯一的，所以aA，a-1与a成对出现，故G中阶大于2的元素个数一定是偶数。现在学习的是第47页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （2）当n是

27、偶数时，因为G中阶大于2的元素个数一定是偶数，所以G中阶小于等于2的元素个数是偶数，由于阶为1的元素是唯一的幺元e，因此G中阶等于2的元素一定是奇数。现在学习的是第48页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.8 设G，*为一群。若*运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abelgroup）。阿贝尔群又称加群，常表示为G，+（这里的+不是数加，而泛指可交换二元运算，*常被称为乘）。加群的幺元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元。 如 I,+（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）。 Q,+，R,+C,+均为交换群。Q+,（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为

28、其幺元。N4,4为一4阶阿贝尔群。现在学习的是第49页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.13 设G，*为一个群，G，*为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,yG,有（x*y）*(x*y)=(x*x)*(y*y)。 证明 先证必要性。 设G，*为阿贝尔群，这对于任意的x,yG，有（x*y）=(y*x)，所以 (x*x)*(y*y)=x*（x*y)*y=x*（y*x)*y=（x*y）*(x*y) 再证充分性。现在学习的是第50页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 设对于任意的x,yG，有 （x*y）*(x*y)=(x*x)*(y*y)

29、。因为 x*（x*y)*y=(x*x)*(y*y)=（x*y）*(x*y)=x*（y*x)*y 由消去律可得 （x*y）=(y*x) 所以G，*为阿贝尔群。 现在学习的是第51页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.2 子子 群群 定义6.2.1 设G，*为群，H ,如果H，*为G的子代数，且H，*为一群，则称H，*为G的子群(subgroups)，记作HG。现在学习的是第52页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.2.1】 Z,+是Q,+的子群；Q,+是R,+的子群；R,+是C,+的子群。 【例6.2.2】 EI,E为偶数集。那么E

30、,+为I,+的子群；M I, M为奇数集,但M,+不是I,+的子群。 显然,对任何群G,e，*及G，*均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群。现在学习的是第53页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 子群有下列特性 定理6.2.1 设G，*为群，那么H，*为 G，*的子群的充分必要条件是 （1）G的幺元eH。 （2）若a，bH，则a*bH。 （3）若aH，则a-1H。现在学习的是第54页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明 先证必要性。设H为子群。 （1）设H，*的幺元为e,对于任意xSG,那么e*x=x=e*x。

31、由于在G中满足消去律,故e=e,eH得证。 （2）是显然的（因H为子代数）。 （3）设H，*中任一元素a在H中逆元为b,那么a*b=b*a=e,因为HG,所以a,bG由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b=a-1H。现在学习的是第55页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 充分性是明显的。事实上只要条件（2）、（3）便可使H，*为G，*的子群,因为H不空时条件（2）、（3）蕴涵条件（1），因此，可用（2）、（3）来判别非空子集H是否构成G的子群H，*。 对于有限群,子群的判别更为简单。现在学习的是第56页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统

32、定理6.2.2 设G，*为群,H为G的非空有限子集，且H对*运算封闭,那么H，*为G，*的子群。 证明 由于H为有限集,设|H|=k,aH。考虑 a1,a2,ak+1, 它们都在H中(H对*运算封闭),由鸽巢原理，因此必定有ai=aj(0ijk+1),从而aj-i=e,故eH。现在学习的是第57页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 若H=e,H，*为G的子群得证。 若He,设a为H中任意一个不同于e的元素。同上可证,有r2使ar=e,从而有 ar=a*ar-1=ar-1*a=e 因此,a-1=ar-1H。 据定理6.2.1,H，*为G的子群得证。 现在学习的是第58页

33、，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.2.3 设G，*为群，H是G的非空子集，那么H，*为G，*的子群的充分必要条件是a，bH有a*b-1H。 证明 先证必要性。 任取a,bH,由于H是G的子群，必有b-1H,所以a*b-1H。 现在学习的是第59页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 再证充分性。 因为H非空，必存在aH(取b=a)，由已知条件有a*a-1H，即eH。 任取aH,由e,aH有e*a-1H,即a-1H。 任取a,bH,则b-1H,由已知条件有a*(b-1)-1H，即abH。 据定理6.2.1,H，*为G的子群得证。 现在学

34、习的是第60页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.2.3】 Klein四元群，e,*,e,a,*,e,b,*,e,c,*均是其子群。 【例6.2.4】 设G为群，aG,令H=ak|k Z,即a的所有的幂构成的集合，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作a。a称为生成元(generater)。 证明 因为aa，所以a。任取 am,a1a,有 am(a1)-1=ama-1=am-la 由定理6.2.3可知aG。现在学习的是第61页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.2.5】 Z,+除0=0外，子群都是无限阶。 1=0,1,-1,

35、2,-2,=Z,称1是 Z的生成元。 2=0,2,-2,4,-4,=2k|k Z=2Z 【例6.2.6】 设G,*是群，对任一个aG，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即 C=y|y*a=a*y，yG 则C,*是G的子群，称为G的中心。现在学习的是第62页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明 由e与G中所有元素可交换可知eC。C是G的非空子集。 由y*a=a*y可得y=a*y*a-1，因此x，yC，因为 x*y-1=（a*x*a-1）*（a*y-1*a-1）=a*x*y-1*a-1 因此 x*y-1*a=a*x*y-1 所以x*y-1H，故C,*是G

36、的子群。现在学习的是第63页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.3 循环群和置换群循环群和置换群 在这一节里我们要介绍两种重要的群循环群和置换群。 定义6.3.1 如果G为群，且G中存在元素a,使G以a为生成元，称G，*为循环群(cyclicgroup)，即G的任何元素都可表示为a的幂（约定e=a0）。 现在学习的是第64页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.1】 （1）Z,+为循环群，1或（l）为其生成元。 （2）令A=2i|iI，那么A,(为普通的数乘)是循环群，2是生成元。 （3）Z8,+8为循环群，1，3都可以是生成元

37、。 （4） 1|,01n zn(为矩阵乘法)，幺元为1001因为 111010101nmmn ,所以逆元为 1110101nn，生成元为 1001现在学习的是第65页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.1 设G，*为循环群，a为生成元，则G为阿贝尔群。 证明 对于任意的x,yG,必有s,tZ使得x=as,y=at，所以 x*y=as*at=as+t=at+s=at*as=y*x 所以，G，*为阿贝尔群。 定理6.3.2 G为由a生成的有限循环群，则有 G=e，a，a2,，an-1 其中n=|G|，也是a的阶从而n阶循环群必同构于Zn,n。现在学习的是第66

38、页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明 由于G为有限群,a有有限阶，设为k，k|G|=n。易证e，a，a2,，ak-1为G的子群（只要证其每一元素ai有逆元ak-i）。现证 Ge，a，a2,，ak-1 从而知n=k，G=e，a，a2,，an-1。现在学习的是第67页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 设有amG，但ame，a，a2,，ak-1。令m=pk+q，其中p为k除m的商,q为余数，0qk，于是 am=apk+q=apk*aq=aq 这就是说aqe，a，a2,，ak-1，0qk，产生矛盾。因此G=e，a，a2,，ak-1,命题得证。

39、现在学习的是第68页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.3 设G，*为无限循环群且G=a，则G只有两个生成元a和a-1,且G，*同构于Z,+。 证明 首先证明a-1是其生成元，因为 a-1G,须证Ga-1，设akG,因为 ak=（a-1）-k，G=a-1。现在学习的是第69页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 再证明G只有两个生成元a和a-1。假设b是G的生成元，则G=b,由aG可知存在整数s使得a=bs,又由bG可知存在整数t使得b=at,有 a=bs=(at)s=ats 由消去律得 a ts-1=e 因为G，*为无限循环群，所

40、以ts-1=0,从而有t=s=1或t=s=-1。因此b=a或b=a-1。现在学习的是第70页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 上面定理6.3.2和定理6.3.3告诉我们，循环群本质上只有两种，一种同构于Z,+，另一种同构于Zn,+，弄清了Z,+与Zn,+，也就弄清了所有无限的和有限的循环群。现在学习的是第71页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.4 循环群的子群都是循环群。 证明 设G，*为a生成的循环群，H，*为其子群。当然，H中元素均可表示为ar形。 （1）若He=e,显然H为循环群。 （2）若He，那么H中有ak(k0)。

41、由于H为子群，H中必还有a-k，因此，不失一般性，可设k为正整数，并且它是H中元素的最小正整数指数。现证H为ak生成的循环群。现在学习的是第72页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 设am为H中任一元素令mpk+q，其中p为k除m的商，q为余数，0qk。于是 am=apk+qapk*aq aq=a-pk*am 由于am,a-pkH（因apkH），故aqH，根据k的最小性，q0，从而am=gpk=(ak)p，H为循环群得证。根据上述定理，立即可以推得以下定理。现在学习的是第73页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.5 设G，*为a生

42、成的循环群。 （1）若G为无限群，则G有无限多个子群，它们分别由a0,a1,a2,a3,生成。 （2）若G为有限群，|G|n，且n有因子k1,k2,k3,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由ak1,ak2,ak3,生成。 现在学习的是第74页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.2】 Z，有循环子群： 0,，2Z,，3Z,， 4Z,，Z， 下面考虑置换群。 定义6.3.2 任意集合A上的双射函数称为变换。对任意集合A定义集合G，即A,G=f|f是A上的变换，。为函数的复合运算，G,。是群，称为A的全变换群，记作SA,SA的子群称为A的变换群。 现在学习的是

43、第75页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.3】 平面上全体平移组成一个变换群。 解 设 1：+1（一个双射函数）， 2：+2，则2。1：+（1+2）,。封闭。 e：是幺元。1的逆元为-11：-1。所以平面上全体平移组成一个变换群。现在学习的是第76页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.6 每个群均同构于一个变换群。 证明 设G，*为任一群,对G中每一元素a，定义双射函数fa:GG如下: fa（x）a*x 显然fa为双射，令 F=fa|aG现在学习的是第77页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统

44、 下证F,。为群（。为函数复合运算）。 （1）F对。运算封闭。 设faF，fbF,那么aG，bG。考虑fa。fb：对任意xG，有 fa。fb（x）fa(fb(x)a*b*xfab（x） 即fa。fbfab。由于a*bG，fabF,故fa。fbF。现在学习的是第78页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （2）。运算显然满足结合律。 （3）。运算有幺元feF。e为群G的幺元。 （4）F中每一元素fa均有逆元fa-1。 现在学习的是第79页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.4】 设A=1,2,3,A上有6个置换： 1234561231

45、23123123213321123123123132231312 一般地，A=a1，a2，an时，A上有n!个置换。置换满足(ai)aji时，可表示为1212njjjnaaaaaa现在学习的是第80页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 置换的合成运算通常用记号。表示之，对置换的独特表示形式计算它们的合成时，可像计算两个关系的合成那样来进行。例如：53123123123231321213 因此,应当注意 (i。j)(x)=j(i(x)现在学习的是第81页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 对于置换的复合运算而言，A上的全体置换中有幺元恒等函数,

46、又称幺置换，且每一置换都有逆置换，因此置换全体构成一个群。 定义6.3.4 将n个元素的集合A上的置换全体记为Sn，那么称群Sn,。为n次对称群（symmetricgroup），它的子群又称为n次置换群（permutationgroup）。 现在学习的是第82页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.5】 令A=1,2,3,4,S4=|为A上置换，因此，S4,。为四次对称群。解 012345671234123412342341123412343412412312341234432121431234123414323214现在学习的是第83页，共185页第第6章

47、章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表 6.3.1 现在学习的是第84页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.3.5 设是S=1,2,n上的n元置换。若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=i1且保持S中的其它元素不变，则称为S上的k阶轮换，记作（i1,i2,ik）。若k=2,这时也称为S上的对换。 下面介绍置换的轮换表示。 设置换为 1234567836547218其轮换表示为 =（1357）（26）（4）（8） 现在学习的是第85页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 轮换有下面性质： (1)每个置换均可

48、写成一些轮换的乘积，使得不同轮换中没有公共元素。例如，1234567(1)(23)(456)(7)1325647 长度为1的轮换往往忽略不写，即上式通常记为（23）（456）。 (2)同一置换中任何不相交轮换可交换，因为不同轮换中没有公共元素，这些轮换的次序可任意改变。如上式（23）（456）=（456）（23）。现在学习的是第86页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 (3)如果不计这种次序，每个置换可唯一表成没有公共元素的一些轮换之积。 (4)每个轮换可表成一些对换之积。例如（1，2，3，n）=(1n)(1n-1)(13)(12),所以每个置换中可表成有限个对换之积

49、。这种表达式（甚至对换的个数）显然不唯一。但是，同一个置换以多种方式表成对换之积时，其所含对换个数的奇偶性是不变的。表成奇（偶）数个对换之积的置换叫做奇（偶）置换。显然，两个奇置换或两个偶置换之积是偶置换，一个奇置换与一个偶置换之积是奇置换。现在学习的是第87页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理 定义6.4.1 设G，*为群，A,BG,且A,B非空，则AB=a*baA,bB称为A,B的乘积。 【例6.4.1】 设S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132), A=(1),(12),B=(123),(1

50、3),求AB,BA。 解 AB=（123），（13），（12）（123），（12）（13）=（123），（13）现在学习的是第88页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 BA=（123），（13），（123）(12），（13） （12）=（123），（13）,(23),(132) 一般地，|AB|A|B|,当G可交换，则AB=BA。当A=a时，aB=aB。乘积的性质：设G，*为群，A,B,CG,且A,B,C非空,则现在学习的是第89页，共185页第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （1）（AB）C=A(BC)（因为群中所有元素都满足结合律）。 （2）eA=