函数极限 (2)课件.ppt

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1、关于函数极限(2)现在学习的是第1页，共44页一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放现在学习的是第2页，共44页问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 问题问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无无限接近限接近”.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程

2、表表示示 xXx现在学习的是第3页，共44页:.1 定定义义定定义义 1 1 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数(不不论论它它多多么么小小),总总存存在在着着正正数数X,使使得得对对于于适适合合不不等等式式Xx 的的一一切切 x,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(,那那末末常常数数A就就叫叫函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限,记记作作 )()()(lim xAxfAxfx当当或或 定义定义X Axfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当现在学习的是第4页，共44页2.另两种情形另两种情形:.10情形情形xAxfx)(l

3、im.)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且现在学习的是第5页，共44页3.几何解释几何解释:xxysin AXX.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXx现在学习的是第6页，共44页例例1 证明证明21121lim xxx证证|12|12321121 xxx x故不妨设故不妨设|x|1，而当而当|x|1时时|1|2|12|xxx|12|

4、12321121 xxx|3|123xx 0 21121xx要要使使同时成立同时成立和和只须只须 3|1|xx现在学习的是第7页，共44页3,1max X令令时，便有时，便有则当则当Xx|12|12321121 xxx|3x21121lim xxn.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 现在学习的是第8页，共44页二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子先看一个例子的变化趋势的变化趋势函数函数时时考察考察1)1(2)(,12 xxxfx 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从

5、它的图形无定义，但从它的图形上可见，当点从上可见，当点从1的左侧的左侧或右侧无限地接近于或右侧无限地接近于1时，时，f(x)的值无限地接近于的值无限地接近于4，我们称常数我们称常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo4现在学习的是第9页，共44页问问题题:函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 现在学习的是第10页，共44页

6、:.1 定义定义定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都都 满足不等式满足不等式 Axf)(,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,记作记作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 定定义义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当现在学习的是第11页，共44页注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，2

7、0。正数。正数，30。不等式。不等式)|0(|)(|0 xxAxf定义中定义中|00 xx0 xx 表表示示所以所以x x0时时，f(x)有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状态处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在在x0附近附近的变化趋势，即的变化趋势，即 x x0时时f(x)变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x)在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定。约定x x0但但 xx0现在学习的是第12页，共44页0反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于，对一固定的对一固定的而言，合乎定义要求的

8、而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式|f(x)A|来选定，来选定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小2.几何解释几何解释:.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx0 xAAA0 x0 x)(xfy xyo.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 现在学习的是第13页，共44页例例2 证明证明5)13(lim2 xx证证|2|3|5)(|xxf|2|3|5)(|xxf要要使使3|2|x只须只须于是于是0 )3(时时当当|2|0 x恒有恒有|5)(

9、|xf5)13(lim2 xx例例3 设设x00 证明证明00limxxxx 现在学习的是第14页，共44页证证000|xxxxxx 00|xxx 000|,|xxxxx 只只须须为为使使0 ,min00 xx 取取时时当当|00 xx恒有恒有 000|xxxxx例例4 证明证明)1(1lim0 aaxx证证0 （不妨设（不妨设1）|1|xa要使要使现在学习的是第15页，共44页 11xa只只须须)1(log)1(log aax又又只只须须)1(log,11minlog aa令令时时当当|0 x)1(log11log aax 11xa|1|xa即即1lim0 xxa现在学习的是第16页，共44

10、页例例5 证明证明2121lim1 xxx证证|12|1|32121 xxxx不妨设不妨设41|1|0 x|)1(21|12|xx|1|21 x214121|1|6|12|1|32121 xxxxx故故0 6,41min 取取现在学习的是第17页，共44页有有时时当当,|1|0 x 2121xx2121lim1 xxx注注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x)A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问的附近考察问题的，对于题的，对于“附

11、近附近”应如何理解，请揣摩一下。应如何理解，请揣摩一下。现在学习的是第18页，共44页3.单侧极限单侧极限:例如例如,.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设yox1xy 112 xy两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;00 xx记记作作现在学习的是第19页，共44页左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.

12、)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作000:000 xxxxxxxxx注注意意现在学习的是第20页，共44页.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理例例6.lim0不不存存在在验验证证xxx证证xxxxxx 00limlim1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfxyx11 o现在学习的是第21页，共44页三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性定定理理 若若在在某某个个过过程程下下,)(xf有有极极限限,则则存存在在过过程程的的

13、一一个个时时刻刻,在在此此时时刻刻以以后后)(xf有有界界.2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一.3.不等式性质（局部）不等式性质（局部）定理定理(保序性保序性).),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设现在学习的是第22页，共44页推论推论).()(),(,0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设定理定理(保号性保号性).0)(0)(,),(,0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若推论推

14、论).0(0),0)(0)(,),(,0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若现在学习的是第23页，共44页4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义 .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时的子列时的子列当当为函数为函数即即则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列中中或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定理定理.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若现在学习的是第

15、24页，共44页证证Axfxx)(lim0.)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当,lim00 xxxxnnn 且且又又.0,0,00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)(Axfn从而有从而有.)(limAxfnx 故故现在学习的是第25页，共44页例如例如,1sinlim0 xxxxxysin,11sinlim nnn,11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在存在,且相等且相等.Heine定理，又称定理，又称归

16、并原则归并原则现在学习的是第26页，共44页即即AxfaxaxxAxfnnnnnax )(lim,)(lim证明证明设设Axfax)(lim即即时时使使当当|0,00 xx恒有恒有|)(|Axf再由再由axnn lim则对上述则对上述,0N 时时使使当当Nn 有有|axn又又axn|0axn故故|)(|AxfnAxfnn )(lim现在学习的是第27页，共44页设对设对axaxxnnn ,都有都有Axfnn )(lim要证要证Axfax)(lim用反证法用反证法若若Axfax)(lim即即满满足足，都都有有使使对对 x 0|0 xx但但0|)(|Axf现取现取n1 有有nx满足满足naxn1|

17、0 即即axaxnn ,但但0|)(|Axfn此与此与Axfnn )(lim矛盾矛盾Axfax)(lim现在学习的是第28页，共44页例例7.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证xy1sin ,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n,1 二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx现在学习的是第29页，共44页四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx

18、 ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)现在学习的是第30页，共44页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(现在学习的是第31页，共44页思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的

19、的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？现在学习的是第32页，共44页思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.现在学习的是第33页，共44页练练 习习 题题.01.01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证

20、证明明：二二、用用函函数数极极限限的的定定义义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、现在学习的是第34页，共44页.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存在存在时的极限是否时的极限是否在在四、讨论：函数四、讨论：函数 xxxx 现在学习的是第35页，共44页练习题答案练习题答案一、一、1 1、0.00020.0002；2 2、397.四、不存在四、不存在.现在学习的是第36页，共44页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx现在学习的是第37页，共44页现在学习的是第38页，共44页现在学习的是第39页，共44页现在学习的是第40页，共44页现在学习的是第41页，共44页现在学习的是第42页，共44页现在学习的是第43页，共44页感谢大家观看感谢大家观看9/4/2022现在学习的是第44页，共44页