函数的极限课件.ppt

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1、关于函数的极限现在学习的是第1页，共54页数数列列极极限限:在自变量n无限增大的过程中,对应的函数值nu无限趋近于确定值 A.函函数数极极限限:在自变量 x的某个无限变化过程中,对应的函数值)(xf无限趋近于确定值 A.自变量无限变化的过程有如下几种形式：xx 无限增大，记为一、xxx无限增大，记为且01 xxx无限增大，记为且0200 xxxx，记为无限接近某定值二、0001xxxxxx，记为且 0002xxxxxx，记为且现在学习的是第2页，共54页考虑种自变量的连续变化过程：x x-x x x0 xx0+xx0-中函数极限的定义。现在学习的是第3页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势

2、势当当观观察察函函数数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第4页，共54页问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(可任意小表示AxfAxf .的过程中表示 xGx.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.现在学习的是第5页，共54页定定义义1 1 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数(不不论论它它多多么么小小),总总存存在

3、在着着正正数数G,使使得得对对于于适适合合不不等等式式Gx 的的一一切切x,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(,那那末末常常数数A就就叫叫函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限,记记作作 )()()(lim xAxfAxfx当当或或 :.1 定定义义定定义义G .)(,0,0 AxfGxG恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim现在学习的是第6页，共54页:.10情形情形x.)(,0,0 AxfGxG恒有时使当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfGxG恒有时使当Axfx)(lim2.另两种情形另两种情形:Axfx)(lim.)(li

4、m)(limAxfAxfxx 且且现在学习的是第7页，共54页xxysin 3.几何解释几何解释:G G.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当 AyxfyGxGx A现在学习的是第8页，共54页axfnfxZxxnnn )(lim )(limlim,由由几何解释 y a-y=f(x)a a-O X x 即 a x+时，曲线 y=f(x)有水平渐进线水平渐进线 y=a.)(limxfx 现在学习的是第9页，共54页 几何解释 y a -X O x即 a x-时，曲线 y=f(x)有水平渐进线 y=a。)(limxfx )(limxfx时关系：关系：axfx )(lim

5、)(lim xfx )(limaxfx现在学习的是第10页，共54页例例1.0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 1,1 xx即即只需要只需要,0 ,1 G取时恒有则当Gx ,0sin xx.0sinlim xxx故故xxysin 0sinxx要要使使得得现在学习的是第11页，共54页例例2.1,0lim qqxx其其中中证证明明证证,0 任给任给,0 xxqq要使得：要使得：)0ln0(lnlnln,lnln qqxqx，。即即：只只需需：,lnlnqG 取,时则当Gx ,0 xq就就有有.0lim xxq典型极限典型极限0lim xxe典型极限典型极限10,0li

6、m qqxx其其中中现在学习的是第12页，共54页例例3.11lim2 xxx证明证明证证1111111)1(12222 xxxxxxx。，故不妨设因11,02 xxxx 111)1(122xxx，只只需需要要使使得得现在学习的是第13页，共54页,0 ,)2(1 G取时恒有则当Gx )2(1,11(1,111222 xxx故故）。)1(12xx原式成立原式成立现在学习的是第14页，共54页二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .

7、000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 现在学习的是第15页，共54页12()22xf xx考察时函数变化趋势(见图13-18)1.99,1.999,1.9999,2,()2.995,2.9995,2.99995,3;2,2.1,2.01,2.001,2.0001,2,()3.05,3.005,3.0005,3.000053xxf xxxf x 当从左侧无限接近于2时,若取时对应的函数从当从右侧无限接近于时若取时对应的函数从1,2,()22xf xx 由此可知当时函数的值无限接近于3.1 82()122xf

8、xx图 2 时,的 变 化 趋 势32O2122yxyx现在学习的是第16页，共54页定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的的一切一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,记作记作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 :.1 定义定义定定义义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当现在学习的是第17页，共54页2.几何解释几

9、何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 现在学习的是第18页，共54页几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo时时)(limxfxx0注意注意 极限是函数的极限是函数的局部局部性质。性质。axfxx)(lim0 )(lim0 xfxx

10、 )(lim0 xfxx现在学习的是第19页，共54页例例4).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf)(CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例5.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 现在学习的是第20页，共54页例例6.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf ,0 任给任给,0 x 取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00 xxx 只只要要.lim,

11、0:000 xxxxx 时时当当证明证明现在学习的是第21页，共54页例例7证证2sin2cos2sinsin000 xxxxxx ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx,sinsin0 xx要要使使.0 xx只只需需.sinsinlim:00 xxxx 证证明明22sin12cos000 xxxxxx ，且，且又又 0sinsinxx就有就有0sinsinlim:0 xxxx 故故是其定义区间内的点，是基本初等函数，若0)(xxf)()(lim00 xfxfxx 则有：现在学习的是第22页，共54页例例8.211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要

12、取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要要使使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx现在学习的是第23页，共54页例例9.4142lim22 xxx证证明明证证12221241224141422 xxxxxx,0 任给任给，取取12,1min ,00时时当当 xx,41422 xx要使要使,2422 xx就有就有。即即，故故不不妨妨假假设设因因为为31,122 xxx,122 x只只需需.4142lim22 xxx现在学习的是第24页，共54页时时，在在求求极极限限设设)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx 两两种种情情况况

13、分分别别讨讨论论。和和故故需需分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记记作作yox1xy 112 xy三、单侧极限是是分分段段函函数数的的分分段段点点，因因为为0 x现在学习的是第25页，共54页左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx 注注意意.)()(lim_00AxfAxfxx 或或记记作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作的极限的极限时函数时函数从左边趋向从左边趋向左极限

14、：左极限：)(0 xfxx的极限的极限时函数时函数从右边趋向从右边趋向右极限：右极限：)(0 xfxx现在学习的是第26页，共54页.)()()(lim0_00AxfxfAxfxx .lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例10证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x现在学习的是第27页，共54页例例11.2arctanlimxx证明证证,0 任给任给，取)2(tgG,时当Gx ,22 arctgxarctgx要要使使,2 arctgx即即2lim a

15、rctgxx).2(tgx故只需故只需证证毕毕。就就有有,2 arctgx2lim arctgxx典型极限典型极限现在学习的是第28页，共54页 例8:求 解:所以 不存在.同理:不存在.记住:均不存在.arctanlimxx,2arctanlim,2arctanlimxxxxxxarctanlim,cotlim,0cotlimxarcxarcxxxarcxcotlimxxxxcoslim,sinlim现在学习的是第29页，共54页。求极限求极限设设)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx 两两种种情情况况分分别别讨讨论论。和和故故需需分分00 xxyox1xy 112 xy是是分分段

16、段函函数数的的分分段段点点，因因为为0 x例例12解解.101)1(lim)(lim)0(00 xxffxx.110)1(lim)(lim)0(200 xxffxx.1)(lim,1)0()0(0 xfffx现在学习的是第30页，共54页例例13 1,210,0,1)(xxxbaxxxxf假设都都存存在在及及之之值值，使使得得、试试确确定定)(lim)(lim10 xfxfbaxx解解.110)1(lim)0(0 xfx.0)(lim)0(0bbbaxfx .1),0()0()(lim0 bffxfx存存在在得得：由由.1)(lim)1(1 ababaxfx.112)2(lim)1(1 xfx

17、。，故故存存在在得得：由由12.11),1()1()(lim1 baaffxfx现在学习的是第31页，共54页四、函数极限的性质1.惟一性惟一性的的。存存在在，则则极极限限值值是是惟惟一一若若)(limxf2.局部有界性局部有界性若在若在)(0 xfLimxx存在存在,则必存在则必存在0 x的一个去心邻的一个去心邻域域,使得函数使得函数)(xf在此邻域内有界。在此邻域内有界。现在学习的是第32页，共54页证证，则则对对于于给给定定的的正正数数假假设设1)(lim0 Axfxx时时，使使得得当当必必存存在在正正数数 00 xx,)()(.1)(AxfAxfAxf 又又有有 有有界界。邻邻域域内内

18、得得此此去去心心在在故故)(,1)(0 xfxAxf .)(,0,)(lim00同同号号与与使使得得在在此此邻邻域域内内个个去去心心邻邻域域的的一一则则必必存存在在且且若若AxfxAAxfxx 3.局部保号性局部保号性现在学习的是第33页，共54页证证，则则对对于于给给定定的的正正数数由由2)(lim0AAxfxx 时时，使使得得当当必必存存在在正正数数 00 xx为为半半为为中中心心，在在以以故故有有2)(.2)(AAxfAAxf 同同号号。与与去去心心邻邻域域内内径径的的邻邻域域内内，所所以以在在此此Axf)(推论推论1.2)(,0,)(lim00AxfxAAxfxx使得在此邻域内个去心邻

19、域的一则必存在且若现在学习的是第34页，共54页推论推论2 2,)(lim0Axfxx 若若.0,0)()1(0 Axfx则则的的某某去去心心邻邻域域内内若若在在.0,0)()2(0 Axfx则则的的某某去去心心邻邻域域内内若若在在，的的某某去去心心邻邻域域内内说说明明：即即使使在在0)(0 xfx。也也不不能能得得出出0 A，的的某某去去心心邻邻域域内内比比如如：在在0)(020 xxfx。但但0lim)(lim200 xxfxxx现在学习的是第35页，共54页海涅海涅(Haine)定理定理五、函数极限与数列极限的关系的的充充分分必必要要条条件件是是：Axfxx)(lim0 ，为极限的数列为

20、极限的数列对任何以对任何以)(00 xxxxnn Axfnn )(lim都都有有：现在学习的是第36页，共54页xy1sin 例例14.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且现在学习的是第37页，共54页 nxnnnsinlim1sinlim 但但,1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx,0 现在学习的是第38页，共54页六、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义)(;)(lim整标函数整标函数A

21、nfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)现在学习的是第39页，共54页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(现在学习的是第40页，共54页思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xx

22、xxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？现在学习的是第41页，共54页思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.现在学习的是第42页，共54页.01.01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时

23、，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练习练习现在学习的是第43页，共54页.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存在存在时的极限是否时的极限是否在在四、讨论：函数四、讨论：函数 xxxx 现在学习的是第44页，共54页一、一、1 1、0.00020.0002；2 2、397.四、不存在四、不存在.答案答案现在学习的是第45页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势

24、当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第46页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第47页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第48页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第49页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第50页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第51页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第52页，共54页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第53页，共54页感谢大家观看感谢大家观看2022-9-4现在学习的是第54页，共54页