实变函数与泛函分析.ppt

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1、现在学习的是第1页，共20页)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上连续，则)()()()(aFxFdttFRxal若F(x)在a,b上连续，则导数（切线斜率）xi-1 xi定积分（面积）现在学习的是第2页，共20页创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(-N,-语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）现在学习的是第3页，共20页外微分形式(整体微分几何)（微积分基本定理

2、如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）现在学习的是第4页，共20页(1)Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11现在学习的是第5页，共20页 f(x)在a,b上Riemann可积iniiTbaxMdxxf10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|:)(inf:)(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中：xi-1 xixi-1 xi现在学习的是第6页，共20页f(x)在a,

3、b上Riemann可积iniixT1,0，使得分划iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM:)(inf:)(sup11其中：xi-1 xi现在学习的是第7页，共20页 f(x)在a,b上Riemann可积注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积的总长度不超过的小区间，使得所有振幅分划，iiT,0iiiiiniixxxii1上的振幅在为其中,),(baffbaiixxfbaii),(xi-1 xi)(),(abfba现在学习的是第8页，共20页注：D(x)的下方图形可看成由0,1中每个有理点长出的单位线段组成。11iniixT，有分划1lim)(10|

4、iniiTbaxMdxxf上积分0lim)(10|iniiTbaxmdxxf下积分QxQxxD1,011,00)(0 1现在学习的是第9页，共20页()()()xaf t dtf xf a注：推荐大家看看龚升写的l话说微积分，简明微积分,l数学历史的启示（数学教学，2001.1）,l微积分严格化后(高等数学研究,2002,1-3）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；现在学习的是第10页，共20页例：设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作0,1上的函数列,3,2,1)(,1,1,00321321nxfnnrrrrxrrrrxnd

5、xxfdxxfnnbanban)(lim)(limQxQxnnxDxf1,011,00)()(lim则 fn(x)在a,b上Riemann可积,但不Riemann可积。现在学习的是第11页，共20页Riemann积分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xi为使f(x)在a,b上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)现在学习的是第12页，共20页1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积

6、”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度”现在学习的是第13页，共20页iniibamEdxxfL10,lim)()(取“极限”)(:1iiiyxfyxE取点集yiyi-1f(x)在 Ei上的振幅不会大于iniimEs1作和iiiyy1其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，Mxfmyyii)(,1其中Myyyymn210,0 作分划即：现在学习的是第14页，共20页对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：l假如我欠人家一笔钱

7、，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；l如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，高等理科教学，2000.1）即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-10 1现在学习的是第15页，共20页l(1)集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）；l(2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）；l(3)定义Lebesgue积分并研究其

8、性质（第五章 积分论）；第一章 集合，第二章 点集，第六章 微分与不定积分yiyi-1)(:1iiiyxfyxE现在学习的是第16页，共20页(1)Achilles追龟 问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一样，从而跑过的点的“个数”也一样。21111112222nnn0(甲)（乙）3/4 7/8 15/16 1甲的速度为1，乙的速度为1/2现在学习的是第17页，共20页 1,2,3,4,5,6,a1,a2,a3,a4,a5,a6,问下列情况是否能把新来的人安排下：1 又来了有限个人b1,b2,b3,，bn3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）4 又来了0,1个人2 每个人带一个亲戚b1,b2,b3,bn,现在学习的是第18页，共20页1 b1,b2,b3,bn,a1,a2,a3,1,2,3,4,5,6,a1,a2,a3,a4,a5,a6,4 不能安排进去（0,1是不可数集）2 b1,a1,b2,a2,b3,a3,3 a1,a2,a3,a4,a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,现在学习的是第19页，共20页9/4/2022感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第20页，共20页