函数的幂级数展开式的应用课件.ppt

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1、关于函数的幂级数展开式的应用关于函数的幂级数展开式的应用1现在学习的是第1页，共16页一、求极限 有些未定式的极限有些未定式的极限可以将极限过程中的主要、可以将极限过程中的主要、例例 求求30sinlimxxxx 00解解353030!51!31limsinlimxxxxxxxxxx ,0 x将将sinx展开为展开为x=0的幂级数的幂级数.这种方法的优点是这种方法的优点是:次要成份表示得非常清楚次要成份表示得非常清楚.可以用幂级数方法求出可以用幂级数方法求出.函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用 20!51!31limxx61!31 2现在学习的是第2页，共16页 由此例可看出由此

2、例可看出:这里这里,sinx与其等价无穷小与其等价无穷小x相差高阶无穷小相差高阶无穷小.!51!3153 xx这个高阶无穷小不能与分子这个高阶无穷小不能与分子 的的第一项第一项x 抵消抵消,它在极限中是起作用的它在极限中是起作用的.但如果将但如果将sinx用用x代换代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去了了,这显然是错误的这显然是错误的.函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用在求极限时在求极限时,为什么加、减项为什么加、减项的无穷小不能用其等价无穷小代换的无穷小不能用其等价无穷小代换.3现在学习的是第3页，共16页函数的幂级数展开式的应用函

3、数的幂级数展开式的应用二、函数值的近似计算二、函数值的近似计算用函数的幂级数展开式用函数的幂级数展开式,常用方法常用方法1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成为等比级使之成为等比级数或其它易求和的级数数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.可以在展开式有效可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值的区间内计算函数的近似值,而且可达到预先指而且可达到预先指定的精度要求定的精度要求.4现在学习的是第4页，共16页例例.10,5 使使其其误误差差不不超超过过的的近近似似值

4、值计计算算e解解,!1!2112 nxxnxxe,1 x令令,!1!2111ne 得得函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用余和余和:)2)(3(1211()!1(1 nnnn)!1(1 n!1nn 510!nn1111)!1(1 nn )!3(1)!2(1)!1(1nnnrn 1(11n 2)1(1n510 )5现在学习的是第5页，共16页322560!88 而而 e71828.2 510 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用!81!31!2111 用级数作近似计算时用级数作近似计算时,这样估计误差这样估计误差,常将其余和放大常将其余和放大为几何级数为几何级数.因此计算

5、量要小一些因此计算量要小一些.在一般情况下在一般情况下,泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好,6现在学习的是第6页，共16页例例.,9sin!3sin03并估计误差并估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用xxx 解解20sin9sin0 3)20(6120 52)20(!51 r5)2.0(1201 3000001 510 000646.0157079.09sin0 156433.0 其误差不超过其误差不超过 510 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用7现在学习的是第7页，共16页函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用三、积分的

6、近似计算三、积分的近似计算有些初等函数的原函数不能用初等函数有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿故其定积分就不能用牛顿-莱布尼茨莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能但如果这些函数在积分区间上能表示表示,公式计算公式计算.能展开成幂级数能展开成幂级数,性质来计算这些定积分性质来计算这些定积分.则可利用幂级数逐项积分则可利用幂级数逐项积分8现在学习的是第8页，共16页例例.10,dsin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算xxx 642!71!51!311sinxxxxx解解),(x !771!551!3311收敛的交错级数收敛的交错级数函数的幂级数展开式的应用函数的幂

7、级数展开式的应用被积函数被积函数xxsin的原函数不能用初等函数表示的原函数不能用初等函数表示.由于由于x=0是是xxsin的可去间断点的可去间断点,故定义故定义 0sinxxx这样这样被积函数在被积函数在0,1上上连续连续.展开展开,sinxx得得 10 xd 10 xd,1sinlim0 xxx9现在学习的是第9页，共16页第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得!551!3311dsin10 xxx9461.0 例例.10,dsin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算xxx函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用 !

8、771!551!3311dsin10 xxx10现在学习的是第10页，共16页复数项级数复数项级数)1()()()(2211 nnivuivuivu),3,2,1(,nvunn其中其中函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用四、欧拉四、欧拉(Euler)公式公式为实常数或实函数为实常数或实函数.若若,1 nnuu,1 nnvv则称级数则称级数)(1nnnivu 收敛收敛,且其和为且其和为.ivu 复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念若若 2222222121nnvuvuvu收敛收敛,则则,1 nnu 1nnv绝对收敛绝对收敛,称复数项级数称复数项级数(1)绝对收敛绝对收敛.

9、Euler(1707 1783)是瑞士数学家、物理学家是瑞士数学家、物理学家11现在学习的是第11页，共16页 !212nxxxenx )!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnn )!2()1(!4!21cos242nxxxxnn函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用 nixixnixixe)(!1)(!2112xixsincos xcosxsin三个基本展开式三个基本展开式)!2()1(!211(22 nxxnn)!12()1(!31(123 nxxxinn12现在学习的是第12页，共16页xixeixsincos ieexeexixixixix2sin2cosxix

10、eixsincos 又又 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系种关系.)sin(cosyiyeexiyx 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用欧拉欧拉(Euler)公式公式13现在学习的是第13页，共16页欧拉公式的证明欧拉公式的证明求极限求极限 (求未定式的极限求未定式的极限)函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用五、小结五、小结积分的近似计算积分的近似计算函数值的近似计算函数值的近似计算14现在学习的是第14页，共16页函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用思考题思考题计算计算.)1(sincos1lim34222260 xxxxxx 解解因为因为 xx22sincosnnnxn20)4()!2()1(8181 )!2()1(!4!21cos242nxxxxnnnnnxn211)4()!2(8)1(!684!48466442xxx 642453234xxx又又 3422)1(xx所以所以,92341 422 xxx 9245321lim6660 xxxx原原式式.4522)4cos1(81x x2sin412)1,1(x nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2 15现在学习的是第15页，共16页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第16页，共16页