定积分换元法.ppt

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1、6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分关于定积分换元法现在学习的是第1页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分()d()()dbaf xxfttt 换元公式换元公式(1)函数f(x)在a,b上连续;(2)x=(t)在,上导函数连续;(3)在,上 (t)单调,且 ()=a,()=b;若()()d()dbaftttfxx 则现在学习的是第2页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，()d()()baf xxF bF a ),()(tFt dd()ddFxtxt)()(txf ),

2、()(ttf ()()d()(),fttt )(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.现在学习的是第3页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.a)(、b)(,因为()()()()FF ),()(aFbF 所以()d()()()()baf xxF bF a ()()d.fttt 即有现在学习的是第4页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:将变量 x 换成变量 t 时,积分限也应相应的改变.积分变量积分下限积分上限xabt 现在学习的是第5页

3、，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分例例1 1 求积分解解:令228223000d3 d-113d111xttttttx 830d1xx 323,d3 dtx xtxtt2200d3(1)d1tttt 22013ln(1)3ln32ttt x08t02现在学习的是第6页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分例例2 2 求积分解解令令sin,dcos d,xatxat t 原式原式20coscos dat at t 220d (0)aaxxa /220sin222att 2201cos2d2tat 24a x0at0/2现在学习的是第7页，共

4、18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分证证00()d()d()d,aaaaf xxf xxf xx 例例3 3 设f(x)在-a,a上连续,且是偶函数,证明0()d2()daaaf xxf xx 中令 x=t,则有0()daf xx 在00000()d()d()d()d()daaaaaf xxfttfttf ttf xx 000()d()d()d2()daaaaaf xxf xxf xxf xx 现在学习的是第8页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分例例4 4 设f(x)在-a,a上连续,且是奇函数,证明()d0aaf xx 证证00()d()

5、d()d,aaaaf xxf xxf xx 中令 x=t,则有0()daf xx 在00000()d()d()d()d()daaaaaf xxfttfttf ttf xx 00()d()d()d0aaaaf xxf xxf xx 现在学习的是第9页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分例例5 5 求积分求积分121(23)d.xxx 解解11122111(23)d(3)d2 dxxxxxx x 121(3)d0 xx (2x 是奇函数)1312002(3)d233xxxx 11623033 现在学习的是第10页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分

6、定积分例例6 6 不计算积分值不计算积分值,比较比较解解:令x=(t+1),则 t=x 111201d2 d2xxxx 与与大小.x-2-1t10(1)102111dd(1)22xtxt (1)(1)011110011dd2d22tttttt 1111100002d22 d22 d2 dttxxttxx 11201d2 d2xxxx 现在学习的是第11页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分注意注意:换元一定要换限换元一定要换限定积分的换元法定积分的换元法()d()()dbafxxfttt 本节内容要点本节内容要点现在学习的是第12页，共18页6.5 定积分的换元积分

7、法第第6 6章章 定积分定积分1221(1)dxexx 2301(2)d11xxx 320(3)sincosdxxx 课堂练习21212cos(4)d.1xxxxx 现在学习的是第13页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分112222111(1)ddxxexexxx 课堂练习11221111ddxxeexx 121dtet x12t11/2111122dtteteee 现在学习的是第14页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分 2301(2)d11xxx 21,1,d2 dtxxtxt t x02t13 23330111d2 d11xt t

8、ttxx 3321112d2arctan12(arctan 3arctan1)ttt 2346 现在学习的是第15页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分320(3)sincosdxxx 课堂练习332200sincosdcosd(cos)xxxxx320cosd(cos)xx x0/2t1001133401011dd44ttttt 现在学习的是第16页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分奇函数奇函数21212cos(4)d.1xxxxx 原式原式21122112cosdd11xxxxxxx 偶函数偶函数21204d01xxx 2120114d1xxx 1120014d4d1xxx 1044arctan|44044x 现在学习的是第17页，共18页6.5 定积分的换元积分法第第6 6章章 定积分定积分感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第18页，共18页