高中数学 直线与方程(27页).doc

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1、-高中数学 直线与方程-第 27 页第三章直线与方程31直线的倾斜角与斜率311倾斜角与斜率【课时目标】1理解直线的倾斜角和斜率的概念2掌握求直线斜率的两种方法3了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素1倾斜角与斜率的概念定义 表示或记法倾斜角当直线l与x轴_时，我们取_作为基准，x轴_与直线l_之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0斜率直线l的倾斜角(90)的_ktan 2倾斜角与斜率的对应关系图示倾斜角(范围)0090_90180斜率(范围)0大于0斜率不存在小于0一、选择题1对于下列命题若是直线l的倾斜角，则0180；若k是直线的斜率，则kR

2、；任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D42斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(1，b)三点，则a、b的值为()Aa4，b0 Ba4，b3Ca4，b3 Da4，b33设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45 B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为1354直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角的取值范围是()A0，90 B90，180)C90，180)或0 D90，1355若图

3、中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k30 Bmn0，n0 Dm0，nbc0，则，的大小关系是_1利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意2三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|BC|AC|，也可断定A，B，C三点共线3斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形

4、象，会起到意想不到的效果第三章直线与方程31直线的倾斜角与斜率311倾斜角与斜率答案知识梳理1相交x轴正向向上方向正切值290作业设计1C正确2C由题意，得即解得a4，b33D因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为451801354C倾斜角的取值范围为0180，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴5D由图可知，k10，k30，且l2比l3的倾斜角大k1k30，且0，n0730或150或80920200解析因为直线的倾斜角的范围是0，180)，所以020180，解之可得20解析画出函数的草

5、图如图，可视为过原点直线的斜率312两条直线平行与垂直的判定【课时目标】1能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直2能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系1两条直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，有l1l2_(2)如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与_垂直，故l1_l22两条直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1l2_(2)如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是_一、选择题1有以下几种说法：(l1、l2

6、不重合)若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1l2；若直线l1l2，则它们的斜率互为负倒数；两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；只有斜率相等的两条直线才一定平行以上说法中正确的个数是()A1 B2 C3 D02以A(1,1)、B(2，1)、C(1,4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形3已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y0垂直，则m的值()A2 B1 C0 D14已知A(m,3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A1 B0 C0或2 D0或15若直

7、线l1、l2的倾斜角分别为1、2，且l1l2，则有()A1290 B2190C|21|90 D121806顺次连接A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)所构成的图形是()A平行四边形 B直角梯形C等腰梯形 D以上都不对二、填空题7如果直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为_8直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k23kb0的两根，若l1l2，则b_；若l1l2，则b_9已知直线l1的倾斜角为60，直线l2经过点A(1，)，B(2，2)，则直线l1，l2的位置关系是_三、解答题10已知ABC三个顶点坐标分别为A(2，4)，B(6,6)，C(0，6)，求此三角形

8、三边的高所在直线的斜率11已知ABC的顶点坐标为A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，试求m的值能力提升12已知ABC的顶点B(2,1)，C(6,3)，其垂心为H(3,2)，则其顶点A的坐标为_13已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两

9、直线平行312两条直线平行与垂直的判定 答案知识梳理1(1)k1k2(2)x轴2(1)k1k21(2)垂直作业设计1B正确，不正确，l1或l2可能斜率不存在2CkAB，kAC，kACkAB1，ABAC3B直线AB应与x轴垂直，A、B横坐标相同4D当AB与CD斜率均不存在时，m0，此时ABCD，当kABkCD时，m1，此时ABCD5C6BkABkDC，kADkBC，kADkAB1，故构成的图形为直角梯形7或不存在82解析若l1l2，则k1k21，b2若l1l2，则k1k2，98b0，b9平行或重合解析由题意可知直线l1的斜率k1tan 60，直线l2的斜率k2，因为k1k2，所以l1l2或l1，

10、l2重合10解由斜率公式可得kAB，kBC0，kAC5由kBC0知直线BCx轴，BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1kAB1，k2kAC1，即k11，k251，解得k1，k2BC边上的高所在直线斜率不存在；AB边上的高所在直线斜率为；AC边上的高所在直线斜率为11解kAB，kAC，kBCm1若ABAC，则有1，所以m7若ABBC，则有(m1)1，所以m3若ACBC，则有(m1)1，所以m2综上可知，所求m的值为7，2,312(19，62)解析设A(x，y)，ACBH，ABCH，且kBH，kCH，解得13解四边形ABCD是直角梯形，有2种情形：

11、(1)ABCD，ABAD，由图可知：A(2，1)(2)ADBC，ADAB，综上或32直线的方程321直线的点斜式方程【课时目标】1掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素2会求直线的点斜式方程与斜截式方程3了解斜截式与一次函数的关系1直线的点斜式方程和斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率k_斜率存在斜截式斜率k和在y轴上的截距b_存在斜率2对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，(1)l1l2_；(2)l1l2_一、选择题1方程yk(x2)表示()A通过点(2,0)的所有直线B通过点(2,0)的所有直线C通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D通过点(2

12、,0)且除去x轴的所有直线2已知直线的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则此直线方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx23直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()Ak0，b0 Bk0，b0Ck0 Dk0，b04直线yaxb和ybxa在同一坐标系中的图形可能是()5集合A直线的斜截式方程，B一次函数的解析式，则集合A、B间的关系是()AAB BBACAB D以上都不对6直线kxy13k0当k变化时，所有的直线恒过定点()A(1,3) B(1，3)C(3,1) D(3，1)二、填空题7将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为_8已知一条直线经过点P(1,2)

13、且与直线y2x3平行，则该直线的点斜式方程是_9下列四个结论：方程k与方程y2k(x1)可表示同一直线；直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90，则其方程是xx1；直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是yy1；所有的直线都有点斜式和斜截式方程正确的为_(填序号)三、解答题10写出下列直线的点斜式方程(1)经过点A(2,5)，且与直线y2x7平行；(2)经过点C(1，1)，且与x轴平行11已知ABC的三个顶点坐标分别是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程能力提升12已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成三角形的面积为3，求l的方程13等腰ABC的顶点A(

14、1,2)，AC的斜率为，点B(3,2)，求直线AC、BC及A的平分线所在直线方程1已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为xx0直线的斜截式方程ykxb是点斜式的特例2求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形32直线的方程321直线的点斜式方程答案知识梳理1yy0k(xx0)ykxb2(1)k1k2且b1b2(2)k1k21作业设计1C易验证直线

15、通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴2D直线的倾斜角为60，则其斜率为，利用斜截式直接写方程3B4D5B一次函数ykxb(k0)；直线的斜截式方程ykxb中k可以是0，所以BA6C直线kxy13k0变形为y1k(x3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)7yx解析直线y3x绕原点逆时针旋转90所得到的直线方程为yx，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y(x1)，即yx8y22(x1)910解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y52(x2)(2)由题意知，直线的斜率ktan 00，所以直线的点斜式方程为y(1)0，即y111解设BC边上的高为AD，则

16、BCAD，kADkBC1，kAD1，解得kADBC边上的高所在的直线方程为y0(x5)，即yx312解设直线l的方程为yxb，则x0时，yb；y0时，x6b由已知可得|b|6b|3，即6|b|26，b1故所求直线方程为yx1或yx113解直线AC的方程：yx2ABx轴，AC的倾斜角为60，BC的倾斜角为30或120当30时，BC方程为yx2，A平分线倾斜角为120，所在直线方程为yx2当120时，BC方程为yx23，A平分线倾斜角为30，所在直线方程为yx2322直线的两点式方程【课时目标】1掌握直线方程的两点式2掌握直线方程的截距式3进一步巩固截距的概念1直线方程的两点式和截距式名称已知条件

17、示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且ab0斜率存在且不为0，不过原点2线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则一、选择题1下列说法正确的是()A方程k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程B在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为1C直线ykxb与y轴的交点到原点的距离为bD不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式2一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A可以写成两点式或截距式B可以写

18、成两点式或斜截式或点斜式C可以写成点斜式或截距式D可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3直线1在y轴上的截距是()A|b| Bb2 Cb2 Db4在x、y轴上的截距分别是3、4的直线方程是()A1 B1C1 D15直线1与1在同一坐标系中的图象可能是()6过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y90或2x5y0二、填空题7已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为_8过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是_9过点P(1,3

19、)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是_三、解答题10已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程11三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程能力提升12已知点A(2,5)与点B(4，7)，点P在y轴上，若|PA|PB|的值最小，则点P的坐标是_13已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程1直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要

20、全面考虑(1)点斜式应注意过P(x0，y0)且斜率不存在的情况(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况(4)截距式要注意截距都存在的条件2直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程3强调两个问题：(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用ykx表示不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y1没有横截距，x2没有纵截距(2)方程yy1(xx1)(x1x2)与(x1x2，y1y2)以及(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？

21、)322直线的两点式方程 答案知识梳理112作业设计1A2B3B令x0得，yb24A5B两直线的方程分别化为斜截式：yxn，yxm，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相同6D当y轴上截距b0时，方程设为ykx，将(5,2)代入得，yx，即2x5y0；当b0时，方程设为1，求得b，选D7y2(x2)解析kAB，由kkAB1得k2，AB的中点坐标为，点斜式方程为y2(x2)81或y1解析设直线方程的截距式为1，则1，解得a2或a1，则直线的方程是1或1，即1或y191解析设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m2，n6，即A、B的坐标分别为(2

22、,0)、(0,6)则l的方程为110解方法一设所求直线l的方程为ykxbk6，方程为y6xb令x0，yb，与y轴的交点为(0，b)；令y0，x，与x轴的交点为根据勾股定理得2b237，b6因此直线l的方程为y6x6方法二设所求直线为1，则与x轴、y轴的交点分别为(a,0)、(0，b)由勾股定理知a2b237又k6，解此方程组可得或因此所求直线l的方程为x1或x111解(1)由截距式得1，AC所在直线方程为x2y80，由两点式得，AB所在直线方程为xy40(2)D点坐标为(4,2)，由两点式得BD所在直线方程为2xy100(3)由kAC，AC边上的中垂线的斜率为2，又D(4,2)，由点斜式得y2

23、2(x4)，AC边上的中垂线所在直线方程为2xy6012(0,1)解析要使|PA|PB|的值最小，先求点A关于y轴的对称点A(2,5)，连接AB，直线AB与y轴的交点P即为所求点13解当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为，所求直线方程为yx，即x7y0当直线l不过原点时，设其方程1，由题意可得ab0， 又l经过点(7,1)，有1， 由得a6，b6，则l的方程为1，即xy60故所求直线l的方程为x7y0或xy60323直线的一般式方程【课时目标】1了解二元一次方程与直线的对应关系2掌握直线方程的一般式3根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的

24、关系1关于x，y的二元一次方程_(其中A，B_)叫做直线的一般式方程，简称一般式2比较直线方程的五种形式(填空)形式方程局限各常数的几何意义点斜式不能表示k不存在的直线(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率斜截式不能表示k不存在的直线k是斜率，b是y轴上的截距两点式x1x2，y1y2(x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点截距式不能表示与坐标轴平行及过原点的直线a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距一般式无当B0时，是斜率，是y轴上的截距一、选择题1若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()AA0 BB0CAB0 DA2B202直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾

25、斜角为45，则m的值为()A2 B2 C3 D33直线x2ay10与(a1)xay10平行，则a的值为()A B或0C0 D2或04直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y805直线l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是()6直线axbyc0 (ab0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足()Aab B|a|b|且c0Cab且c0 Dab或c0二、填空题7直线x2y60化为斜截式为_，化为截距式为_8已知方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示直线，则m的取值范围是_

26、9已知A(0,1)，点B在直线l1：xy0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为_三、解答题10根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为，且经过点A(5,3)；(2)过点B(3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(1,5)，D(2，1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是3，111已知直线l1：(m3)xy3m40，l2：7x(5m)y80，问当m为何值时，直线l1与l2平行能力提升12将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(m，n)重合，则mn的值为(

27、)A8 B C4 D1113已知直线l：5ax5ya30(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围1在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷2直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式AxByC0化为截距式有两种方法：一是令x0，y0，求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；二是移常项，得AxByC，两边除以C(C0)，再整理即可3根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：若一个斜率为零，另一个不存在则垂直若两个

28、都存在斜率，化成斜截式后则k1k21一般地，设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20，第二种方法可避免讨论，减小失误323直线的一般式方程 答案知识梳理1AxByC0不同时为02yy0k(xx0)ykxb1AxByC0作业设计1D2D由已知得m240，且1，解得：m3或m2(舍去)3A4A由题意知，直线l的斜率为，因此直线l的方程为y2(x1)，即3x2y105C将l1与l2的方程化为斜截式得：yaxb，ybxa，根据斜率和截距的符号可得C6D直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：(1)截距等于0，此时只要c0即可；(2)截距不等于0，此时c0，直线

29、在两坐标轴上的截距分别为、若相等，则有，即ab综合(1)(2)可知，若axbyc0 (ab0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则ab或c07yx318mR且m1解析由题意知，2m2m3与m2m不能同时为0，由2m2m30得m1且m；由m2m0，得m0且m1，故m19xy10解析ABl1时，AB最短，所以AB斜率为k1，方程为y1x，即xy1010解(1)由点斜式方程得y3(x5)，即xy350(2)x3，即x30(3)y4x2，即4xy20(4)y3，即y30(5)由两点式方程得，即2xy30(6)由截距式方程得1，即x3y3011解当m5时，l1：8xy110，l2：7x80显然l1与l2

30、不平行，同理，当m3时，l1与l2也不平行当m5且m3时，l1l2，m2m为2时，直线l1与l2平行12B点(0,2)与点(4,0)关于直线y12(x2)对称，则点(7,3)与点(m，n)也关于直线y12(x2)对称，则，解得，故mn13(1)证明将直线l的方程整理为ya(x)，l的斜率为a，且过定点A(，)而点A(，)在第一象限，故l过第一象限不论a为何值，直线l总经过第一象限(2)解直线OA的斜率为k3l不经过第二象限，a333直线的交点坐标与距离公式331两条直线的交点坐标【课时目标】1掌握求两条直线交点的方法2掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法3通过本节的学习初步体会用

31、代数方法研究几何问题的解析思想1两条直线的交点已知两直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线_，交点坐标为_2方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点两直线位置关系方程系数特征无解两直线_交点平行A1B2A2B1B1C2B2C1有唯一解两条直线有_个交点相交A1B2A2B1有无数个解两条直线有_个交点重合A1B2A2B1B2C1B1C2一、选择题1直线l1：(1)xy2与直线l2：x(1)y3的位置关系是()A平行 B相交 C垂直 D重合2经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线的方程是()A2xy80 B2

32、xy80C2xy80 D2xy803直线ax2y80,4x3y10和2xy10相交于一点，则a的值为()A1 B1 C2 D24两条直线l1：2x3ym0与l2：xmy120的交点在y轴上，那么m的值为()A24 B6C6 D以上答案均不对5已知直线l1：xm2y60，l2：(m2)x3my2m0，l1l2，则m的值是()Am3 Bm0Cm0或m3 Dm0或m16直线l与两直线y1和xy70分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，1)，则直线l的斜率为()A B C D二、填空题7若集合(x，y)|xy20且x2y40(x，y)|y3xb，则b_8已知直线l过直线l1：3x5y100和l

33、2：xy10的交点，且平行于l3：x2y50，则直线l的方程是_9当a取不同实数时，直线(2a)x(a1)y3a0恒过一个定点，这个定点的坐标为_三、解答题10求经过两直线2xy80与x2y10的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程11已知ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(2，3)，E(3,1)，F(1,2)先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标能力提升12在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y10，A的角平分线所在直线的方程为y0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标13一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线与