复变函数的积分积分定理课件.ppt

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1、复变函数的积分积分定理复变函数的积分积分定理现在学习的是第1页，共33页一、复变函数积分的概念一、复变函数积分的概念1,111,kkknkkkkLLazzzzzbzzzz 0 01 1 k kn n设设 是是复复平平面面上上可可求求长长的的有有向向J Jo or rd da an n曲曲线线（即即简简单单连连续续曲曲线线），始始点点为为a a，终终点点为为b b,复复变变函函数数w w=f f(z z)在在上上有有定定义义，在在上上引引进进分分点点系系，记记=M Ma ax x 的的弧弧长长,任任取取1.定义定义1nZ0ZkZ1kZ2Z1ZnZk现在学习的是第2页，共33页0101lim(),

2、(),(),()lim()(3.1),()nkkkkLnkkLkfzf zLf z dzf z dzfzf zL若若存存在在且且与与的的分分割割方方式式及及的的取取法法无无关关 则则称称之之为为沿沿 的的积积分分记记为为即即其其中中 称称为为被被积积函函数数,称称为为积积分分曲曲线线.现在学习的是第3页，共33页kkkkkk设z=x+iy,z=x+iy,=+i,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)01()lim(,)(,)().nLkf z dzuivi kkkkkk则(3.1)可改写为xy01lim(,)(,)nkuv kkkkkkxy01lim(,)(,).nkivu kkkkkkxy,

3、()(,)(,)(,)(,)(,)(,)(3.2)LLLLf z dzu x yiv x ydxidyu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy右端的两个极限都是第二型曲线积分 所以二二 计算方法计算方法现在学习的是第4页，共33页若曲线L的参数方程为z=z(t)=x(t)+iy(t),t:.则fz(t)=ux(t),y(t)+ivx(t),y(t),z(t)=x(t)+iy(t)(,)(,)(),()()(),()()(,)(,)(),()()(),()()LLu x y dxv x y dyu x ty t x tv x ty t y t dtv x y dxu x

4、 y dyv x ty t x tv x ty t y tdt因为()(),()(),()()()()()Lf z dzu x ty tiv x ty tx tiy tdtf z t z t dt故现在学习的是第5页，共33页1:,n0nC0dz例计算积分,其中C为以z 为中心,r(z-z)为半径的正向圆周 为整数.0:02iC zzre分析20022100()()cos(1)sin(1)ininCndziredzzreindindr 010()nCdznzz 当时，012()nCdznizz 当时,0zr现在学习的是第6页，共33页0:2101()nCindznzz 结论现在学习的是第7页，

5、共33页123,(2).LCLCC1021310L例2:设C 是从原点到z=1+i的直线段,C 是从原点到z=1直线段,C 是从z=1到z=1+i的直线段,计算积分zdz,(1)oxy1C1z3C2C01zi 10(1)(1)(1)1i x xzdzi xi dx11C分析:（1）C的方程为z=,:011100(1)1x xzdzxdxiy idyi 23L（2）C 的方程为z=,:01,C 的方程为z=1+iy,y:01现在学习的是第8页，共33页.1-1例3：计算积分z dz,积分路径是(1)直线段；(2)上半单位圆周;(3)下半单位圆周-11-ii分析：(1)z=2t-1t:010 i(

6、2)z=e:2 i(3)z=e:102 21tdt原式1121022(1 2)2(21)1t dttdt02iie d原式22iie d原式现在学习的是第9页，共33页.1-1例4：计算积分zdz,积分路径是(1)直线段；(2)上半单位圆周;(3)下半单位圆周i1-1-i分析：(1)z=2t-1t:01102(21)0tdt原式0 i(2)z=e:00iie ie d原式2 i(3)z=e:20iie ie d原式现在学习的是第10页，共33页结论：结论：不同的路径积分的结果有时相同，有不同的路径积分的结果有时相同，有 时不同。时不同。提出问题：提出问题：什么情况下积分与路径无关呢？什么情况下

7、积分与路径无关呢？现在学习的是第11页，共33页二二 复变函数积分的性质复变函数积分的性质(1)(),(),(),()()()().LLLf z g zLf zg z dzf z dzg z dz 线性 设为常数在 上可积 则(2),LLL设 是有向曲线弧是与 方向相反的有向曲线弧 则()()LLf z dzf z dz 1212(3)(),()()().LLLLLLf z dzf z dzf z dz可加性 设 由 和组成 则现在学习的是第12页，共33页()()LLf z dzf z dsM L(4)(长大不等式)设 f(z)M,(zL),L的长度记为 L,则现在学习的是第13页，共33页

8、522C例：证明(x+iy)dz,C:连接-i到i的右半圆周.分析：（利用长大不等式）22224422CCCC(x+iy)dzx+iy dsxy ds(x+y)ds现在学习的是第14页，共33页三、三、Cauchy积分定理积分定理 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，又假设u(x,y)和v(x,y)在D具有连续偏导数，()(,)(,)(,)(,)DDDf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy()()DDvuuvdxdyidxdyxyxy格林公式0C-R方程现在学习的是第15页，共33页C 设D是区域，其边界 D为Jordan可求长曲线.

9、f(z)A(D)(D),(即f(z)在D内解析且在D连续),则定理定理(Cauchy)()0Df z dz 证明参阅庄圻泰和张南岳编复变函数第三章。现在学习的是第16页，共33页0 C推论：f(z)在单连通区域D内解析,C为D内任一闭曲线,则f(z)dz现在学习的是第17页，共33页00-12nkk 当区域D是多连通区域时，设其边界由L 及被L 包围在内且彼此互相外离的n条简单封闭曲线,L,L,L,L 是表示L 取顺时针方向,0L1LkLnL-012nD=L+L+LL现在学习的是第18页，共33页C如果f(z)A(D)(D),则由Cauchy积分定理得()()0Df z dzf z dz-01

10、nL+L+L011()()()nnLkkf z dzf z dzf z dz-kkLL-复合闭路变形原理现在学习的是第19页，共33页C-01 特别地：当区域D是二连通区域时，D=L+L,则当f(z)A(D)(D)时0()()Lf z dzf z dz1L表明：一个解析函数沿闭曲线的积分，当闭曲线（积分曲线）在该函数解析的区域内作连续变形而得到新的积分曲线时，积分值不变。现在学习的是第20页，共33页.dz0n0例6：设 是正向简单封闭曲线，z,n为正整数，计算积分1(z-z)0Cauchydz0n00n01分析：在z=z 时不解析，(z-z)1（1）若z 在 外部，(z-z)0（2）若z 在

11、 内部，0zC2101Cindzdznnn0011(z-z)(z-z)现在学习的是第21页，共33页,(1).dz22z-11例7：计算积分是圆周z=2,(2)是圆周z-1=z-z2(1)11(1)1111zzz zzzdzdzdzzz222z-1分析：z-z2z-1z-z2,112241dzidziizz(1)z原式21211,2112021dzidzizz(2)z-1原式现在学习的是第22页，共33页.dz1例8：设 是圆周z=2，计算积分Rez2 i44dzdzdzdz14分析：Rez不解析，Rez=（z+z）,z=,2z114111Rez(z+)z2 iiziiz022现在学习的是第2

12、3页，共33页()0()()CLf z dzf z dzdzD0zz 设D是复平面上的单连通区域，f(z)在D内解析积分与路径无关F(z)=f()复变函数 问题：是否与一元函数积分学中变上限函数类似的性质？四、原函数与不定积分四、原函数与不定积分现在学习的是第24页，共33页0()()(),(3.8)zzF zfdzD0 若f(z)在单连通区域D内解析,zD,则定理定理2是D内的一个解析函数，并且F(z)=f(z),(zD).00()()1()()zzzzzF zzF zfdfdzz分析：()()zzzf z df zz()()11()()()1()()zzzzzzzzzF zzF zf zf

13、df z dzzzff z dz现在学习的是第25页，共33页z1zz()()1()()()zzzF zzF zf zff z dszz1zz 22120,0,()(),ff z 使得当-z 时,取=min(,)则当z 0,z=e(-)是D内的任22意固定点,C为D内从0到z 的一条有向连续曲线,证明11+z0ize1O02z201分析：f(z)=在右半平面D内解析，1+z1故dz在D内与积分路径无关1+z.ie0选择路径：从z=0沿实轴到z=1,再沿单位圆周到zdx000z1zz222200111111dz=dz=dz1+z1+x1+z41+z12cosii2i00ied=d41+e4现在学习的是第32页，共33页感谢大家观看感谢大家观看9/5/2022现在学习的是第33页，共33页