应用随机过程第三章.ppt

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1、应用随机过程第三章现在学习的是第1页，共45页3.1 Poisson过程 定义3.1.1 随机过程 称为计数过程，如果 表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1）且取值为整数；（2）时，且 表示 时间内事件A发生的次数。0,ttNts 0tN tN tNsN sNtNts,现在学习的是第2页，共45页定义.计数过程称为参数为的Poisson过程，如果：（1）；（2）过程有独立增量；（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为t的Poisson分布，即对一切 ，有：0,ttN 00 N0,0ts,2,1,0,!nensNstNPntn现在学习的是第3页，共4

2、5页Poisson的特性平稳增量性。由 ，知是单位时间内发和事件的平均次数。称为Poisson近程的强度或速率。例3.1.1 售票处乘客以10人小时的平均速率到达，则9：00 10：00最多有5名乘客的概率？10：00 11：00没有人的概率？ttNE现在学习的是第4页，共45页例3.1.2 保险公司接到的索赔次数 设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到的索赔要求是4次，则一年中它要付出的金额平均是多少？!124124012nnenNNP 48124012 NNE现在学习的是第5页，共45页Poisson过程的等价定义 设 是一个计数过程，它满足：N(0)=0；过程有平稳独立增量；存在0，当

3、h0时有：(1)当h0时有：0,ttN hohtNhtNP1 hotNhtNP2现在学习的是第6页，共45页定理3.1.1 满足上述条件(1)(4)的计数过程 是Poisson过程。反过来Poisson过程一定满足这四个条件。0,ttN现在学习的是第7页，共45页例3.1.3 事件A的发生形成强度为的poisson过 程 ，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t被记录下来的事件总数，则 是一个强度为p的Poisson过程。0,ttN 0,ttM现在学习的是第8页，共45页 mntNPmntNmtMPmtMPn00!1ntnmtnmmnmeppCnm0!1nnmtpp

4、ttnme!0!1!mptptnntpmptteenm现在学习的是第9页，共45页例3.1.4 设每条蚕产卵数服从poisson分布，强度为，而每个卵变成成虫的概率为p，且每个卵是否变成成虫彼此间没有关系，求在时间0，t内每条蚕养活k条小蚕的概率。ptkptek!现在学习的是第10页，共45页例3.1.5 天空中的星体数服从Poisson分布，其参数为V，V为被观测区域的体积。若每个星球上有生命存在的概率为p，则在体积为V的宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度为pV的Poisson 分布。现在学习的是第11页，共45页与Poisson过程相联系 若干分布0123 tN0T1T2T3Tt1X2X

5、3X现在学习的是第12页，共45页与 的分布 表示第n次事件发生的时间；规定 ，表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，定理3.2.1 服从参数为的指数分布，且相互独立。nT,2,1n00TnX,2,1nnXnT,2,1nXn现在学习的是第13页，共45页 01tNtX tetNPtXP01tetXP11 sXsNtsNPsXtXP1120 0sNtsNPte现在学习的是第14页，共45页定理3.2.1 服从参数为n和的分布。证明：,2,1nTnniinXT1Xi独立且服从相同的指数分布指数分布分n=1的分布，且具有可加性。定理得证。现在学习的是第15页，共45页证明2 tTntNn ntN

6、PtTPnnjjttje!对上式两端对t求导，可得Tn 的密度函数为：!1!1jtnjtnjjttnjjeetf!11nttne tnnetn1现在学习的是第16页，共45页定义3.2.1 计数过程 是参数为的Poisson过程，如果每次事件发生的时间间隔X1，X2，相互独立，且服从同一参数为的指数分布。0,ttN现在学习的是第17页，共45页例3.2.1 设从早上8：00开始有无穷人排队，只有一名服务员，且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去？已有9人接受服务的概率是多少？过程的是强度为PoissontN3 12!1204en

7、NNPnn 12!9129904eNNP现在学习的是第18页，共45页例3.2.2 假定某天文台观测到的流星流是一个Poisson过程，以往资料统计，平均每小时观察到3颗流星，试求上午8：00 12：00期间，该天文台没有观测到流星的概率？过程的是强度为PoissontN3 4304PNN 1212!0120004eeNNP现在学习的是第19页，共45页事件发生时刻的条件分布 11tNsTP考虑n=1的情形，对于st有：11;1tNPtNsTP 1A,(AtNPtssP没有发生内之前，发生在时刻 101tNPsNtNPSNPtststeesets现在学习的是第20页，共45页定理3.2.3 在

8、已知N(t)=n的条件下，事件发生的n 个时刻T1，T2，,Tn的联合密度函数为nntnttttttfn21!210,现在学习的是第21页，共45页例3.2.3 乘客按强度为的Poisson过程来火车站，火车在t 时刻启程，计算(0，t内到达的乘客等车时间总和的数学期望。解：即要求计算 其中Ti是第i个乘客的到达时间。tNiiTtE1现在学习的是第22页，共45页 由于N(t)为一随机变量，取条件期望 tNiintNTtE1 niintNTtE1 221ntntntntNTEntnii 211ntUEntNTEniinii tNiiTtE1 tNiitNTtEE1现在学习的是第23页，共45页

9、 02nntNPnt 02nntNPnt 222ttNEt现在学习的是第24页，共45页例3.2.4 事件A的发生形成强度为的poisson过 程 ，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t被记录下来的事件总数，则 是一个强度为p的Poisson过程。现在设A在时刻s时，被记录到的概率为p(s)那么 还是Poisson过程吗？0,ttN 0,ttM 0,ttM现在学习的是第25页，共45页 M(t)已不是一个Poisson过程，它仍具有独立增量性，不在具有平稳增量性。mtMP kmtNPkmtNmtMPk0 kmtNmtMPkmppmkm1现在学习的是第26页，共45

10、页内发生且被记录事件在,0tPp dssPt0时刻发生且被记录事件在 ttdssPtdssPt0011现在学习的是第27页，共45页 kmtNPkmtNmtMPk0tkmkmkekmtppmkm!10tkmkmkekmtppkmkm!1!0kkktmtkpempt!1!0ptmemtp!现在学习的是第28页，共45页Poisson过程的推广非齐Poisson过程定义3.3.1 计数过程 称作强度函数为 的非齐Poisson过程，如果：(1)(2)具有独立增量 0,ttN 00tt 00 N 0,ttN现在学习的是第29页，共45页(3)(4)hotNhtNP2 hohttNhtNP1现在学习的

11、是第30页，共45页定义3.3.2 计数过程 称为强度函数为 的非齐次Poisson过程，若：（1）（2）具有独立增量；0,ttN 0,0tt 00 N 0,ttN现在学习的是第31页，共45页（3）对任意实数为具有参数的Poisson分布。称为非齐Poisson过程的均值函数（累积强度函数）tNstNst,0,0 duutmstmstt tduutm0现在学习的是第32页，共45页定理3.3.1 设 为强度函数为 的非齐次Poisson过程，对任意 令：则 是一个强度为1的Poisson过程。0,ttN t0t tmNtN1 tN现在学习的是第33页，共45页例3.3.1 设某设备的使用年限

12、为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次。试求它在使用期内只维修过1次的概率？解：10550215.21ttt 100501055.45.04.010dtdtduum现在学习的是第34页，共45页 100501055.45.04.010dtdtduum 5.4!15.411010eNNP现在学习的是第35页，共45页复合Poisson过程 定义3.3.3：称随机过程 为复合Poisson过程，如果对于 ，它可表示为：其中 是一个Poisson过程，是一族独立同分布的随机变量，并且与 独立。0,ttX0t tNiiYtX1 0,ttN,3,2,1,iYi 0,ttN

13、现在学习的是第36页，共45页例3.3.2 保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程 ，每次的赔付金额Yi都相互独立，且有相同的分布F，且每次的索赔额与与它发生的时间无关。则0，t内保险公司赔付的总额 就是一个复合Poisson 过程，其中：0,ttN 0,ttX tNiiYtX1现在学习的是第37页，共45页例3.3.3（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某服务系统的时刻 形成一个强度为的Poisson 过程，在每个时刻 都可以同时有多名顾客到达。Yn表示时刻Sn到达的顾客人数，假设Yn n=1,2,3相互独立，且与Sn也独立，则在0，t时刻内到达服务系统的总人数可用一复合Poiss

14、on过程来描述。,21SS,2,1,nSn现在学习的是第38页，共45页例3.3.4 设顾客按照参数为的Poisson过程进入一个商店。又设每个顾客消费金额形成一个独立同分布随机变量。以X(t)记到时刻t为止顾客在此商店的消费总额，易见是一个复合Poisson过程。0,ttX现在学习的是第39页，共45页定理3.3.2设 是一个复合Poisson过程，Poisson过程 的强度为，则：（1）有独立增量；（2）若 ，则 0,1tYtXtNii 0,ttN tX 2iYE 1YtEtXE 21YtEtXVar现在学习的是第40页，共45页例3.3.5 保险公司索赔模型中，设索赔要求以每月平均两次的

15、速率的 Poisson过程到达保险公司。每次赔付服从均值为10000万元的正态分布，则一年中保险公司的平均赔付额为多少？10000122121YtEXE现在学习的是第41页，共45页例3.3.6 顾客以每分钟6人的平均速率进入商场，服从Poisson 过程。每位顾客买东西的概率为0.9，且 每位顾客是否买东西互不影响，也与进入商场的人数无关。求一天（12）小时在该商场买东西的顾客人数。12606t位顾客在商场未买东西第位顾客在商场买东西第iiYi01现在学习的是第42页，共45页 以 表示在时间0，t内到达商场的人数，以 表示在时间0，t内在商场买东西的人数，tN14320121NE tN2 9.0111tYEtNEtNii现在学习的是第43页，共45页 若以Zi 表示第i位顾客在商场消费金额，且 则 表示在时间0，t内该商场的营业额。5.0,200 BZi tNiiZtN11322003720612NE现在学习的是第44页，共45页条件Poisson 过程 定义3.3.4 设随机变量0，在=的条件下，计数过程 是参数为的Poisson过程，则称 为条件Poisson过程。设的分布为G，则 0,ttN 0,ttN 0!dGensNstNPnttn现在学习的是第45页，共45页