定积分基本定理.ppt

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1、定积分基本定理现在学习的是第1页，共20页4.2.1 变上限定积分如果 x 是区间 a,b上任意一点，定积分 xattfd)(表示曲线 y=f(x)在部分区间 a,x 上曲边梯形AaxC 的面积，如图中阴影部分所示的面积.当 x 在区间 a,b 上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分 xattfd)(yxy=f(x)axbOACB是上限变量 x 的函数.记作 F(x)，即()()d().xaF xf ttaxbF(x)现在学习的是第2页，共20页 注意到教材中的积分式,积分上限中的积分变量 ，与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的含义是不同的,为避免混淆,这里

2、改用 为积分变量.由于定积分的值与积分变量的记号无关,把积分变量改用别的字母表示,不影响积分结果.xt通常称积分式 xattfd)(为变上限的积分现在学习的是第3页，共20页变上限的积分()()d().xaF xf ttaxb有下列重要性质:定理4.1 若函数 f(x)在区间 a,b 上连续，则变上限定积分()()dxaF xf tt在区间 a,b 上可导，并且它的导数等于被积函数，即()()d().xadF xf ttf xdx现在学习的是第4页，共20页定理 4.1 告诉我们，()()dxaF xf tt 是函数 f(x)在区间 a,b 上的一个原函数，这 就 肯 定 了连续函数的原函数是

3、存在的，所以，定理 4.1 也称为原函数存在定理.变上限定积分 推论(原函数存在的充分条件)闭区间上的连续函数,在该区间上它的原函数一定存在.现在学习的是第5页，共20页例 1 (1)21()e d,xtxt已知求(x).解根据定理4.1，得 221()e de.xtxxt(2)求24111xddtdxt解2242481112()11()1xdxdtxdxtxx现在学习的是第6页，共20页补充例 xttx02,d)sin()(设设求(x).解(x)xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx 现在学习的是第7页，共20页补充例 0,d)13cos()(xttxF已

4、已知知求 F(x).解根据定理 1，得)(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos(x现在学习的是第8页，共20页*补充例 2,d13xxtty设设解.ddxy求求xydd xxxtt2d13 xaxxatttt2d1d133 xxaxxatttt2d1d133xxxxttx)(d11203322 .12163xxx 现在学习的是第9页，共20页例2求2030sinlimxxt dtx解 当0 x 时,原式为00型不定式,可用洛必达法则求得2220033 2000sin(sin)1sin1limlimlim()33xxxxxt dtt dtxxxx现在学习的是第1

5、0页，共20页4.2.2 微积分的基本公式定理 如果函数 f(x)在区间a,b上连续，F(x)是 f(x)在区间 a,b 上任一原函数，).()(d)(aFbFxxfba 那么为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的,)()()(baxFaFbF记作记作 这样 上面公式就写成如下形式：.()()()()bbaaf xxF xF bF ad“NewtonLeibniz公式”现在学习的是第11页，共20页例 3 计算下列定积分.解;d11)1(102xx 30(2)sind.x x xxd11)1(102 10arctan x;40arctan1arctan 30(2)sindx x 30co

6、sx cos(cos0)3 11122 现在学习的是第12页，共20页4.2.3 定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的.性质 1(1)两个函数和的定积分等于它们定积分的和，即 baxxgxfd)()(babaxxgxxf.d)(d)(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分外面，即 baxxkfd)(.d)(baxxfk现在学习的是第13页，共20页性质 1(1)可推广到有限多个函数代数和的情况，即 banxxfxfxfd)()()(21.d)(d)(d)(21 banbabaxxfxxfxxf现在学习的是第14页，共20页性质 3(积分对区间可加性)如果积分区间 a,b 被点 c 分成

7、两个区间 a,c 和 c,b，那么 baxxfd)(.d)(d)(bccaxxfxxf当点 c 不介于 a 与 b 之间，即 c a b 或 a b c 时，结论仍正确.现在学习的是第15页，共20页补充例题 计算下列定积分.解;de1e)1(11xxx .dcos)2(462xx xxxde1e)1(11 )e1(de1111xx 11)e1ln(x;1e11ln)e1ln(xxdcos)2(462 xx d)2cos1(2146 46462d2cos41d21xxx462sin416421 x.834124 现在学习的是第16页，共20页解把被积函数化简.补例 计算.dsinsin03xx

8、x xxxdsinsin03 xxxd)sin1(sin02 .d|cos|sin0 xxx xxxxxxd)cos(sindcossin220 xxxxsindsinsindsin220 2232023sin32sin32xx.34)32(32 现在学习的是第17页，共20页解xxfd)(30 xxxxded31103 311034)e(43xx .e1e4332 补充题例.d)(31,e10,)(303xxfxxxxfx 计计算算，设设函函数数现在学习的是第18页，共20页例4 求定积分130(sin2)xxedx解1301130011300(sin2)sin212sin33xxxxedxxdxe dxxd xe d x1310030312cos|312(coscos0)()322(1)3xxeeee 请在草稿纸上练习书上例题：现在学习的是第19页，共20页例5 设函数22,10(),03xxxf xex 求定积分31()f x dx解 3031100322103203106()()()|32126xxf x dxf x dxf x dxx dxe dxxee现在学习的是第20页，共20页