复变函数第二章解析函数.ppt

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1、复变函数第二章解析函数现在学习的是第1页，共84页现在学习的是第2页，共84页&1.复变函数的定义&2.映射的概念&3.反函数或逆映射复变函数的概念复变函数的概念现在学习的是第3页，共84页1.复变函数的定义与实变函数定义相类似A 是多值函数.是多值函数.值，称值，称多个多个是单值函数;是单值函数;值，称值，称一个一个若若)()(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨定义2.1设E是复平面上的点集,若对任何z=x+iyE,都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应,则称在 E上确定了一个复变函数，用w=f(z)表示.E 称为该函数的定义

2、域.现在学习的是第4页，共84页),(),()()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw ()(),Gf Ew wf zzE=该函数的值域为：现在学习的是第5页，共84页xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例1xyvyxuzw2222 例2 22221111)(yxiyyxxzf若若已已知知.)(的函数的函数表示成表示成将将zzfzzzf1)()(21),(21,zziyzzxiyxz 则则设设实部等于实部虚部等于虚部现在学习的是第6页，共84页ox

3、y(z)Eouv(w)Gw=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)(2.映射的概念复变函数的几何意义zw=f(z)w现在学习的是第7页，共84页A 以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）现在学习的是第8页，共84页.所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例3 iirezreirz )sin(cos设设解关于实轴对称的一个映射见图1-11-2旋转变

4、换(映射)即即，)sinsin()sincos()(sin(cos yxiyxiyxiivuw 见图2.(实实常常数数）所所构构成成的的映映射射研研究究 zewi 例4)(iiiiirereezewrez设设解 sinsinsincosyxvyxu现在学习的是第9页，共84页oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 图1-1图1-2图2uv(w)o现在学习的是第10页，共84页.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例5oxy(z)ouv(w)2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 现在学习的是第11页，共84页

5、 3.反函数或逆映射例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射zw )1,0(22 kezzwk为多值函数,2支.定义 设 w=f(z)的定义集合为E，函数值集合为G，那么则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.现在学习的是第12页，共84页&1.函数的极限&2.相关定理&3.函数的连续性复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性现在学习的是第13页，共84页 定义2.2设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e 0,存在d 0,使得对一切满足0|z-z0|d 的z,都有()f zAe e 成立,则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限，并

6、记做 0lim()zzf zA 或 0()().f zA zz注意:定义中zz0的方式是任意的.复变函数的极限复变函数的极限现在学习的是第14页，共84页几何意义uv(w)oAe exy(z)od d0z)(zfw 几何意义:当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中现在学习的是第15页，共84页 相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设定理2.10),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 则则现在

7、学习的是第16页，共84页 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则则若若定理2.2A 以上定理用极限定义证!现在学习的是第17页，共84页例1.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例2.0)(时时的的极极限限在在求求 zzzzzzf例3.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf在在平平面面上上

8、处处处处有有极极限限22,yxyx .)0,0()(2)(2222处处极极限限不不存存在在在在yxyxzf 现在学习的是第18页，共84页函数的连续性定义2.3.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz 现在学习的是第19页，共84页例4 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。上上不不连连续续。在在负负实实轴轴在在负负实实轴轴上上 argarglim arglim)0)(0

9、,()2(00zzzxxPyy 故故不不连连续续。在在原原点点没没有有定定义义，arg)()1(zzf 证明xy(z)ozz)0,(xP 现在学习的是第20页，共84页定理2.5设()(,)(,),f zu x yiv x y 则 f(z)在 000zxiy 处连续的充分必要条件是(,),u x y(,)v x y都在 00(,)xy点连续.定理2.3 连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。现在学习的是第21页，共84页.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分分母母为为的的；在在整整个个复复平平面面内内

10、是是连连续续由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(,0)(在在曲曲线线上上恒恒有有上上连连续续在在若若内内的的曲曲线线段段为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在设设曲曲线线有界性：现在学习的是第22页，共84页2.22.2 解析函数的概念解析函数的概念现在学习的是第23页，共84页一、一、复变函数的导数复变函数的导数000()()lim zzf zf zzz 1、导数的定义 定义2.4设 是定义在区域D上的()wf z 存在，则称 在 点可导,并把这个极()f z0zz 限值称为 在 点的导数，记做 0().fz()f z0zz 复变函数,z0是区域D内的

11、定点.若极限 现在学习的是第24页，共84页 定义中的极限式可以写为 000()()lim,zf zzf zz 即当 在 点可导时,()f z0zz 0000()()()limzzf zf zfzzz 注意0(0)zzz 的方式是任意的.000()()lim.zf zzf zz 现在学习的是第25页，共84页 此时，对D内任意一点z,有 0()()()lim.zf zzf zfzz 也可用 dd(),ddwf zzz等表示 在z点的导数.()f z若 在区域 D内每一点都可导,则称 ()f z()f z在区域 D内可导.现在学习的是第26页，共84页则 例1设 2(),f zz()f z在复平

12、面内处处可导，且()2.fzz 解因为zzfzzfzfz )()(lim)(0zzzzz 220)(lim0lim(2).zzz 22.zz 所以现在学习的是第27页，共84页例2证明()2f zxyi在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z,有()()f zzf z 2.xyi ()2()2xxyy ixyi 故 0lim()()0.zf zzf z 这说明()2f zxyi在复面内处处连续.现在学习的是第28页，共84页()()f zzf zz ()2()2xxyy ixyixyi 2.xyixyi xyoz0 y但是,设 沿着平行于x 轴的z 方向趋向于 0,即0,0.xy

13、 于是现在学习的是第29页，共84页xyoz 0 y0002limlim1.xxyxyixxyix 0 x002limxyxyixyi 02lim2.yyiyi 所以()2f zxyi 的导数不存在.设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0,即z 0,0,xy 现在学习的是第30页，共84页2、可导与连续的关系0000()()lim()0,zf zzf zfzz 函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.事实上,由 f(z)在z0点可导,必有).()()()(000zfzzfzzfzr令现在学习的是第31页，共84页000()()()(),f zz

14、f zfzzzzr r ,)()(lim000zfzzfz所以0lim()0,zzr r 再由即()f z在0z处连续.反之,由 知,不可导.()2f zxyi但是二元实函数 连续,(,),(,)2u x yx v x yy 于是根据 知,函数 连续.()2f zxyi现在学习的是第32页，共84页3、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)()0,c 其中c为复常数.(2)1(),nnznz 其中n为正整数.现在学习的是第33页，共

15、84页 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf 2()()()()()(5),()0).()()f zfz g zf z g zg zg zgz 1(7)(),()fzw (6)()()(),f g zfw g z ().wg z 其中其中()wf z 与()zw 是两个互为反函数的单值函数,且()0.w 现在学习的是第34页，共84页二、二、解析函数解析函数 定义2.5 在区域D内有定义.()f z(1)设 ,若存在 的一个邻域，使得 0zD 0z在此邻域内处处可导,则称 在 处解析,()f z0z()f z也称 是 的解析点.0z

16、()f z(2)若 在区域D内每一点都解析，则称 ()f z在区域D内解析,或者称 是区域D内的()f z()f z解析函数.现在学习的是第35页，共84页(3)设G是一个区域，若闭区域,DG 且 在G内解析，则称 在闭区域 上 ()f z()f zD解析.函数 在 处解析和在 处可导意义()f z0z0z不同，前者指的是在 的某一邻域内可导,0z但后者只要求在 处可导.0z函数 在 处解析和在 的某一个邻()f z0z0z域内解析意义相同.现在学习的是第36页，共84页 复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.反之,设函数 在区域D内可导

17、,则对()f z任意 存在z的某一个邻域U,使得U D,zD 由 在D内可导,可知 在U内可导,即()f z()f z在z处解析.()f z现在学习的是第37页，共84页若函数 在 处不解析，则称 是 ()f z0z0z()f z的奇点.若 是 的奇点,但在 的某邻域内,0z()f z0z除 外,没有其他的奇点，则称 是函数 0z0z()f z的孤立奇点.由例1和例2知,函数 是全2()f zz 平面内的解析函数，但是函数()2f zxyi是处处不解析的连续函数.现在学习的是第38页，共84页根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理2.6 设函数 在区域D内解析,则(),()f zg z()(

18、),()()f zg zf z g z 也在D内解析.当 时,是00,()0zD g z 0z f zg z的解析点.特别地,多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.现在学习的是第39页，共84页 例3证明 在 处可导,2()f zz z 0z 但处处不解析.证明:根据导数的定义,200()(0)limlim0.zzf zfzz 因此 在 处可导，且 ()f z0z (0)0.f 当 时,由 得 00z 22000,zzzzz z 22000()()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z 现

19、在学习的是第40页，共84页故2000000()()().f zf zzzzzzzzzzz 虽然020000lim()22,zzzz zz zz但是当 z分别从平行于x,y轴方向趋于z0时，分别 00zzzz 以1和-1为极限，因此 不存在.又因为 000limzzzzzz 00,z 所以 不存在，即 000()()limzzf zf zzz ()f z在 时不可导,从而在复平面内处处不解析.0z 现在学习的是第41页，共84页现在学习的是第42页，共84页 如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域 D内处处可导，则函数 w=f(z)在 D内解析。本节从函数 u(x,y

20、)及 v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题 如何判断函数的解析性呢？现在学习的是第43页，共84页一.解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可导可导在点在点设函数设函数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(现在学习的是第44页，共84页xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0(y

21、zzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu 现在学习的是第45页，共84页yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0(xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 现在学习的是第46页，共84页yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )(存存在在A 记忆yvxvyuxu 定义2.6 对于二元实函数u(x,y)和v(x,y)，方程 称为柯西-黎曼方程(简称C-R方程).yuxvyvxu 现在学习的是第

22、47页，共84页定理2.7 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则 f(z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是（1）u(x,y)和 v(x,y)在点(x,y)可微；（2）u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程yuxvyvxu 上述条件满足时，有().uvuuvvyufziiiixxxyyxyy 现在学习的是第48页，共84页A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.定理2.7的证明略。由解析函数的定义2.5及定理2.7，我们可以得到定理2.8.

23、现在学习的是第49页，共84页定理2.8 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是（1）u(x,y)和 v(x,y)在D内可微（2）u(x,y)和 v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程yuxvyvxu 现在学习的是第50页，共84页解析函数的判定方法:(1)如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数f(z)的导数在区域D内处处存在,则可直接断定f(z)在区域D内解析.(2)如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续(因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微),并且满足柯西-黎曼方程,则由解析

24、函数的充要条件可以断定函数f(z)在区域D解析.（P28 推论2.1）现在学习的是第51页，共84页判定复变函数可导性与解析性的步骤：I)判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；II)验证C-R方程；III）根据推论2.1或定义2.5判断函数的解析性。A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在可导点处的导数为现在学习的是第52页，共84页二.举例2)3()sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解

25、(1)设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001现在学习的是第53页，共84页(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则 u=excosy,v=exsiny在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)(cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)(zfyieyexvixuzfxx 现在学习的是第54页，共84页仅在点z=0处满足C-R方程，故。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw(3)设z=x

26、+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则 0022 yvxvyyuxxu现在学习的是第55页，共84页解 由w=z Re(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以2,0,xyxyuxuvyvx当且仅当 x=y=0时,xyyxuvuv 因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.例2 判断下列函数在何处可导,在何处解析:Re()wzz现在学习的是第56页，共84页例3 设 2222()(),f zxaxybyi cxdxyy 其中 a,b,c,d是常数，问它们取何值时,函数 f(z)在复平面上解析.解：显然，22,uxaxyby在全平面可微，且 22vcxdxyy现在学

27、习的是第57页，共84页2,2.vvcxdydxyxy 2,2,uuxayaxbyxy 容易看出,当 时,函数2,1,1,2abcd (,),(,)u x yv x y满足柯西-黎曼方程,这时函数 在全平面解析.()f z现在学习的是第58页，共84页现在学习的是第59页，共84页 本节将实变函数的一些常用的初等函数推本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。并说明它的解析性。内 容 简 介现在学习的是第60页，共84页&1.指数函数&2.对数函数&3.幂函数&4.三角函数现在学习的是第61页，共8

28、4页一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：0exp)1(zz)0exp,(xez事事实实上上xezzfxz exp)(,)2(时时为为实实数数当当)0(y ,2,1,02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对定义.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析，现在学习的是第62页，共84页右右边边左左边边设设事事实实上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos)sin(cos)sin(co

29、s expexp)2,1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加加法法定定理理.expzez代替代替为了方便，我们用以后为了方便，我们用以后现在学习的是第63页，共84页:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()(.2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事实实上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 这个性质是实变指数函数所没有的。zzxxzzee

30、eyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 现在学习的是第64页，共84页没有幂的意义.没有幂的意义.它的定义为它的定义为仅仅是个符号仅仅是个符号，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2(公式公式 就得就得时,时,的实部的实部特别当特别当到到A Im()ize求例1 ie 141求求例21 ze解方程解方程例3xeysin 142222ei,2,1,02 kikz现在学习的是第65页，共84页二.对数函数定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把

31、满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那那么么令令lnln(arg2)(0,1,2,)Lnzzizzizkkp=+=+=北ArgL或(1)对数的定义现在学习的是第66页，共84页.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数；它它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,当k=0时，为Lnz的一单值函数，称为Lnz的主值。故现在学习

32、的是第67页，共84页ln(1)ln 1(1)(21)0,1,2,iiLnkik .(负数也有对数).(负数也有对数),LnzLnz1)1)复数都有意义复数都有意义对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正数有意义 w0lnln ln20,1,2,zaLnzzaLnzak ik 例如 若，有的主值(0)lnlnln(21)0,1,2,za aLnzzaiLnzakik 若，有的主值特别地A 现在学习的是第68页，共84页(2)对数函数的性质.,这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致 2)2)21212121,)()1LnzLn

33、zzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上都都不不而而z.ln,在在复复平平面面内内处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z现在学习的是第69页，共84页0)(eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平面内解析平面内解析在除去原点与负实轴的在除去原点与负实轴的解析性解析性zzLn

34、zLnz1)(且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和.,2ziez求求设设 例4(2)ln 2(2)ln220,1,2zLniiiArgiik ik 现在学习的是第70页，共84页三.乘幂 与幂函数 babzq 乘幂ab,0,aba且且为为复复数数设设定义.bLnabea 定定义义乘乘幂幂.,0,为实数为实数实变数情形实变数情形ba A 多值一般为多值现在学习的是第71页，共84页.,它是单值函数它是单值函数为整数时为整数时b为为整整数数当当 b)0,(qqpqpb且且为为互互质质的的整整数数当当具有具有一般而论一般而论ba,.无穷多支无穷多支现在学

35、习的是第72页，共84页(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。A (1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致。现在学习的是第73页，共84页ikikLneee22)21(ln21221 )2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2,1,0(k)sin()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0(kcos(22)sin(22)kikpp=+)2,1,0(k解.1322的的值值和和、求求iii例5现在学习的是第74页，共84页q 幂函数zb称称为为幂幂函函数数。得得为为复复变变

36、数数中中，取取在在乘乘幂幂,bbzwza 定义当b=n(正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数为正整数）为正整数）nnb(1 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn )12,1,0(nknz.解解析析除除原原点点与与负负实实轴轴外外处处处处的的解解析析性性由由于于Lnz的的反反函函数数nwz 现在学习的是第75页，共84页)()(,1单值分支单值分支且且解析解析除原点与负实轴外处处除原点与负实轴外处处 bbbbzzzwbzw ,一般而论一般而论 除去b为正整数外，为多值函数，当b为无理数或

37、复数时，无穷多值。现在学习的是第76页，共84页)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 从从而而得得到到时时当当由由指指数数函函数数的的定定义义四.三角函数推广到复变数情形sin ,cos (3)22izizizizeeeezzi-+=定义现在学习的是第77页，共84页周周期期函函数数是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析zeeeeiziziz

38、izizcos)(21)(21)(sin q正弦与余弦函数的性质现在学习的是第78页，共84页.cos,sin)3是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin(同理同理cossinizeziz=+4）欧拉（Euler）公式对任意复数成立三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指数数函函数数由由正正弦弦和和余余弦弦函函数数定定义义)5现在学习的是第79页，共84页 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxi

39、yxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(由正弦和余弦函数的定义得)4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy现在学习的是第80页，共84页 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函数的定义)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点Zkkzz 2cos 的零点为的零点为现在学习的是第81页，共84页7)(4)sin22 cos2yyyyyyeeeeyiyieei

40、y-=+=+由由式式知知.1sin,1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz思考题.1cos,1sin:,cos,sin zzzz有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数现在学习的是第82页，共84页)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定义称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz,)2双曲函数现在学习的是第83页，共84页.,一一定定是是多多值值函函数数反反函函数数且且是是周周期期函函数数，故故它它的的定定义义的的函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定义义析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3现在学习的是第84页，共84页