函数极限与连续讲稿.ppt

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1、函数极限与连续第一页，讲稿共五十三页哦1.分析基础分析基础:函数函数,极限极限,连续连续(上册第一章上册第一章）2.微积分学微积分学:一元微积分一元微积分(上册第二、三章上册第二、三章)4.无穷级数无穷级数(下册下册)3.向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何(下册下册)二、二、主要内容主要内容 多元微积分多元微积分(下册下册)任务任务:通过一年的学习通过一年的学习,要牢固掌握要牢固掌握基本概念、基本理论基本概念、基本理论、基本计算方法、基本计算方法;能熟练地用所学的方法去解决一些能熟练地用所学的方法去解决一些实际问实际问题题.高等数学的高等数学的核心是微积分核心是微积分.上页 下页第二

2、页，讲稿共五十三页哦第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数、极限与连续 上页 下页第三页，讲稿共五十三页哦 第一章 1.1.2 常量与变量常量与变量 1.1.3 函数的概念函数的概念 1.1.1 集合集合第1.1节函 数 1.1.4 函数的基本性质函数的基本性质 1.1.5 反函数和复合函数反函数和复合函数1.1.6 初等函数初等函数 上页 下页第四页，讲稿共五十三页哦 一般以大写的拉丁字母一般以大写的拉丁字母A,B,C,M,X,等表示集合，等表示集合，以小写的拉丁字母以小写的拉丁字母a,b,c,m,x,等表示集合的元素等

3、表示集合的元素.a是集合是集合A的元素，读作的元素，读作a 属于集合属于集合 A，记作，记作 元素元素a不属于集合不属于集合A，记作，记作1.1.1 集合集合一、集合的概念及运算一、集合的概念及运算.aA常用的数集及记号：常用的数集及记号：全体实数的集合全体实数的集合R=-xx 上页 下页.aA第五页，讲稿共五十三页哦xOy平面上全体点组成的集合平面上全体点组成的集合:(,),2R x yxy 自然数集自然数集:,2,1,0Nn整数集合整数集合:,3,2,1,0,1,2,3,Z 有理数集有理数集:正整数集正整数集:1,2,3,+Z 上页 下页qpQ p 与与 q 互质互质0,pZ qZ q,R

4、yRxyxRR,),(直积直积)第六页，讲稿共五十三页哦2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算若BA,AB 且则称则称 A 与与 B 相等相等,.BA 记作记作记作记作A是是 B 的子集的子集,或称或称 B 包含包含 A,.BA 上页 下页 子集子集 UUC AA交集交集 xBAAxBx且且差集差集 ABxAxBx且且余集或补集余集或补集(UC AUAU其中AABBBABA并集并集 xBAAxBx或或为全集为全集）运算运算 规律规律（交换律，结合律，分配律，对（交换律，结合律，分配律，对偶律）偶律）第七页，讲稿共五十三页哦开区间开区间闭区间闭区间二、区间与邻域二、区间与邻域 ),xba

5、,(xbabxa无限区间无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(x)(abox 上页 下页 ),(xbaaxbaxb ,xbaaxb半开区间半开区间 Rxoxab 有限区间有限区间 oxaoxb区间长度区间长度两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)第八页，讲稿共五十三页哦例例1 用区间表示下列点集用区间表示下列点集.1(1)22,(2)0cos1,(3)12xxxx 上页 下页第九页，讲稿共五十三页哦 ),(Uxa点点a 的的 邻域邻域其中其中 a 称为邻域中心称为邻域中心,称为邻域半径称为邻域半径.去心去心 邻域邻域左左 邻域邻域:,),(aa右右 邻域邻域:.),(aa

6、)(aaa 上页 下页0 xa2.邻域邻域 (,)ax xax axa第十页，讲稿共五十三页哦1.1.2 常量与变量常量与变量常量常用常量常用a,b,c,等表示等表示,变量常用变量常用x,y,z,s,t,u,v,表示表示.1.1.3 函数的概念函数的概念1.函数的定义函数的定义定义定义1.设设 x 和和 y 是两个变量，数集是两个变量，数集,RDD中每取定一个值时，中每取定一个值时，y 按照某种对应法则按照某种对应法则 f 总总有唯一确定有唯一确定的值的值与之对应，则称与之对应，则称 y 是是 x 的函数，记作的函数，记作如果当如果当x在在 上页 下页第十一页，讲稿共五十三页哦定义域定义域Dx

7、xfy,)(称为值域称为值域.(,)(),Gx y yf x xDxy),(baD abxy自变量自变量因变量因变量(),Yy yf xxD称为称为函数的图形函数的图形.若对于每一个若对于每一个,xD与之对应的与之对应的y 值是唯一的，这种值是唯一的，这种函数称为单值函数称为单值函数函数.之对应，则称为多值函数之对应，则称为多值函数.如果对应于一个如果对应于一个x值可以有两个或两个以上的值可以有两个或两个以上的y 值与值与 上页 下页第十二页，讲稿共五十三页哦如如：由方程：由方程 可确定可确定 y 是是x 的一个的一个 多值函多值函称为这个多值函称为这个多值函数的数的两个单值分支两个单值分支.

8、数数.oxyRPQ 上页 下页222xyR2222yRxyRx 与第十三页，讲稿共五十三页哦 对应法则对应法则 定义域定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量使表达式及实际问题都有意义的自变量集合集合.（定义域的两种情况定义域的两种情况）2 函数概念的两要素函数概念的两要素例例2 判断下列各组中的函数是否为同一函数判断下列各组中的函数是否为同一函数.上页 下页2221 lg2lg2 1cos(3)(4)()()(5)1xxxxxxxf xf yx2（）与，（）与sin与与与第十四页，讲稿共五十三页哦 求由解析式表示的函数的定义域时求由解析式表示的函数的定义域时,常有以下四种情常有以下四种情况况

9、:(1)分式中分母不能为零分式中分母不能为零;(2)偶次方根号下的表达式大于或等于零偶次方根号下的表达式大于或等于零;(3)几类特殊函数特殊对待几类特殊函数特殊对待,如对数的真数必须大于零如对数的真数必须大于零,(4)分段函数的定义域为各段上定义域之并分段函数的定义域为各段上定义域之并.例例3 求下列函数的定义域求下列函数的定义域,并用区间表示并用区间表示.22x11 y=(2)y=3-x+arctanx-3x+2x（）上页 下页反正弦后面的表达式的绝对值小于或等于反正弦后面的表达式的绝对值小于或等于1,第十五页，讲稿共五十三页哦如如,绝对值函数绝对值函数xyoxy xxf)(0,xx0,xx

10、定义域定义域 RD值域值域),0)(Df三三、函数表示方法函数表示方法 表格法表格法 图示法图示法 解析法解析法在定义域的不同部分在定义域的不同部分(互不相交互不相交)用不同的数学式子表示的用不同的数学式子表示的函数称为函数称为分段函数分段函数.上页 下页第十六页，讲稿共五十三页哦例例4.已知函数已知函数 1,110,2)(xxxxxfy求求)(21f及及,)(1tf解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义函数无定义并写出定义域及值域并写出定义域及值域.定义域定义域 0,D 值值 域域()(0,)f D(再介绍几个函数的例子再介绍几个函数的例子)上页 下页第十

11、七页，讲稿共五十三页哦符号函数符号函数xysgn当当 x 0,1当当 x=0,0当当 x 0,1xyo11取整函数取整函数xy 当当Znnxn,1,nxyo134212 上页 下页第十八页，讲稿共五十三页哦狄利克雷函数狄利克雷函数)(xfx 为有理数为有理数x 为无理数为无理数,1,0实际问题举例：实际问题举例：例例5 火车站收取行李托运费的规定如下火车站收取行李托运费的规定如下:当行李不超过当行李不超过50kg时时,按按基本运费计算基本运费计算,如从长沙到某地每如从长沙到某地每kg收收0.15元；当超过元；当超过50kg时时,超重部分按每超重部分按每kg收收0.25元元.试求长沙到该地的行李

12、托运费试求长沙到该地的行李托运费y(元元)与重量与重量x(kg)之间的函数关系之间的函数关系.上页 下页解解的正整数的正整数5050 xx),50(25.05.7,15.0 xxy第十九页，讲稿共五十三页哦1.1.4 函数的基本性质函数的基本性质设函数设函数,)(Dxxfy且有区间且有区间.DI(1)有界性有界性 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性单调性,Dx,0M使使,)(Mxf称称)(xf为有界函数为有界函数.,Ix,0M使使,)(Mxf称称)(xf在在 I 上有界上有界.,Dx使使若对任意正数若对任意正数 M,均存在均存在,)(Mxf则称则称

13、 f(x)无界无界.称称 为为有上界有上界称称 为为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM xy1x2xO 上页 下页,21Ixx时时,)()(21xfxf若称称)(xf为为 I 上的上的,)()(21xfxf若称称)(xf为为 I 上的上的单调递增函数单调递增函数;单调递减函数单调递减函数.21xx 当当第二十页，讲稿共五十三页哦xyoxx,Dx且有且有,Dx若若,)()(xfxf则称则称 f(x)为偶函数为偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:若若)(xf在在 x=0 有定义有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有例如例如,2)(xxeexf

14、yxch 偶函数偶函数xyoxexexych双曲余弦双曲余弦 记记 上页 下页()(),fxf x(3)奇偶性奇偶性 第二十一页，讲稿共五十三页哦xyo又如又如,2)(xxeexfy奇函数奇函数xexexyshxsh双曲正弦双曲正弦 记记再如再如,xxychshxxxxeeee奇函数奇函数oyx11xth双曲正切双曲正切 记记xyth 上页 下页第二十二页，讲稿共五十三页哦(4)周期性周期性0,.,TstxDxTD 若有且()()f xTf x则称则称)(xf为为周期函数周期函数,to)(tf22xo2y2称称 T为为周期周期(一般指一般指最小正周期最小正周期).周期为周期为 周期为周期为2注

15、注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常值函数常值函数Cxf)(狄利克雷函数狄利克雷函数)(xfx 为有理数为有理数x 为无理数为无理数,1,0 上页 下页第二十三页，讲稿共五十三页哦1.1.5 反函数与复合函数反函数与复合函数一、一、反函数（回顾定义）反函数（回顾定义）习惯上习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成的反函数记成)(,)(1Dfxxfy则其反函数则其反函数(减减)，1)若若 yf(x)单调递增单调递增,)(1存在xfy(减减).且也单调递增且也单调递增 性质性质:2)函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数)(1xfy的图形关于直线的图形关于直线x

16、y 对称对称.上页 下页第二十四页，讲稿共五十三页哦例如例如,对数函数对数函数),0(,lnxxy互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称.),(,xeyx指数函数指数函数回顾：回顾：如何求反函数？如何求反函数？上页 下页 由方程由方程 解出解出 )(xfy),(1yfx再将再将 与与 对换对换,即得所求函数的即得所求函数的 xy求分段函数的反函数求分段函数的反函数,只要分别求出各区间段的只要分别求出各区间段的 1().yfx反函数反函数反函数及定义域即可反函数及定义域即可.)(xfy)(1xfyxy),(abQxyo(,)P a b 求反

17、函数的一般步骤为求反函数的一般步骤为:第二十五页，讲稿共五十三页哦例例5、求下列函数的反函数、求下列函数的反函数.211,(2)3cos2,1,1,(3),14,2,4.xxyyxxxxyxxx （）解解 11,11(2)cos,23xyxxyarc（）上页 下页2,1(3),116.log,16xxyxxxx 第二十六页，讲稿共五十三页哦(3)(3)解解 由由 1,xxy,得反函数为得反函数为 1,xxy41,2xxy由由,得反函数为得反函数为xy;161,x于是反函数为于是反函数为 综上所述综上所述,所求反函数为所求反函数为 .16,log161,1,2xxxxxxy2log,16.yxx

18、 xyx4,22log,16.xyy 由由,得得 上页 下页第二十七页，讲稿共五十三页哦二、二、复合函数复合函数,yu1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则则Dxxgfy,)(设有函数设有函数称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1)(DDg不可少不可少.例如例如,函数函数,uyecosux但函数但函数 22,arcsinxuuy不能构成复合函数不能构成复合函数.可构成复合函数可构成复合函数.函数函数 21ux，可构成复合函数可构成复合函数.1,1x 上页 下页第二十八页，讲稿共五十三页哦两个以上

19、函数也可构成复合函数两个以上函数也可构成复合函数.uye，sin.xyesinuv，vx例如例如,构成的复合构成的复合函数为函数为例例6、求求lncosyx的定义域的定义域.上页 下页 求复合函数定义域的步骤是求复合函数定义域的步骤是“从外到内从外到内”(即由外层到内即由外层到内层考察相应函数在满足前一层次条件下的定义域层考察相应函数在满足前一层次条件下的定义域,直到最内层直到最内层),),求出使算式有意义的一切实数求出使算式有意义的一切实数.2222kxk解解 由由 ,0cos x得得.,2,1,0,k第二十九页，讲稿共五十三页哦例例7、已知已知f(x)的定义域为的定义域为(0,4，求求f(

20、x+a)的定义域的定义域.1(),(1),()1,1xf xxxxx 例例8、已知已知求求 ().fx例例9、已知已知21()1,(0),fxxxx求求f(x)的表达式的表达式.解解 由由 ,40ax4,axa,4.aa域为域为 解得解得 )(axf故故 1()1(1)().1()1(1)2xxxfxxxx解解(代入法代入法)上页 下页1,ux(0,0)xu解解 令令1,xu得得于是由原式得于是由原式得211()1f uuu故故211uuu 的定义的定义 第三十页，讲稿共五十三页哦例例10、已知、已知22(sin)cos2tan,(01),fxxxx求求f(x)及及2(cos).fx 上页 下

21、页2221(sin)1 2sin1,1 sinfxxx 解解 因为因为.10,112)(xxxxf故故2221(cos)2cos1 cosfxxx 2(1cos2)cscxx 2cos2cot.xx 第三十一页，讲稿共五十三页哦及定义域及定义域.例例11 已知已知2(),()1,()0,xf xefxxx 求求 的表达式的表达式()x解解 由函数由函数 的表达式可得的表达式可得:f()ln(1),xx 从而从而()0,x又又.)1ln()(xx故故.0 x定义域为定义域为 2()1,xex 上页 下页解解1,03 1(3)2,13 2xf xx 1,32.2,21xx .1,3故定义域为故定义

22、域为求求 的表达式和定义域的表达式和定义域.例例1212 设设1,01(),2,12xf xx )3(xf第三十二页，讲稿共五十三页哦1、指数函数、指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 一、基本初等函数一、基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲函数统称为基本初等函数。函数统称为基本初等函数。基本初等函数基本初等函数第三十三页，讲稿共五十三页哦2、对数函数、对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(第三十四页，讲稿共五十三页哦3

23、、幂函数幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 第三十五页，讲稿共五十三页哦4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 第三十六页，讲稿共五十三页哦xycos xycos 余弦函数余弦函数第三十七页，讲稿共五十三页哦正切函数正切函数xytan xytan 第三十八页，讲稿共五十三页哦xycot 余切函数余切函数xycot 第三十九页，讲稿共五十三页哦正割函数正割函数xysec xysec 第四十页，讲稿共五十三页哦xycsc 余割函数余割函数xycsc 第四十一页，讲稿共五十三页哦5、反三角函数、反三角函数xyarcsin xyarcsin

24、 反反正正弦弦函函数数第四十二页，讲稿共五十三页哦xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数第四十三页，讲稿共五十三页哦xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数第四十四页，讲稿共五十三页哦 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三三角函数和反三角函数角函数,双曲函数双曲函数统称为统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc第四十五页，讲稿共五十三页哦6、双曲函数、双曲函数 2sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.x

25、yoxexexyshxyoxexexych第四十六页，讲稿共五十三页哦xxxxeeeexxx coshsinhtanh双双曲曲正正切切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,oyx11xyth第四十七页，讲稿共五十三页哦双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 第四十八页，讲稿共五十三页哦反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh x

26、y 反双曲正弦反双曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy第四十九页，讲稿共五十三页哦.),1 内内单单调调增增加加在在 ),1 :D y反双曲余弦反双曲余弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y第五十页，讲稿共五十三页哦.11ln21xx )1,1(:D奇函数奇函数,.)1,1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh arxtanharx y第五十一页，讲稿共五十三页哦 凡是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的凡是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函数复合所构成并可用函数复合所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数，称为的函数，称为初等函数初等函数.二、二、初等函数初等函数是初等函数，例22sin13,1log:xexyxexyxxa.sgn都不是初等函数等、函数、而xyxyDirichlet第五十二页，讲稿共五十三页哦 上页 下页例例13、分解下列复合函数、分解下列复合函数.ln,yuarcsin,uv,vw21.wx解解(1),uye2,uvsin.vx(2)22arcsin1sin(1)ln,(2)xxyye第五十三页，讲稿共五十三页哦