函数的极限 (3)讲稿.ppt

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1、上一页上一页下一页下一页返回返回关于函数的极限(3)第一页，讲稿共四十七页哦数列可以看作是自变量为正整数的一数列可以看作是自变量为正整数的一个函数，那么，对于函数就有如下问题：个函数，那么，对于函数就有如下问题：数列极限的直观意义是：当数列极限的直观意义是：当n无限增大时，无限增大时，数列的项数列的项xn无限接近某一个常数无限接近某一个常数A.第二页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放第三页，讲稿共四十七页哦.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察可知通过上面演示实验的观察可知:我们把常数我

2、们把常数称为函数称为函数sin()xf xx 当当x 时的极限。时的极限。一般说来：一般说来：如果在如果在x(|x|无限增大）的过程中，无限增大）的过程中，那么常数那么常数称为函数称为函数f(x)当当x时的时的极限极限 对应的函数值对应的函数值f(x)无限地接近于某一个无限地接近于某一个常数常数，第四页，讲稿共四十七页哦;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.第五页，讲稿共四十七页哦 定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：,如

3、果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 （不论它多么小不论它多么小），），总存在着正数总存在着正数X，使得对于适合使得对于适合|x|X的一切的一切x,不等式不等式|f(x)-A|恒成立，恒成立，那么常数那么常数 A 就叫就叫函数函数)(xf当当 x时的极限时的极限记作记作)()()(lim xAxfAxfx当当或或设函数设函数f(x)当当|x|大于某一正数时有定义。大于某一正数时有定义。第六页，讲稿共四十七页哦2、几点说明、几点说明:（1）定义中的定义中的是用来刻画是用来刻画 f(x)与与 A的接近程度，的接近程度，正数正数X是用来刻画是用来刻画|x|充分大的程度，充分大的程度，X是随是随

4、而确定；而确定；第七页，讲稿共四十七页哦xxysin(2)、几何意义、几何意义:X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA第八页，讲稿共四十七页哦:.10情形情形x.)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx)(lim（）另两种情形（）另两种情形:Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且第九页，讲稿共四十七页哦例例1证明证明1lim1.xxx 证证111xxx X1,

5、0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx 11,xx 1lim1.xxx 故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx y是水平渐近线第十页，讲稿共四十七页哦xxysin 例例2.0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 X1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故第十一页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十二页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十三页，讲稿共四十

6、七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十四页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十五页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十六页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十七页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十八页，讲稿共四十七页哦.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx第十九页，讲稿共四十七页哦二、1121()21xf xx（）考察函数考察函数当当x趋于趋于1时的变化时的

7、变化趋势趋势 1()(1)2f xx虽然虽然f(x)在在x=1处无定义，处无定义，但当但当x1而趋于而趋于1时，时，对应的函数值对应的函数值无限地接近于常数无限地接近于常数1结果：结果：第二十页，讲稿共四十七页哦 如果如果x趋于趋于x0时，对应的函数值时，对应的函数值f(x)无限无限接近接近于常数于常数A,那么就说常数那么就说常数是函数是函数f(x)当当xx0时的时的极限极限.一般地，一般地，0lim()xxf xA 0()()f xAxx记作记作或或第二十一页，讲稿共四十七页哦;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻

8、域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 第二十二页，讲稿共四十七页哦定定义义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当定义：定义：00 xx的一切的一切x,对应的函数值对应的函数值f(x)都满足不等式都满足不等式 Axf)(那末常数那末常数A就叫函数就叫函数f(x)当当xx0 0时的极限时的极限设函数在的某一去心邻域内有定义，设函数在的某一去心邻域内有定义，A是一个常是一个常数数如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小)，总存在正数总存在正数，使得对于适合不等式使得对于适合不等式第二十三页，讲稿共四十七页哦2、几何解释、几何解释:)(

9、xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第二十四页，讲稿共四十七页哦例例3).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf)(CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例4.lim00 xxxx 证证明明证证,

10、)(0 xxAxf ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 第二十五页，讲稿共四十七页哦例例5 211lim1.21xxx 证证21()12(1)xf xAx ,0 任给任给2,01x 函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.112x ,)(Axf要要使使211,2(1)xx 211lim1.2(1)xxx 证明证明 只要取只要取 就有就有 当当 时，时，第二十六页，讲稿共四十七页哦例例.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf ,0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,0 xx就就

11、有有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明第二十七页，讲稿共四十七页哦例如例如,.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;00 xx记记作作yox1xy 112 xy三、函数的单侧极限第二十八页，讲稿共四十七页哦左极限左极限右极限右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记

12、记作作第二十九页，讲稿共四十七页哦左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意精确定义精确定义 第三十页，讲稿共四十七页哦.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x第三十一页，讲稿共四十七页哦上一页上一页下一页下一页返回返回,1

13、()1,1xxf xxx1lim()xf x1 0lim()xf x 1 0lim(1)2xx 1 0lim()xf x 1 0lim1xx 1 0lim()xf x 1 0lim()xf x 1lim()xf x1例例 设函数设函数，求，求解解 函数的图像如图，函数的图像如图，即有，即有，所以，所以，不存在不存在 由于由于11yxO第三十二页，讲稿共四十七页哦四、函数极限的性质2.有界性有界性定定理理 若若在在某某个个过过程程下下,)(xf有有极极限限,则则存存在在过过程程的的一一个个时时刻刻,在在此此时时刻刻以以后后)(xf有有界界.1.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,则

14、则极极限限唯唯一一.第三十三页，讲稿共四十七页哦).0)(0)(,),(,0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理(保号性保号性).0(0),0)(0)(,),(,0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论3.保号性保号性第三十四页，讲稿共四十七页哦推论推论).()(),(,0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设4.保序性保序性定理定理(保序性保序性).),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx

15、 则则有有若若设设第三十五页，讲稿共四十七页哦.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系).)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时的子列时的子列当当为函数为函数即即则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列中中或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定理定理第三十六页，讲稿共四十七页哦证证.)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx)(lim0.0,0,0

16、0 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)(Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又第三十七页，讲稿共四十七页哦例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx,11sinlim nnn,11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在存在,且相等且相等.第三十八页，讲稿共四十七页哦xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取,0lim nnx;0 n

17、x且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且第三十九页，讲稿共四十七页哦 nxnnnsinlim1sinlim 而而,1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx,0 第四十页，讲稿共四十七页哦四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)第四十一页

18、，讲稿共四十七页哦过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(第四十二页，讲稿共四十七页哦思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？第四十三页，讲稿共四十七页哦思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 x

19、fx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.第四十四页，讲稿共四十七页哦.01.01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题第四十五页，讲稿共四十七页哦.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存在存在时的极限是否时的极限是否在在四、讨论：函数四、讨论：函数 xxxx 第四十六页，讲稿共四十七页哦上一页上一页下一页下一页返回返回感谢大家观看感谢大家观看9/5/2022第四十七页，讲稿共四十七页哦