欧拉图在生活中的应用本科毕业论文(15页).doc

《欧拉图在生活中的应用本科毕业论文(15页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《欧拉图在生活中的应用本科毕业论文(15页).doc（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-欧拉图在生活中的应用本科毕业论文-第 11 页Liaoning Normal University（2013届）本科生毕业论文(设计)题 目： 欧拉图在生活中的应用学 院： 数学学院专 业： 数学与应用数学班级序号： 11班22号学 号： 20111122060022学生姓名： 陈旭指导教师： 张楠 2013年5月目 录摘要1Abstract1前言21欧拉图问题提出的研究背景和定义311问题提出的研究背景312定义32欧拉图的判定定理和实例421欧拉图的判定定理422欧拉图实例53欧拉图的应用831中国邮递员问题及算法832牛奶配送问题13参考文献17致谢18欧拉图在生活中的应用摘要：欧拉图

2、起源于哥尼斯堡七桥问题，通过图中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉图在现实生活中有着较广泛的应用。本文主要介绍了欧拉图问题提出的研究背景、相关概念和常用的判定定理、判别法及算法以及欧拉图在生活中的实际应用例子。关键词：欧拉图；判定定理；算法；应用。Abstract: Euler graph originated in Konigsberg seven Bridges problem, all through the picture edge once and only once tra

3、veled all the vertices in the graph of pathways called Euler path, all through the picture edge once and once traveled all vertices of Euler circuit. With Euler circuit diagram called Euler graph. Euler graph has a wide application in real life. Euler graph problem is mainly introduced in this paper

4、 puts forward the research background, related concepts and common decision theorem, Euler graph method and algorithm as well as practical application example in the life.Key words: Euler graph; Judgment theorem; Algorithm; Application.前言图论是近210年来发展十分迅速、应用比较广泛的一个新兴的数学分支，19世纪末期，图论已经用来研究电网络方程组和有机化学中的分

5、子结构；20世纪中叶以后，借助于计算机，图论又用来求解生产管理、军事、交通运输、计算机以及通信网络等领域中的许多离散性问题，同时图论中的一些著名问题也借助于计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学和管理科学等领域中，因此受到全世界越来越广泛的重视。图论的内容十分丰富，涉及面也比较广。本文章所涉及的只是图论中的欧拉图的问题提出背景、一些基本定义、判定定理和生活中的应用。欧拉图是由哥尼斯堡七桥问题诞生的，讲述的是：18世纪，普鲁士的哥尼斯堡城有一条贯穿全城的河流，河中有两个岛，有七座桥将两岸与岛屿及岛屿之间连接，当时当敌人们热衷于一个难题：一个散布者怎样不重复地走完七桥，最后回到出发

6、点。这个问题困扰了人们许多年，成千上万的人试过了，但都没有成功。这个问题引起了欧拉的注意，为了寻找答案，欧拉对此问题进行观察、思考和研究，终于解决了这一难题，就是我们现在学习的欧拉图的判定方法。最后讲述了欧拉图在生活中的应用问题，是本文的重要组成部分。运用欧拉图的相关定理来解决生活中的实际应用问题任重而道远，需要我们共同努力为国家贡献力量！1欧拉图问题提出的研究背景和定义11问题提出的研究背景18世纪，普鲁士的哥尼斯堡城有一条贯穿全城的河流（普雷格尔河），河中有两个岛，有七座桥将两岸与岛屿及岛屿之间连接，当时当敌人们热衷于一个难题：一个散布者怎样不重复地走完七桥，最后回到出发点。这个问题困扰了

7、人们许多年，成千上万的人试过了，但都没有成功。这个问题引起了欧拉的注意，为了寻找答案，欧拉对此问题进行观察、思考和研究，“也许并不存在这样的走法？”为了证明自己的猜想，他首先考虑到了集合中的“列举法”，但检验起来却十分麻烦，而且在同样的问题中，如果桥更多，那么“列举法”就无使用价值了，因此他放弃了这个方法，后来他改变了思考的角度，发现七桥问题仅仅涉及物体的位置关系，而与路程无关，于是他用点、表示岛屿，点、表示河的两岸，用连接两点的线表示桥，这样就可以画出如图1-1所示的无向图，这个问题就转化为“能否一笔画出该无向图且最后返回起点”。哥尼斯堡城七桥问题是否有解，就相当于这个无向图是否存在经过图中

8、每条边一次且仅一次的简单回路。我们知道，从某一个点出发最后又回到这个点，经过这一点的边的条数一定是偶数；经过中间的每一点，有进去的一条边，又有出来的一条边，因此，经过这些点的边的条数也是偶数。根据这个道理，我们可以看到图中经过每一点巧妙地解决了这个困扰人们多年但又十分有趣的问题。那这个方法也就成了我们现在学习的欧拉图的判定方法。图1-112定义定义1 图：图论中将图定义为一个偶对，其中表示顶中点的集合，是无序组集合的一个子集合，集合中的元素在出现不止一次边的集合。分别用和表示图的顶点集合与边的集合。如果和都是有限集合，则称为有限图，否则称为无限图。若，则称为阶图。定义2 平凡图：只有一个顶点的

9、图叫做平凡图。定义3 关联：一条边的端点称为与这条边关联。定义4 连通：设是图中的两个顶点，若中存在一条道路，则称顶点和是连通的。定义5 度：设中与顶点关联的边的数目，称为（在中）的度，记作。定义6 回路：设为图，中顶点与边的交替序列称为到的通路，若，则称通路为回路。（若的所有边各异，则称为简单回路。）定义7 通过图中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。定义8 给定有向图，经过中每边一次且仅一次的有向迹称为有向欧拉图；经过中每边一次且仅一次的有向闭迹(回路)称为有向欧拉回路。定义9 含欧拉

10、回路的无向连通图与含有向欧拉回路的弱连通有向图，统称为欧拉圈。定义10 欧拉闭迹：经过图的每条边恰好一次的闭迹。定义11 欧拉迹：经过每条恰好一次的迹。2欧拉图的判定定理和实例21欧拉图的判定定理下面介绍欧拉图的一些判定定理：引理：设一般图，如果它的每个顶点的度数都是偶数，则的每条边都属于一条闭迹，因而也属于一个圈。证明：利用下面的算法，可以找到一条包含任意指定边的闭迹。在该算法中，我们要构造一个顶点集和一个边集。求闭迹的算法i) 令ii) 令iii) 令iv) 当时，执行a) 找出一个不在中的边。b) 将放人中（也许已在中）。c) 将放入中。d) 令。 这样，经过i)iii)步初始化以后，在

11、算法中的，我们都要找到一条新边，它邻接于最后一次放入中的顶点，再将和分别放入和中，并使的值增1.重复这个过程，直到最终又到达为止。 假设只要时，满足iv)a)的一条边总存在。设的终值它为，所产生的顶点集，边的多重集，于是，根据算法得到的就是包含初始边的一条闭迹。因此，我们只需证明：如果，那么就有一个不在中的边与邻接。正是在这里，用到了偶度次顶点的假设。容易看到：算法中每步iv)的d)结束时，一般图的每个顶点都具有偶度次，只有顶点（它起始于奇度1）和最新加入的顶点（它的度数刚刚增加1）可能除外。此外，和具有偶度次，当且仅当，因此，如果，则在一般图中就具有奇度次。既然在一般图中具有偶度次，则必存在

12、一个还不属于的边与邻接。所以，当算法结束时，必有，从而式是一条闭迹。由于一条闭迹中的边可以被划分为圈，所以我们完成了引理的证明。定理1 设是一个连通一般图，则中存在闭欧拉迹，当且仅当中每个顶点的度数是偶数。证明：我们已经观察到了：如果中有一条闭欧拉迹，则的每个顶点都具有偶度次。现在设是一个连通一般图，且它的每个顶点都具有偶度次，我们选定的任意一条边，并应用引理证明中给出的求闭迹的算法，求得一条包含边的闭迹。令是去掉中属于闭迹的边后得到的一般图，则的所有顶点都具有偶度次。如果中至少含有一条边，则由于的连通性，中至少有一条边与闭迹中的某个顶点邻接，我们对和边应用算法求出一条包含边的闭迹。现在我们把

13、和在顶点处拼接在一起，得到一条包含和的所有边的闭迹。令是中去掉的边后得到的一般图，如果中至少含有一条边，则它必有一条边与闭迹中的某个顶点邻接，再对和边应用算法，求得一条包含边与闭迹，又将和在顶点出拼接，得到一条包含，和的所有边的闭迹。重复上述过程，直到所有的边都包含在一条闭迹 中为止。因此，重复调用求闭欧拉迹的算法。定理2 设是一个连通的一般图，则中存在一条开欧拉迹，当且仅当中恰好有两个奇度顶点和。此外，中任均连接意一条开欧拉迹和。证明：首先，回忆定理（设是一个一般图，则其所有顶点的度数之和是一个偶数，从而，其奇度顶点的个数也必为偶数。): 中奇度顶点的个数必为偶数。如果中存在一条开欧拉迹，则

14、它必连接中的两个奇度顶点和，而中的其他顶点必是偶度次的（因为欧拉迹每次进入并离开一个不同于和的顶点时，使得与邻接的边必成对出现）。现在假设是连通的，且恰好有两个奇度顶点和，令是通过对增加一条连接和的新边而得到的一般图，则是连通的，且此时的所有顶点都是偶度次的，因此，由定理1，中存在一条欧拉迹。我们可以把看作起始与顶点，其第一条边是连接和的新边的闭欧拉迹，从中去掉这条边，我们就得到了一条中连接和的，且起始与顶点的开欧拉迹。我们可以利用求的一条闭欧拉迹的算法，得到求的一个开欧拉迹的算法。定理3 设是一个连通一般图，并设中奇度顶点的个数，则的边可以被划分为个开迹，但不能被划分为少于个开迹。定理4 有

15、向图是欧拉图当且仅当是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。定理5 有向图是半欧拉图当且仅当是单向连通的，且中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。定理6 是非平凡的欧拉图当且仅当是连通的且为若干个边不重的圈之并。22欧拉图实例例1 设是给定正整数，由个圈组成一个（有向或无向）图，最少要添加的几条边使之成为欧拉图？图2-1解答：在无向图中，假设如果有2个圈，不重合，加上最少的边成为欧拉图，即在这2个圈之间加2条平行边（如图2所示）。因为圈中每个点的度数是2，已经符合欧拉图的条件，如果再添加边必须在一个顶点上再加两条边与其相邻的顶点连接（如

16、图3所示），这样才能使之符合欧拉图的每个顶点的度均为偶数的条件。于是，可以想象，个圈可以假设成个点，要使个独立点成为图，即在这2个圈之间加2条方向相反的边，因为圈中每个点的度数是2（1入1出），已经符合欧拉图的条件，必须在一个顶点上再加两条方向相反的边与其相邻的顶点连接，这样才能使之符合欧拉图的每个顶点的度均为偶数且出度等于入度的条件。于是，可以想象，个圈可以假设成个点，要使个独立点成为图，那么最少必须加上条边且方向相同才能使之成为欧拉图。例2 验证一个连通的线的网络，能够无折回地走通时，则网络中的奇度顶点要么为0，要么为2。解答：在计算机领域中，网络就是用物理链路将各个孤立的工作站或主机连在

17、一起，组成数据链路，从而达到资源共享和通信的目的。网络是在物理上或和逻辑上，按一定拓扑结构连接在一起的多个结点和链路的集合。这里如果我们把工作站和主机都看做是结点，链路看做是边的话，那么连通的网络就是判断有没有欧拉通路的网络，结合欧拉图的判定定理，每个结点的度都是偶数或只有奇度顶点（其它点的度都为偶数），才能构成欧拉通路。所以一个连通的线的网络，能够无折回地走通时，网络中的奇度顶点个数要么为0，要么为2，具有可信性和可执行性。例3 设是欧拉图，但不是平凡图，也不是一个环则证明：只需证明中不肯能有桥（如何证明？） 图2-2 图2-3上图中，图2-2，图2-3两图都是欧拉图，均从点出发，如何一次成

18、功地走出一条欧拉回路来？例4 多米诺骨牌 28块，能否排成一圈使两两相邻的半边的点数相同，问是否可能？解答：种例5 “两只蚂蚁比赛问题”。两只蚂蚁甲、乙分别处在图中的顶点处，并设图中各边长度相等。甲提出同乙比赛：从它们所在顶点出发，走过图中所有边最后到达顶点处。如果它们速度相同，问谁最先到达目的地？解：图中，有两个奇度顶点，因此存在从到的欧拉通路，蚂蚁乙走到只要走一条欧拉通路，边数为9，蚂蚁甲要想走完图中所有边到达，至少要先走一条边到达，再走一条欧拉通路，故它至少要走10条边到达，所以乙必胜。图2-4例6下面图中谁是欧拉图？谁是非欧拉图但存在欧拉迹？谁是非欧拉图且不存在欧拉迹？图2-5 图2-

19、6 图2-7解：图2-5是欧拉图；图2-6是非欧拉图，但存在欧拉迹；图2-7中不存在欧拉迹。例7 证明：若和是欧拉图，则是欧拉图。证明：首先证明：对任意，有：事实上，设是的任意一个邻点，一定有的一个邻点，反之亦然。同理，对于的任意一个邻点，一定有的一个邻点，反之亦然。即：在乘积图中邻点个数等于在中邻点个数与在中邻点个数之和。所以，是欧拉图，那么顶点度数为偶数。其次证明：是连通的。由于，都是欧拉图，所以都连通。设最短的路最短的路分别为： 那么，由乘积图的定义：在乘积图中有路：这样，我们证明了是连通的且每个顶点度数为偶数。即它是欧拉图。3欧拉图的应用31中国邮递员问题及算法中国邮递员问题中国邮递员

20、问题，是我国梅谷教授于1960年首先提出而得名。设邮递员从邮局出发，遍历他所管辖的每一条街道，将信件送到目的地后返回邮局，要求所走的路径最短。当然如若他所管辖的街道构成一欧拉回路，则这欧拉回路便是所求路径。如若不然，即存在度数为奇数的顶点，必然有些街道需要多走至少1遍，这时用中国邮路问题算法可求出最短路径。现将中国邮路问题用图论的语言描述如下：设是连通图，而且对于所有的，都赋以权，求从点出发，通过所有至少一次最后返回点的回路，使得达到最小。不失一般性，假定图存在度数为奇数的顶点，如若不然，存在一条欧拉回路，它就是所求的邮路。我们可以设想，有些边添加若干次使得到的图的所有顶点的度数均为偶数，即为

21、欧拉图，问题导致求图的欧拉回路，但图不再是简单图，它具有平行边，设边重复了次，去掉偶数条后，仍保持各顶点的度数为偶数，即所得到的图仍是欧拉图。为使总数达到最小，我们不妨假定每条边重复数目不超过1。仍使邮路达到最短，也就是要求重复边的长度达到最短。设是所求的重复边的集合，使达到最小，对于任一简单回路，可分解为与相交的部分，及其余。定理7 设是使达到最小的重复边集合，当且仅当对于图的任一回路，恒有。证明：必要性。如若不然，假定存在使这意味部分的权超过其余部分的权，令即也可作为重复边使图成为欧拉图。这里是对称差。显然，可使图的所有顶点保持其度数为偶数，由于假定故跟的假设相矛盾。必要性得到了证明。注意

22、：这里分解为与共同部分，还有其余部分，后者出现在中。充分性证明。假定存在由的边作为重复的边，满足定理的条件：对于任一回路有可以证明等式令，则图没有度数为奇数的顶点，可分解成若干简单回路，或记以则有但，故同理即所以充分得证。从上定理的证明过程提供了构造中国邮路问题的算法。设已知图中顶点的度数为奇数的点为。算法第一步：从1到，引从到得链的每条边附加一条使成为重复边。第二步：检查图的每条边。若添加的重复边数超过1，则出去其中偶数条，使得每条边之多有一条添加的边，且每一个顶点的度为偶数，从而得图。图中重复边的集合记为。第三步：，图3-1若对于回路有则作【，转图3-1】否则转图3-2。图3-2输出，便是

23、最优集。例题：给出中国邮路问题求解的过程。解：图3-1到图3-5给了中国邮路问题的求解过程。图3-1便是图，其中点是度数为奇数的点，引重复边便得图3-2。图3-2中不存在重复边数超过1的边。55433332221图3-155345433332221 图3-2 考察回路由于不满足定理的要求，作得图3-3，考察3-3中的回路 55433332221图3-3显然不满足定理的要求，作修改图3-3得图3-435543332221 图3-4考察回路不满足定理，修改得图3-5 55433332221图3-5易知，图3-5满足定理7，故图3-5是欧拉回路。例8 在下面欧拉图中求一条欧拉回路。图3-6解： 图3

24、-7例9 某博物馆的一层布置如图2-10，其中边代表走廊，结点是入口，结点是礼品店，通过我们可以离开博物馆。请找出从博物馆进入，经过每个走廊恰好一次，最后从处离开的路线。图3-8解：图中只有两个奇度顶点和，因此存在起点，终点为的欧拉迹。为了在中求出一条起点为，终点为的欧拉迹，在和间添加一条平行边图3-9用算法求出欧拉环游为：所以：解为：32牛奶配送问题目前我国绝大数牛奶生产企业以人工、凭主观、靠经验对配送线路进行优化，也有少部分企业开始借助于信息技术实现配送路线的优化工作，但能够提出完整的物流配送线路优化系统的企业还非常少。而国外的一些路径优化软件由于交通规则、道路规划等各方面不符合我国国情，

25、很难符合改革中的中国牛奶的管理流程，因此牛奶配送路径优化问题已成为制约我国牛奶物流发展的主要因素之一。目前，国内外大多数研究很难一次形成合适的配送线路，往往需要辅助很多人工干预和调整，增加了工作的复杂性。本文将中国邮路问题引入配送路径的优化中，在邮路问题中引用指派问题来处理奇点对之间增加重复边的问题，大大简化了多奇点对之间增加重复边的繁琐性，试图寻求一种新的适合我国牛奶配送系统的路径优化方法，并力求有所突破。牛奶配送路径优化模型本文结合我国牛奶配送的特点，建立了市区间的牛奶配送路径优化模型，其前提条件如下：(1)某市牛奶零售网点分布在全市各地，其总体数量大致稳定；(2)该市根据配送辐射半径，将

26、全市划分多个配送区域，并确定每一区域的配送中心及每个配送中心所覆盖的零售网点；(3)零售网点的配送任务由所在区域的牛奶需求量都必须在单车车载量以内，区域内各零售网点所在道路的长度可知；(4)配送车辆有某一区域的配送中心出发，经过该区域内各零售网点，配送完成后车辆返回该物流中心。符号规定如下：为某牛奶配送区域内零售网点的个数；表示配送路径是否经过个零售网点；为该区域零售网点所在道路形成的边权连通无向图；为定理交叉点的集合，点数，其中表示该区域的牛奶配送中心；表示中所有道路的集合，道路个数；的长度；、表示中的某两个奇点，；为从牛奶配送中心出发经过每个零售网点后重新回到配送中心的一个配送路径；表示配

27、送路径的总长度。模型描述与建立对于某一个牛奶配送区域，零售网点是固定发布在道路上的，可将配送路径必须经过零售网点的问题转化为必须经过零售网点所在道路的问题，这样如果配送车辆能以最短路线遍行零售网点所在的道路，即能完成送货任务。所以在道路可知的边权连通无向图中目标函数为：约束条件为：该问题在本质上与中国邮递员问题是一致的，故我们把该牛奶配送最短路径问题，转化为求解网络图的中国邮递员问题。案例应用某市一牛奶企业的物流配送具有客户多、批量小、品种多、时间要求高的特点，该企业按照单车车载量将本市划分为多个区域，每个区域分别由该地区的配送中心来进行分配，如图1是该牛奶企业的某个配送区域，在该区域有12个

28、零售户，则该配送区域构成如下的边权连通无向图，目前该牛奶企业在该地区的配送路线为：配送路径的长度。图3-10（1） 找出奇点及奇点数表1 各点对应的度数值奇点度数3233232334332共有8个奇点，分别为，引重复边 便得图3-11。图3-11中不存在重复边数超过1的边。（2） 考察回路图3-11利用中国邮路算法，考察图3-11中回路不满足定理的要求，作得图3-12图3-12考察图3-12中回路满足定理满足定理满足定理也满足定理。在邮路图中对每个配对奇点之间按照最短路径添加重复边,此图中已没有奇点,并且满足定理7。如图3-12所示。在图3-12中，此时配送路径的长度，即为该配送区域的最短路径

29、，从配送中心出发找出欧拉回路：此回路即该配送区域内送货车辆的最短行驶路线。显然，求出的最短配送路径远远小于目前该牛奶公司的配送路径长度。考虑到现实配送过程所耗费的人员和车辆等费用后，该牛奶个数改用最短配送路径后可大大提高配送的效率，并将节省大量物流成本。结束语我们已经注意到：我们使用的词语中国邮递员问题，从纯数学角度而言可能是个挺有意思的问题，但它却没有太大的实际意义，因为该问题并没有把街道的长度考虑在内，某些街道可能很长，而另一些则可能很短，如果邮递员不得不重走某些街道的话，显然选取越短的街道越好。为使该问题具有实际意义，我们应在每条边上都加上一个非负的权，于是，衡量途径时不再用它的长度（即

30、途径中边的数目），而是用它的总权数（即途径中每条边的权数之和，某个边在途径中重复几次，该边的权就有累次几次）来衡量。实用的中国邮递员问题就是要确定一条包含每条边最少一次且总权数最小的途径，该问题从算法的角度而言也已经得到了圆满的解决。参考文献1屈婉玲，耿素云，张立昂，离散数学M. 北京：高等教育出版社， 2008.2卢开澄，卢华明，图论及其应用M.北京：清华大学出版社，1998.3王朝瑞，图论M，北京：北京理工大学出版社，2004.4周炳生， 高向阳， 哈密顿图和欧拉图的一种判别方法J. 广西科学院学报， 2006（01）.5王淑栋， 郑惠琴， 关于欧拉图的一个猜想的新结果J. 山东矿业学院学

31、报， 1999(1).6陈显强，吴集林，论哈密尔顿图的判定问题J. 广东广播电视大学学报， 2005(1).7黄永华， 欧拉图与哈密顿图J. 唐山师专学报， 1999(2).8伍庆成， 论欧拉图、哈密顿图的判定及应用J.中国高新技术企业报，2000（2）.9汤泽莹，谢政， 水灾地区邮递员问题J. 应用数学与计算数学学报， 2000(1).10汤泽莹，卢汉清， 战争地区邮递员问题J. 应用数学与计算数学学报， 2002(1).11李维铮， 运筹学M. 北京: 清华大学出版社， 2006.12徐俊明.图论及其应用（第二版）.合肥：中国科学技术大学出版社，2004.13王树禾.图论.北京：科学出版社

32、，200414宋森.过七桥-欧拉-一笔画J.思维与智慧，2001.15王敬庚.欧拉是怎样解决七桥问题的J.数学史话,2005.16马叔良、顾豫；离散数学；电子工业出版社；1997.17朱怀宏；离散数学自考应试指导；南京大学出版社；2003.18邵学才、蒋强荣、石嘉明等；离散数学；清华大学出版社；2001.19张忠志、李立明、何伟；离散数学；高等教育出版社；2004.20左孝凌；离散数学；经济科学出版社；2000.21谢政，网络算法与复杂性理论（第二版），国防科技大学出版社，2003.22蒋长浩.关于Euler图的一个特点.宁波师院学报（自然科学版）.1995，13（1）.23常庚哲、魏有德等.

33、中学数学竞赛导引M.上海：上海教育出版社，1993.24F.哈拉里.图论（中译本）M.上海：上海科学技术出版社1980.25何尚东.逻辑学教程：第二版M北京：高等教育出版社，2007.26雷澜、李霄民.关于广义棱连通度的一个注记.西南师范大学学报（自然科学版）.2008，33（3）.27管梅谷.奇偶点图上作业法.数学学报，1960.3.10.28李玮、王雷.中国邮递员问题的DNA计算机应用，2009.29曹鱼、陈传波，遗传算法求解邮递员问题的探讨计算机与数字工程，2000.30滕传琳.管理运筹学.中国铁道出版社，1990. 致谢走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已近尾声，大学几年多的努力

34、与付出，随着本次论文的完成，将要划下完美的句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对有一次征程的开始。几年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走的辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师张楠老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨，再

35、经思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。论文初稿与定稿无不凝聚着张楠老师的心血和汗水，在我的毕业论文设计期间，张楠老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，张楠老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深受感动，没有这样的帮助和关怀和熏陶，我不会这么顺利的完成毕业论文。在此向张楠老师表示深深的感谢和崇高的敬意！感谢我的爸爸妈妈，焉的谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在临近毕业之际，我还要借此机会向在这几年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意，感谢他们多年来的辛勤栽培。不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得以体现，顺利完成毕业论文。同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里一并向有关的作者表示谢意。同样也得到了许多同学的宝贵建议，在此一并致以诚挚的谢意。感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友。最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！