不等式的证明：综合法与分析法讲义.docx

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1、不等式的证明：综合法与分析法一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。 由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于 比照研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从条件出发，根据不等式的性质或的不等式，逐步推导出要 证的不等式。而分析法，那么是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在 中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因打一个比方：张三在山里迷了路， 救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法、而张三自己找路，直至回 到驻地，这是“分析法”。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，*+

2、笈之2AB是常常要用到的一 个重要不等式。二、典型例题：例1、力都是正数。求证：- + -2.b a例2、都是正数。求证: 4ab + 4cd(2) + + c + d; 7 Mabed.(3)例 3、证明：a2 +b2 +c2 ab + bc + cao证法一因为 a2 +b2 lab(2)b2 +c2 2bc(3)c2 a2 2ca(4)所以三式相加得2(/ + + 2)22(ab + bc + ca)(5) 两边同时除以2即得（Do证法二 因为 a2 + +。2 - (ab + bc + cd) = -(a-b)2 + (Z?-c)2 + (c-(7)2 0,所以（1）成立。例4、Q,/

3、?,C都是正数，求证/ +/ +03 N3qZ?C.并指出等号在什么时候成立?探究：如果将不等式/+/23+，23儿中的。3/3,03分别用。也c来代替，并在两边同 除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：（1 + 6/ + Z?）（l + b + c）（l + c + a）27 ,其中是互不相等的正数，且 abc = L例5、a, b, m都是正数，并且求证：竺”0.（1）b + m b证法一要证（1）,只需证）（4 +m） a（Z? + m） （2）要证（2）,只需证加1 机（3）要证（3）,只需证（4）（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综

4、合法。证法二因为人根是正数，所以加加两边同时加上。人得力（。+ 2） ab + m）两边同时除以正数83 +m）得（Do读一读：如果用。=。或。uP表示命题P可以推出命题Q （命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是（1） uuu（4）.而采用综合法的证法二就是（4）= n （1）.如果命题P可以推出命题Q,命题Q也可以推出命题P,即同时有PnQ,Q=P,那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为.在例2中，由于4加力+加都是正数, 实际上6 62)03)0(4).例 6、证明：(标 +)(。2 +2)之(c + /7d(1)证明 (1) 0(2)O a2c2 +b2c2 +a2d2 +b2d2 -(a2c2 +2ahcd + b2d2) 0 (3)u b2c2 + ad2 - 2abcd 0(4)O be-ad)2 0(5)(5)显然成立。因此(1)成立。三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去) 一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式, 得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时 常常用到的技巧。