函数的极值与导数 (3)讲稿.ppt

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1、关于函数的极值与导数(3)第一页，讲稿共十七页哦 设函数设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如在某个区间内有导数，如果在这个区间内果在这个区间内y0，那么，那么y=f(x)为这个区为这个区间内的间内的增函数增函数；如果在这个区间内；如果在这个区间内y0增函数增函数y0，求得其解集，求得其解集，再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间 求解不等式求解不等式f(x)0，求得其解集，求得其解集，再根据解集写出单调再根据解集写出单调递减递减区间区间注、注、单调区间不单调区间不 以以“”并集并集出现。出现。而只能用而只能用“，”逗号逗号 或或“和和”字隔开字隔开第三页，讲稿共十七页哦知识回

2、顾知识回顾利用函数的导数利用函数的导数 讨论函数讨论函数 的单调的单调性并画图性并画图32()267f xxx解：解：xxxf126)(2 令令 ，解得，解得 或或 ，2 x01262 xx0 x当当 时，时，是增函数；是增函数；)0,(x)(xf因此，因此，当当 时，时，是增函数；是增函数；),2(x)(xf再令再令 ，解得，解得 ，20 x01262 xx当当 时，时，是减函数；是减函数；)2,0(x)(xf因此，因此，第四页，讲稿共十七页哦分析函数分析函数 在在 附近的函数附近的函数值分别与值分别与 的关系的关系.32()267f xxx2,0 xx)2(),0(ff第五页，讲稿共十七页

3、哦 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，及其附近有定义，(1)(1)如果在如果在x=xx=x0 0处的函数值比它附近所有各点的函数处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即值都大，即f(x)f(x0),则称则称 f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个的一个极小值极小值.记作记作:y极小值极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值,x,x0 0叫做函数的叫做函数的极值点极值点.第六页，讲稿共十七页哦yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点

4、与极值试指出该函数的极值点与极值,并说并说出哪些是极大值点出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.第七页，讲稿共十七页哦(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念,反映了函数在某一点附近的反映了函数在某一点附近的大小情况大小情况;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值;(3)(3)函数的极大函数的极大(小小)值可能不止一个值可能不止一个,而且而且函数的极大函数的极大值未必大于极小值值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能函数的极值点一定在区间的内部，区间的端

5、点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得也可能在区间的端点取得。第八页，讲稿共十七页哦【问题探究】【问题探究】函数函数y=f(x)y=f(x)在极值点的导数值为多少在极值点的导数值为多少?在在极值点附近的导数符号有什么规律极值点附近的导数符号有什么规律?yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf第九页，讲稿共十七页哦 一般地，当函数一般地，当函数 在点在点 处连续时，判断处连续时，判断 是极是极大（小）值的方法是：大（小）值的方法是：f(x0)=00 x)(xf)(0 xf （1）如果在

6、）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那，那么么 是极大值是极大值0 x0)(0 xf0)(0 xf)(0 xf （2）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那，那么么 是极小值是极小值0 x0)(0 xf0)(0 xf)(0 xf注注：导数为：导数为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点。xf，x不是极值则两侧的符号相同如果在)()3(00第十页，讲稿共十七页哦观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？对于对于可导可导函数函数,若若x0是极值点是极值点,则则 f(x0)=0;反之反之,若若f(x0)=0,则则x0不一定是极值点不一定是极值点.函

7、数函数y=f(x)在一点的导数为在一点的导数为0是函数在这点取极值的必要条件，是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件。而非充分条件。函数函数y=f(x)在在x0取极值的充分条件是取极值的充分条件是:（1）f(x0)=0(2)在在x0附近的左侧附近的左侧 f(x0)0(0)，右侧，右侧f(x0)0)第十一页，讲稿共十七页哦 (1)求导函数求导函数f(x)；(2)求解方程求解方程f(x)=0；(3)检查检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根的左右的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。左负右正为极小，左

8、正右负为极大。用导数法求解函数极值的用导数法求解函数极值的步骤步骤：第十二页，讲稿共十七页哦例例、求函数求函数 的极值的极值 4431)(3 xxxf例题讲解例题讲解解：解：)2)(2(42 xxxy当当x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy,+00+极大值极大值y2(-2,2)-2xy)2,(),2(32834 极小值极小值令令 ，解得，解得2,221 xx0 y当当 时，时，y有极大值，并且有极大值，并且2 x328 极大值极大值y当当 时，时，y有极小值，并且有极小值，并且2 x34 极小值极小值y第十三页，讲稿共十七页哦例例、求函数求函数 的极值的极值 1)1()(

9、32 xxf解：解：22)1(6 xxy当当x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy,无极值无极值极小值极小值0无极值无极值y+0+001(0,1)0(-1,0)-1xy)1,(),1(令令 ，解得，解得1,0,1321 xxx0 y当当 时，时，y有极小值，并且有极小值，并且0 x0 极极小小值值y第十四页，讲稿共十七页哦注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个多个极大值或极小值极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某，并对

10、同一个函数来说，在某一点的极大一点的极大值也可能小于另一点的极小值值也可能小于另一点的极小值。练习练习1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。可导函数必有极值；可导函数必有极值；可导函数在极值点的导数一定等于零；可导函数在极值点的导数一定等于零；函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。3xy 如第十五页，讲稿共十七页哦2、函数、函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值的变化和极值之间的关系为与函数值的变化和极值之间的关系为()A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D练习：练习：第十六页，讲稿共十七页哦感谢大家观看感谢大家观看2022-9-5第十七页，讲稿共十七页哦