复合函数求导课件.ppt

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1、复合函数求导现在学习的是第1页，共39页我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.aaxxxxafxcfxfxxfxaxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,();fxxfxx则现在学习的是第2页，共39页导数的运算法则：法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数等于这两个

2、函数的导数的和的和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第等于第一个函数的导数乘第二个函数二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二等于第一个函数的导数乘第二个函数个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个再除以第二个函数的平方函数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f

3、xfx g xf x g xg xg xg x现在学习的是第3页，共39页思考？如何求函数思考？如何求函数 的导函数的导函数：2lnxy现在学习的是第4页，共39页 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)和和u=g(x),如如果通过变量果通过变量u,y可以表示成可以表示成x的函数，那么称这个的函数，那么称这个函数为函数函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数，记作，记作y=f(g(x).复合函数的概念复合函数的概念现在学习的是第5页，共39页1.复合函数的概念:(),(),()()()yfxuxyf uuuxxyfx对 于 函 数令若是 中 间 变 量 的 函

4、数，是 自 变 量 的 函 数，则 称是复自 变 量 x的合 函 数.二、讲授新课：11:23:01现在学习的是第6页，共39页指出下列函数是怎样复合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin)(4)()1(5)sin(1).nmyxyxxyxyabxyx；练习练习1sin,2yuux2,31yuuxx,.mnyuuabxcos,sinyuux1sin,1yuux 11:23:01现在学习的是第7页，共39页)(),()(xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数现在学习的是第8页，共39页定理定理 设函数设函数 y=f(u)，u=(x)均可导均可导，则复合

5、函数则复合函数 y=f(x)也可导也可导.且且()()xyf ux，xuxuyy 或或复合函数的求导法则复合函数的求导法则即：即：因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘乘以中间变量对自变量求导以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则 )注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.现在学习的是第9页，共39页 xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim，xuxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy

6、 即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，.0lim0 ux所所以以由 于由 于 u 可 导，可 导，相应地变量相应地变量 u 有增量有增量 u，从而从而 y 有增量有增量 y.现在学习的是第10页，共39页例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数2)32()1(xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32()1(22xuuyxy1284)32()(2xuxuuyyxux现在学习的是第11页，共39页105.0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105.0)1(105.0 xueyeyux105.005.005.0)105.0()(

7、xuuxuxeexeuyy现在学习的是第12页，共39页)(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin()1()cos(cos)()(sinxuxuuyyxux现在学习的是第13页，共39页解：设解：设则则 二、举例二、举例(A)例例1 求函数求函数 的导数的导数5)23(xy解：设解：设,23 xu5uy因为因为,3,54xuuuy所以所以 xuxuyy(B)例例2 求函数求函数 的导数的导数)1ln(2xy21xuuyln因为因为,2,1xuuyxu所以所以 12)2(12xxxuuyyxux444)23(153)23

8、(535xxu则则 现在学习的是第14页，共39页(A)例例3 求函数求函数 的导数的导数xy2cos解：设解：设 xucos2uy因为因为 xuuyxusin,2所以所以 xuxuyyxxxxu2sinsincos2)sin(2现在学习的是第15页，共39页的导数、求xyAsinln2)(xuuysin,ln解：xuxuxxuuyy)(sin)(ln xxxxucotcossin1cos1现在学习的是第16页，共39页练习练习3 3：设设 f(x)=sinx2，求，求 f (x).解解22()cos()xfxxx 22 cosxx 现在学习的是第17页，共39页练习练习 求下列函数的导数求下

9、列函数的导数(A)1.xey3解：解：xxxexeey3333)3()(A)2.)cos(3xy 解：解：)(sin)(cos333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxex1cos)1(21sinxexx1cos11sin2(B)3.解：解：现在学习的是第18页，共39页(A)例例11 求下列函数的导数求下列函数的导数综合运用求导法则求导综合运用求导法则求导xexy22sin).1()2(sin2xexy解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxxex222cos233)(lnln).2(xxy)(ln)(ln3

10、3xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223)(ln1 3)(ln3322xxxxx现在学习的是第19页，共39页(B)例例12 求下列函数的导数求下列函数的导数321)45(xxy解：解：y312)1()45(xx)1)(45(312xx)1()1(31)45()1(1032231xxxx.)1(1)45(311103223xxxx（1）现在学习的是第20页，共39页【解析】103311(25)(2)sinsin1yxyxxx求下列函数的导数（）例现在学习的是第21页，共39页42)sin(xxy解：)sin()sin(4232xxxxy)(sin)sin

11、(4232xxxx)(sinsin21)sin(432xxxx)cossin21()sin(432xxxx)2sin1()sin(432xxx（2）现在学习的是第22页，共39页练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数xeyAx3sin.1)(221.2)(xxeeyA)3(sin3sin)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xxxexe22112xxxeex现在学习的是第23页，共39页xxyC2cos12sin.4)(xxxxxxycotsincossi

12、n211cossin22解：)(cotxyx2csc1)1(.3)(2xxyB)1)(1(1)1(22xxxxy解：12 x)1()1(21)1(2212xxx12 xxxx2)1)(1(212121)1(122xxxx11222xxx现在学习的是第24页，共39页复习检测现在学习的是第25页，共39页复习检测现在学习的是第26页，共39页复习检测现在学习的是第27页，共39页复习检测现在学习的是第28页，共39页(C)例例13 求下列函数的导数求下列函数的导数 112xxy解解：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得)1)(1(1222xxxxxxy12xxy)1(121122

13、xx112xx（1）现在学习的是第29页，共39页xxycos1sin2解：因为xxycos1sin2xxxcos1cos1cos12 所以xysin11lnxxy解：因为11lnxxy)1ln()1ln(21xx所以 y211)1111(21xxx（2）（3）现在学习的是第30页，共39页【解析】233(31)142yx求曲线在点（，）处的例切线方程。现在学习的是第31页，共39页练习练习1:求下列函数的导数求下列函数的导数:答案答案:2223221)21(2)2()(3)2()1(xxxycbxaxcbxaxbaxy 4227421925)76()43(135)4()925()(21)3(

14、xxxxxxy.)2sin()2(41)2sin()2(41sin21)5(xbabaxbababxb 现在学习的是第32页，共39页例例2:设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解:);(2)()()1(222xf xxxfy 三、例题选讲：三、例题选讲：现在学习的是第33页，共39页复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。如设如设 那么对于复合函那么对于复合函数数 ，我们有如下求导法则：，我们有如下求导法则：),(),(),(xvvuufy)

15、(xfyxvuxvuyy)()()(xvufy(B)例例4 求求 的导数的导数2tan2xy 解：解：设设 ,2uy 2,tanxvvu由由 得得)()()(xvufy2sec2tan21sectan2)2(sec2)()(tan)(2222xxvvxvuvvuy 即即现在学习的是第34页，共39页(B)例例8 求求 的导数的导数 32sin xy y=sin(x3)2=2sin(x3)sin(x3)=2sin(x3)cos(x3)(x3)=2sin(x3)cos(x3)3x2=6x2sin(x3)cos(x3)(B)例例9 求求 的导数的导数xy4sinlny=lnsin(4x)=sin(4

16、x)x4sin1=cos(4x)(4x)x4sin1x4sin4=cos(4x)x4cot4现在学习的是第35页，共39页(B)例例5 求求 的导数。的导数。)42tan(lnxy解：解：设设 42,tan,lnxvvuuy由由 得得)()()(xvufy)42()(tan)(ln xvuy21)42(cos1)42tan(12xx.sec)2sin(1)42cos()42sin(21xxxx21cos112vu现在学习的是第36页，共39页（C）4.32ln1xy)ln1()ln1(3121312xxy解：)(ln1)ln1(312322xx)(lnln20)ln1(31322xxxxxxln12)ln1(31322xxxln)ln1(32322.3现在学习的是第37页，共39页小结小结：复合函数复合函数y=f(x)要先分解成基本初要先分解成基本初等函数等函数y=g(u),u=h(v),v=i(x)等，再求等，再求导：导：yx=yuuvv x根据函数式结构或变形灵活选择基本根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求导方法初等函数求导公式或复合函数求导方法作业本：作业本：“基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则及导数的运算法则”现在学习的是第38页，共39页感谢大家观看感谢大家观看9/5/2022现在学习的是第39页，共39页