常数项级数的审敛法课件.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页关于常数项级数的审敛法现在学习的是第1页，共31页上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.v正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的,而单调有界数列是有极限.下页v定理1(正项级数收敛的充要条件)现在学习的是第2页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理2(比较审敛法)推论 若1nnv收敛,则1nnu收敛 若1nnu发散,则1nnv发散.下页现在学习的是第3页，共31页上页下页铃结束返回首页 解 下页v定理2(比较审敛法)nnp11,而级数11nn发散,设un和vn都是正项

2、级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收敛,则级数un收敛 若级数un发散,则级数vn发散.现在学习的是第4页，共31页上页下页铃结束返回首页,1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,1)1(11pn12)若现在学习的是第5页，共31页上页下页铃结束返回首页 设un和vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收敛,则级数un收敛 若级数un发散,则级数vn发散.vp级数的收敛性 证 下页v定理

3、2(比较审敛法)发散,故级数1)1(1nnn也发散.现在学习的是第6页，共31页上页下页铃结束返回首页调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu现在学习的是第7页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理3(比较审敛法的极限形式)下页 解 111sinlim nnn,而级数11nn发散,现在学习的是第8页，共31页上页下页铃结束返回首页 下页 解 11)11ln(lim 22nnn,而级数211nn收敛,v定理3(比较审敛法的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数,(1)如果lvunnnlim(0

4、l),且1nnv收敛,则1nnu收敛 (2)如果lvunnnlim(0l),且1nnv发散,则1nnu发散.现在学习的是第9页，共31页上页下页铃结束返回首页下页收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散.设1nnu为正项级数,如果nnnuu1lim,则当1时级数 v定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)解 所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛.例5 证明级数 )1(3211 3211211111 n 是收敛的.101lim 321)1(321lim lim 1 nnnuunnnnn101lim 321)1(321lim lim 1 nnnuunnnnn,现在学习的是第10页，共3

5、1页上页下页铃结束返回首页所以,根据比值审敛法可知所给级数发散.下页 解 101lim!1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim!1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散.设1nnu为正项级数,如果nnnuu1lim,则当1时级数 v定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)现在学习的是第11页，共31页上页下页铃结束返回首页提示:所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛.1)22()12(2)12(lim lim 1nnnnuunnnn1)22()12(2)12(lim lim 1nnnnuu

6、nnnn,1)22()12(2)12(lim lim 1nnnnuunnnn,比值审敛法失效.下页 解 212)12(1nnn,而级数212)12(1nnn,而级数211nn收敛,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散.设1nnu为正项级数,如果nnnuu1lim,则当1时级数 v定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)现在学习的是第12页，共31页上页下页铃结束返回首页 limn讨论级数)0(11xxnnn的敛散性.解解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛;,1时当 x级数发散;.1发散级数nn,1时当 x现在学习的是第13页，共31

7、页上页下页铃结束返回首页下页v定理5(根值审敛法,柯西判别法)设1nnu为正项级数,如果nnnulim,则当1 时级数 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散.所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛.因为 解 01lim 1lim lim nnunnnnnnn01lim 1lim lim nnunnnnnnn,现在学习的是第14页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理5(根值审敛法,柯西判别法)设1nnu为正项级数,如果nnnulim,则当1 时级数 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散.所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛.因为 解 21)1(221lim

8、limnnnnnnu21)1(221limlimnnnnnnu,下页现在学习的是第15页，共31页上页下页铃结束返回首页时,级数可能收敛也可能发散.1例如,p 级数:11pnnpnnnnu1)(1n说明说明:,1pnnu 但,1p级数收敛;,1p级数发散.现在学习的是第16页，共31页上页下页铃结束返回首页证明级数11nnn收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr21)1(1)1(1nnnn1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和 Sn 近 现在学习的是第17页，共3

9、1页上页下页铃结束返回首页v定理6(极限审敛法)因为 解 根据极限审敛法,知所给级数收敛.1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun,下页现在学习的是第18页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理6(极限审敛法)设1nnu为正项级数,(1)如果)lim(0limnnnnnulnu或,则级数1nnu发散 (2)如果 p1,而)0(limllunnpn,则级数1nnu收敛.222232321)(211lim)cos1(1limlimnnnnnnnunnnnn,因为 解 根据极限审敛法,知所给级

10、数收敛.首页现在学习的是第19页，共31页上页下页铃结束返回首页设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.现在学习的是第20页，共31页上页下页铃结束返回首页;)1ln(1)1(1nn1.判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解:(1),)1ln(nnnn1)1ln(111nn发散,故原级数发散.(2)nlimnnn1lim111nn发散,故原级数发散.nnn1n1现在学习的是第21页，共31页上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错

11、级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.下页 例如,现在学习的是第22页，共31页上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.交错级数的一般形式为11)1(nnnu,其中0nu.v定理7(莱布尼茨定理)(1)unun1(n1,2,3,)则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.下页现在学习的是第23页，共31页上页下页铃结束返回首页这是一个交错级数.解 由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和su11,首页则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.如果交错级数11)1(nnnu满足条件:v定理7(莱布尼茨定

12、理)因为此级数满足(n1,2,),(2)01limlimnunnn,例 10 证明级数 1)1(11nnn收敛,并估计和及余项.例12 现在学习的是第24页，共31页上页下页铃结束返回首页收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛现在学习的是第25页，共31页上页下页铃结束返回首页 三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛 下页 若级数1|nnu

13、收敛,则称级数1nnu绝对收敛 若级数1nnu 收敛,而级数1|nnu发散,则称级1nnu条件收敛.例如,现在学习的是第26页，共31页上页下页铃结束返回首页 三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛 若级数1|nnu收敛,则称级数1nnu绝对收敛 若级数1nnu 收敛,而级数1|nnu发散,则称级1nnu条件收敛.v定理8(绝对收敛与收敛的关系)应注意的问题:下页现在学习的是第27页，共31页上页下页铃结束返回首页 解 下页 如果级数1nnu绝对收敛,则级数1nnu必定收敛.v定理8(绝对收敛与收敛的关系)221|sinnnna,而级数211nn是收敛的,所以级数 是收敛的,所以级数,从而

14、级数12sinnnna绝对收敛.例 11 判别级数12sinnnna的收敛性.例13 现在学习的是第28页，共31页上页下页铃结束返回首页例例14.证明级数绝对收敛:.)1(12nnnen令,2nnenu nnnuu1lim limn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.现在学习的是第29页，共31页上页下页铃结束返回首页结束 如果级数1nnu绝对收敛,则级数1nnu必定收敛.v定理8(绝对收敛与收敛的关系)解 121)11(lim21|limenunnnnn121)11(lim21|limenunnnnn,0limnnu,因此级数12)11(21)1(nnnnn发散.例 12 判别级数12)11(21)1(nnnnn的收敛性.例14 现在学习的是第30页，共31页上页下页铃结束返回首页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第31页，共31页